閆銀翠 王麗敏

人教A版選修2-1閱讀材料中“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)”引起了同學(xué)們的極大興趣，如何從數(shù)學(xué)的角度來(lái)研究呢. 下面以橢圓為例來(lái)研究它的光學(xué)性質(zhì).

橢圓的光學(xué)性質(zhì)：當(dāng)一束光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射，經(jīng)過(guò)橢圓的內(nèi)壁反射，它的反射光線必經(jīng)過(guò)橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn).

分析 由于光線的反射是鏡面反射，實(shí)際上該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，光線實(shí)際上是被橢圓上過(guò)反射點(diǎn)的切線反射.

數(shù)學(xué)證明

設(shè)橢圓方程為 + = 1（a > b > 0），

（1）求橢圓上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程.

（2）求證：∠MPF1 = ∠NPF2.

（1）解 橢圓的切線可以看成是與橢圓相交的直線中交點(diǎn)與弦的中點(diǎn)重合.

設(shè)直線l與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為C（x′，y′），則 + = 1， + = 1，兩式相減得 = -，即 = - × = - × ，所以直線的斜率k = - × ，當(dāng)所以直線l的方程為y - y′ = - × （x - x′），當(dāng)A，B兩點(diǎn)無(wú)限靠近時(shí)，直線l的極限狀態(tài)為切線，此時(shí)中點(diǎn)C變成切點(diǎn)，所以點(diǎn)P處的切線方程為：y - y0 = - × （x - x0）①，又 + = 1，所以①式可變形為 × = 1.

（3）證明 用向量法證明兩個(gè)角的余弦值相等.

取直線l的方向向量為n = x0，y0 - ， = （x0 + c，y0）， = （x0 - c，y0）.

則cos〈n，〉= = =

= = .

同理可證cos〈n，〉 = .

因?yàn)椤螹PF1和∠NPF2都在0，內(nèi)，所以∠MPF1 = ∠NPF2.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李超英.一個(gè)探究型教學(xué)案例—圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2006（4）.

[2]李紅春.橢圓切線方程的兩種巧妙求法[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)（高中），2014（10）.