李建杰

【摘要】 實踐表明，各學科的高度融合為經濟社會的發(fā)展提供了更為廣闊的空間. 為適應這一發(fā)展，數(shù)學特別是職業(yè)高等數(shù)學教育必須發(fā)揮好基礎性作用，在講授學理的同時，更注重建立與完善各單元知識間的聯(lián)系，將微分方程應用于數(shù)學建模就是很好的例證.

【關鍵詞】 微分方程；數(shù)學建模

推動數(shù)學理論為生產生活服務是一個繁復的過程，其中教材教學變革是重要環(huán)節(jié). 在教學中，將微分方程應用于數(shù)學建模，融通了數(shù)理與實踐的聯(lián)系，有利于學生全面系統(tǒng)思維的確立.

一、微分方程與數(shù)學建模

微分方程是未知函數(shù)的導數(shù)及自變量之間的函數(shù)方程，與初等數(shù)學中的線性方程、指數(shù)方程等有著質的差異. 初等數(shù)學方程以建構已知數(shù)和未知數(shù)之間的關系為主要目的，而微分方程所含導數(shù)的特征，使其在分析與解決生產和建設中的實際問題時更具普遍應用意義，它不僅與自然界中一切事物按其自身規(guī)律運動與演變的一般性相適應，更重要是它的形成本身就與物理化學、天文，經濟學發(fā)展息息相關. 例如描述飛機在發(fā)動機推動下于空間飛行的軌道，放射性元素衰變規(guī)律，預測傳染病擴散過程及感染人數(shù)，決策如何調價以利于新產品推廣等問題時，微分方程的應用須臾不可離開.

微分方程的廣泛適用性正是源于人們在認識自然過程中對多學科問題的求解. 它始于蘇格蘭數(shù)學家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)時討論微分方程的近似解，牛頓在建立微積分同時對簡單的微分方程用級數(shù)求解. 而后瑞士數(shù)學家雅克布、歐拉和法國數(shù)學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等日漸豐富了微分方程理論. 特別是隨著科學技術日新月異的發(fā)展，數(shù)學物理計算機不同學科的相互滲透，使常微分方程的數(shù)學建模與應用領域不斷擴展.

二、微分方程與數(shù)學建模的融合

在傳統(tǒng)的“微分方程”教學中，教師更注重于數(shù)理分析與推演，而常常忽視知識的實踐意義. 這樣的教學，只是教會學生如何解題，而很難建立起數(shù)學理論與實際問題的聯(lián)系. 因此，在講授微分方程時，需要將數(shù)學建模思想與常微分方程教學有機融合起來.

這一融合教學絕不是“兩個單元”的硬性拼湊，而是相輔相成的有機構成. 微分方程是聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及其導數(shù)的關系式，是數(shù)學學科中最受關注的領域之一，它使得自然科學中用數(shù)學不僅能表明狀態(tài)，而且還展現(xiàn)了過程，在解決實際問題時發(fā)揮著重要作用.

三、微分方程在數(shù)學建模中的應用

實現(xiàn)微分方程與數(shù)學建模的有機融合，關鍵是掌握建立微分方程模型的方法與步驟.

主要方法

微分方程模型的特點在于描述現(xiàn)實世界中數(shù)量的變化關系，往往是與時間相關的一個動態(tài)系統(tǒng)，構建的方法主要有三種.

（1）利用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型

主要利用各學科中已知的定理或定律來建立的. 如力學中的牛頓第二運動定律，萬有引力定律，熱力學定律、放射性問題中的衰變率，以及生物學、電學、經濟學問題中的增長率等；

（2）利用導數(shù)的定義建立微分方程模型

把導數(shù)解釋為瞬時變化率在很多領域建模時都會用到. 如在生物學、力學、電工學以及人口問題研究中出現(xiàn)的“速率”“增長”；在放射性問題中出現(xiàn)的“衰變”，在經濟學中出現(xiàn)的“邊際的”等，這些詞的出現(xiàn)就是一個信號，要特別關注哪些研究對象在變化，這些變化規(guī)律也許可以用在微分方程的表示中.

（3）利用微元法建立常微分方程模型

這種方法主要是通過尋求微元之間的關系式，直接對函數(shù)運用有關定理建立模型. 一般地，如果某一實際問題中所求的變量I符合下列條件：I是與一個自變量x的變化區(qū)間[a，b]有關的量；I對于區(qū)間[a，b]具有可加性；部分量ΔIi = f（ξi）Δxi. 那么就可以考慮利用微元法來建立常微分方程模型. 這種方法經常被應用于各種領域，例如求曲線的弧長、平面圖形的面積、旋轉體的體積、物理上變力做功、壓力、靜力矩及重心等.

基本步驟

（1）建立模型——了解實際背景，明確建模目的，收集所需數(shù)據，做出必要合理的簡化假設與符號說明；

（2）求解模型——利用常微分方程的知識對所構建的模型正確求解，對于復雜模型可借助數(shù)學軟件Matlab求解；

（3）模型探討——對模型求解過程進行數(shù)學分析，例如引入系數(shù)進行誤差分析等，并修正改進模型使之更準確描述實際問題；

（4）分析結論——通過所得數(shù)學結果分析實際的問題，給出合理的解決方案，回歸實際案例.

（5）模型推廣——利用數(shù)學模型得到的解對研究的實際問題給出分析解釋或預報供決策者參考.

四、數(shù)學建模與常微分方程融合教學的啟示

實踐告訴我們，常微分方程與數(shù)學建模融合教學， 有益于數(shù)學與實踐的鏈接，有益于破除數(shù)學與其他領域的“隔膜”，有益于學生從“要我學”到“我要學”的轉變，實踐給我們以啟示.

1. 融合教學彌補了傳統(tǒng)教學的不足，使數(shù)學從理論的殿堂走近人們的生產生活，使刻板的數(shù)字公式成為分析解決現(xiàn)實問題的方法.

2. 融合教學打破了教學一言堂的局面，每個人都去找案例，收集信息，使學生從被灌輸?shù)膶ο蟪蔀閷W習的主人，學習主動性充分迸發(fā).

3. 融合教學深化了學生對常微分方程建模的理解，經過反復的訓練，有效提升了學生解決實際問題的興趣與能力.

4. 融合教學促進了教師知識水平的提高與教學模式的變革. 要培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，一個關鍵因素就是教師知識體系的更新與教學模式的轉變. 而這樣的變革需要在每個知識點上的創(chuàng)新，需要統(tǒng)合辯證思維，需要鍥而不舍.