何宗祥 曹亞文

【摘要】 針對(duì)定積分思想的教學(xué)過(guò)程中，容易引起和產(chǎn)生混淆的近似代替環(huán)節(jié)，分析了產(chǎn)生問(wèn)題的原因、提出了解決問(wèn)題的方法和途徑、并給出了具體教學(xué)過(guò)程中實(shí)施的建議.

【關(guān)鍵詞 】 定積分； 分割；等價(jià)無(wú)窮小；近似代替

【基金項(xiàng)目】 本項(xiàng)目是2016年安徽省高校省級(jí)自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目，項(xiàng)目名稱(chēng)：高等水生植物抑藻的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建與應(yīng)用（KJ2016A268）.

在運(yùn)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，近似代替是定積分思想的一個(gè)重要環(huán)節(jié).隨著分割越來(lái)越細(xì)，如何選擇特定的、規(guī)則的、熟悉性質(zhì)的已知量近似代替被分割后的小對(duì)象，這不僅關(guān)系到定積分表達(dá)式中被積函數(shù)的形式，還關(guān)系到定積分的計(jì)算量，更重要的是關(guān)系到定積分思想運(yùn)用的合理性.這在運(yùn)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，是一個(gè)十分重要、卻又必須交待清楚、而實(shí)際上卻常常忽略的問(wèn)題.很多學(xué)生由于忽視了這一環(huán)節(jié)的處理，往往在運(yùn)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中感到不解、困惑和迷茫.

在運(yùn)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，一定要遵循“隨著分割的加細(xì)，研究對(duì)象被分割后的小對(duì)象與近似代替其的小對(duì)象之間是等價(jià)無(wú)窮小”的原則.只有這樣才可以使得定積分思想得到合理性的運(yùn)用、實(shí)際問(wèn)題得到圓滿(mǎn)的解決. 但是，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，由于教師的強(qiáng)調(diào)不足以及學(xué)生的重視不夠，往往造成部分學(xué)生只注重考慮隨著分割的加細(xì)，被分割后的小對(duì)象與近似代替其的小對(duì)象都是無(wú)窮小的事實(shí)，而忽略、或者基本上不考慮他們之間還必須是等價(jià)無(wú)窮小的這一根本要求.這樣下去的結(jié)果往往是實(shí)際問(wèn)題難以通過(guò)定積分的運(yùn)用得到合理的解決，從而使得學(xué)生對(duì)自己運(yùn)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題的能力感到懷疑，失去解決實(shí)際問(wèn)題和進(jìn)一步分析問(wèn)題的信心.這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)積分學(xué)是十分不利和有害的，對(duì)他們今后走向社會(huì)在工作中運(yùn)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題也是有負(fù)面影響的.

以下就運(yùn)用定積分思想，在求平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)、空間曲面的面積這兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該如何遵循“隨著分割的加細(xì)，研究對(duì)象被分割后的小對(duì)象與近似代替其的小對(duì)象之間是等價(jià)無(wú)窮小”這一根本原則，提出一些想法、介紹一些做法.

對(duì)于平面光滑曲線(xiàn)弧段L（）：y = f（x），x∈[a，b]，在其上依次任意取n - 1個(gè)點(diǎn)，則被分割成n個(gè)小弧段.記 T = {|Mi（xi，yi）∈L，A = M0，B = Mn，i = 1，2，…，n}為該分割.由于 = 1，故小弧段的長(zhǎng)||可以用其內(nèi)接直線(xiàn)段的長(zhǎng)|Mi-1Mi|近似代替.于是，平面光滑曲線(xiàn)弧段的弧長(zhǎng)[1]

s = || = |Mi-1Mi| = dx.

在這一實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，如果教師沒(méi)有根據(jù)平面曲線(xiàn)弧段L（）：y =f（x），x∈[a，b]的光滑性，利用“兩邊夾”定理[1] 講透徹并且強(qiáng)調(diào) = 1，那么，不可避免的就會(huì)有學(xué)生提出：隨著分割的加細(xì)，作為無(wú)窮小的小弧段的長(zhǎng)||為什么可以其用內(nèi)接直線(xiàn)段的長(zhǎng)||近似代替，卻不可以用同是無(wú)窮小的|Δxi|、|Δyi|近似代替？這種問(wèn)題的提出，是學(xué)生對(duì) = 1這一根本原則的理解和把握不夠. 當(dāng)然，在教師能根據(jù)曲線(xiàn)弧段L（）：y =f（x），x∈[a，b]的光滑性，講透徹并且強(qiáng)調(diào) = 1的前提下，學(xué)生就能夠比較好的理解和把握“隨著分割的加細(xì)，研究對(duì)象被分割后的小對(duì)象與近似代替其的小對(duì)象之間是等價(jià)無(wú)窮小”這一根本原則，那么，隨著分割的加細(xì)，作為無(wú)窮小的小弧段的長(zhǎng)||不僅可以用其內(nèi)接直線(xiàn)段的長(zhǎng)||近似代替，還可以用小弧段上任意點(diǎn)的切線(xiàn)在[xi-1，xi]上切線(xiàn)段的長(zhǎng)|Δxi|，？坌ξi∈[xi-1，xi]，i=1，2，…，n，近似代替.這樣，學(xué)生對(duì)運(yùn)用定積分求平面光滑曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)就會(huì)有一個(gè)比較好的、深入的和全面的認(rèn)識(shí)、理解和把握.這對(duì)他們學(xué)習(xí)和運(yùn)用積分學(xué)是十分有益的.

同樣，對(duì)于空間光滑曲面塊∑：z = f（x，y），（x，y）∈D，若T = {D1，D2，…，Dn}是D的任意一個(gè)分割，則相應(yīng)的∑也被分割成n個(gè)小曲面塊∑1，∑2，…∑n，且∑i在坐標(biāo)面xoy上的投影為Di，∑i的面積為ΔSi，Di的面積為Δσi，過(guò)∑i上任意一點(diǎn) Mi（ξi，ηi，f（ξi，ηi））的切平面為πi，πi 上小平面塊Ai在坐標(biāo)面xoy上的投影仍為Di，Ai的面積為ΔAi.由空間曲面塊∑：z = f（x，y），（x，y）∈D的光滑性，并利用“兩邊夾”定理可得 = 1，故小曲面塊∑i的面積ΔSi可以用過(guò)∑i上任意一點(diǎn) Mi（ξi，ηi，f（ξi，ηi））的切平面πi上小平面塊Ai的面積ΔAi近似代替，i = 1，2，…，n.于是，空間光滑曲面塊∑：z = f（x，y），（x，y）∈D的面積[1]

教學(xué)過(guò)程中，如果教師沒(méi)有根據(jù)空間曲面塊 ∑：z = f（x，y），（x，y）∈D的光滑性，利用“兩邊夾”定理講透徹并且強(qiáng)調(diào) = 1，再加上許瓦耳茲（H.A.Schwarz）的例子[2]的影響就使得學(xué)生在運(yùn)用定積分思想求空間光滑曲面塊的面積過(guò)程中，對(duì)近似代替這一環(huán)節(jié)的把握深感不解、困惑和迷茫.事實(shí)上，教師在講透徹并且強(qiáng)調(diào)上述等價(jià)無(wú)窮小的同時(shí)，再指出許瓦耳茲的例子只是強(qiáng)調(diào)小曲面塊的面積用其內(nèi)接平面塊的面積代替并不總是能夠成立的，只要能夠保證隨著分割的越來(lái)越細(xì)，小曲面塊上任一點(diǎn)的法向量與其內(nèi)接平面塊的法向量越來(lái)越趨于平行，那么小曲面塊的面積用其內(nèi)接平面塊的面積代替還是可行的.因?yàn)榇藭r(shí) = 1，其中ΔBi為∑i內(nèi)接平面塊的面積，i = 1，2，…，n.所以講透徹并且強(qiáng)調(diào) = 1是運(yùn)用定積分思想求空間光滑曲面塊面積的關(guān)鍵.對(duì)它的理解不僅可以說(shuō)明用小切平面塊的面積代替小曲面塊的面積的合理性，而且還可以得到能夠代替小曲面塊面積的其他形式.由于這些能夠代替小曲面塊面積的各種形式，當(dāng)分割越來(lái)越細(xì)時(shí)，都是小曲面塊面積的等價(jià)無(wú)窮小，故空間光滑曲面塊的面積公式是統(tǒng)一（唯一）的形式.

綜上所述，在運(yùn)用定積分思想解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，一定要注重對(duì)“隨著分割的加細(xì)，研究對(duì)象被分割后的小對(duì)象與近似代替其的小對(duì)象之間是等價(jià)無(wú)窮小”這一根本原則的把握.只有這樣，才能從眾多的近似代替的各種形式中，提取出最合理的被積表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，為更好的運(yùn)用定積分的思想，使實(shí)際問(wèn)題得到圓滿(mǎn)解決提供最有效的支持.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析[M].第三版. 北京：高等教育出版社，2001.

[2]Г.М.菲赫金哥爾茨著，微積分學(xué)教程[M].吳親仁，路可見(jiàn)譯，第三卷第二分冊(cè). 北京：人民教育出版社，1978.