錢(qián)葦航 聞新

摘要：倒立擺是一個(gè)復(fù)雜的非線(xiàn)性系統(tǒng)，是進(jìn)行各種控制理論教學(xué)及驗(yàn)證先進(jìn)控制理論的理想平臺(tái)。本文根據(jù)特征根靈敏度分析理論，提出了一種倒立擺控制系統(tǒng)特征根的分析與設(shè)計(jì)方法，利用MATLAB繪制倒立擺控制系統(tǒng)的根軌跡，得到增益變化對(duì)特征根靈敏度的影響。最后，通過(guò)在根軌跡上選擇合適的增益和特征根，滿(mǎn)足系統(tǒng)設(shè)計(jì)的要求。

Abstract： The inverted pendulum is a complicated system， which is an ideal platform to carry out all kinds of control theory and teach and check out controlled experiment. According to the concept of characteistic roots' sensitivity， the method of using characteistic roots' sensitivity to analyze the inverted pendulum system is introduced. Then， MATLAB is used to draw the inverted pendulum's root locus， the effect of the gains'changes to sensitivities of the characteristic roots are found. Finally， we can choose appropriated gain and characteistic root to realize required function in the root locus.

關(guān)鍵詞：倒立擺；特征根；靈敏度；控制系統(tǒng)

Key words： inverted pendulum；characteistic root；sensitivity；control system

中圖分類(lèi)號(hào)：TP273 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2016）09-0206-03

0 引言

通常，自動(dòng)控制系統(tǒng)是指由控制器、被控對(duì)象和敏感器組成的系統(tǒng)。自動(dòng)控制系統(tǒng)的特征是在控制信息作用下，改變被控對(duì)象的運(yùn)動(dòng)或進(jìn)入各種狀態(tài)。但是，由于外界環(huán)境干擾往往引起自動(dòng)控制系統(tǒng)參數(shù)改變，從而導(dǎo)致自動(dòng)控制系統(tǒng)性能也跟著變化。而靈敏度就是外界變化對(duì)系統(tǒng)性能影響的一種度量。由于實(shí)際應(yīng)用中有些控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型非常復(fù)雜，使我們難以對(duì)系統(tǒng)的魯棒性進(jìn)行分析，但是如果運(yùn)用MATLAB軟件來(lái)繪制系統(tǒng)的根軌跡圖形，就會(huì)使我們的分析變的簡(jiǎn)便的多[1-2]。本文利用MATLAB繪制倒立擺模型的根軌跡，分析隨著系統(tǒng)增益的變化，倒立擺模型的特征根靈敏度會(huì)發(fā)生怎樣的改變。

1 建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)與特征根靈敏度

1.1 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程和傳遞函數(shù)

圖1為一級(jí)倒立擺系統(tǒng)，假設(shè)M為小車(chē)質(zhì)量，m為擺桿質(zhì)量，b為小車(chē)摩擦系數(shù)，l為擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度，I為擺桿慣量，f為加在小車(chē)上的力，x為小車(chē)位置，θ為擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）。忽略了空氣流動(dòng)和摩擦的影響，利用牛頓定律得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

（M+m）■+b■+ml■cosθ-ml■2sinθ=f（1）

（I+ml2）■+mglsinθ=-ml■cosθ （2）

將方程（1）、方程（2）在其平衡位置（垂直向上）線(xiàn)性化后可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

■=■ （3）

其中q=[（M+m）（I+ml2）-（ml）2]

1.2 特征方程根的靈敏度

控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)T（S）對(duì)參數(shù)變化的靈敏度定義為：

S■■=■=■（4）

式中K是感興趣的參量。

因?yàn)楦壽E對(duì)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與分析非常重要，所以可以定義特征方程根對(duì)參變量的靈敏度。[4]

S■■=■=■=■（5）

2 根軌跡繪制與靈敏度分析

2.1 基于MATLAB的根軌跡繪制

考慮一級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)，假設(shè)：

M=0.5kg（小車(chē)質(zhì)量）；

m=0.2kg（倒立擺質(zhì)量）；

b=0.1N/m/sec（小車(chē)摩擦系數(shù)）；

l=0.3m（擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度）；

I=0.06kg*m2（擺桿慣量）；

θ為擺桿與垂直向下方向的夾角（以擺桿初始位置為數(shù)值向下）；

f為加在小車(chē)上的力；x為小車(chē)位置；

Y為擺桿與垂直向上方向的夾角，

則傳遞函數(shù)方程（3）為

■=■（6）

由方程（6），求得特征方程為

1+■=0 （7）

當(dāng)K從0變化到∞時(shí)，通過(guò)MATLAB方程（7）的根軌跡，仿真程序如下：

num1=4.545*[1 0 0]；

den1=[1 0.1818 -31.18 -4.455 0]；

mysys1=tf（num1，den1）；

subplot（2，1，1）；

rlocus（mysys1）

title（'倒立擺模型的根軌跡圖形'）；

[k，ploes]=rlocfind（mysys1）

運(yùn)行程序，得到如圖2所示根軌跡。

■

2.2 特征根對(duì)K的靈敏度分析

實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)在受到外界變化的影響之后，仍能保持某些性能的特性，必須使特征根對(duì)參數(shù)變化的影響不敏感，即要求靈敏度滿(mǎn)足一定的要求。

利用MATLAB得到如圖3所示的增益K=6.62，s=

-0.989±1.22i。當(dāng)K=6.02時(shí)，s=-1.24±0.613i，如圖4所示。對(duì)兩者進(jìn)行分析：

Δs=-1.24+0.613i-（-0.989+1.22i）

=-0.251-0.607i （8）

■=■=-0.09 （9）

S■■=■=■=7.2∠67°（10）

同理可以找到K=7.22時(shí)，s=-0.73±1.72i。

Δs=-0.729+1.72i-（-0.989+1.22i）

=0.26+0.5i （11）

■=■=0.09 （12）

S■■=■=■=6.3∠63° （13）

可以看出當(dāng)增益變化時(shí)，靈敏度大小和角度近似相等：

S■■=S■■ （14）

∠S■■=∠S■■ （15）

即■=0成立。由文獻(xiàn)[5]可以知道在選擇系統(tǒng)特征根的時(shí)候?yàn)榱吮３窒到y(tǒng)的穩(wěn)定性應(yīng)該選擇對(duì)增益不靈敏的特征根。將控制系統(tǒng)在一定參數(shù)的攝動(dòng)下，維持某些性能的特性稱(chēng)為魯棒性。如果在實(shí)際運(yùn)用中，系統(tǒng)滿(mǎn)足方程（14）和方程（15），則稱(chēng)系統(tǒng)對(duì)增益變化具有魯棒性。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文首先通過(guò)MATLAB繪制倒立擺的根軌跡，使系統(tǒng)的分析變得簡(jiǎn)單的多，節(jié)省了很多精力和時(shí)間[2-3]。再經(jīng)過(guò)對(duì)系統(tǒng)的特征根靈敏度分析，得到了增益變化不大時(shí)靈敏度間的關(guān)系，通過(guò)選擇合適的特征根，來(lái)滿(mǎn)足控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求。

參考文獻(xiàn)：

[1]聞新，等.MATLAB基礎(chǔ)與范例教程[M].國(guó)防出版社，2013.

[2]黃忠霖.自動(dòng)控制原理的MATLAB實(shí)現(xiàn)[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2007.

[3]畢開(kāi)波，王曉東，劉智平.飛行器制導(dǎo)與控制及其仿真技術(shù)[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2009.

[4]趙陽(yáng)，等.基于的特征根靈敏度分析[J].工業(yè)控制計(jì)算機(jī)，2012，2：69-72.

[5]I.J Nagrath，M.Gopal .Control Systems Engineering[M]. Halsted Press，aDivision of John Willey& Sons，inc.1982.