賈修建，孫巖樺，程文杰，劉中華，虞 烈

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高速永磁同步電機轉(zhuǎn)子瞬態(tài)溫度場解析解

賈修建1，孫巖樺1，程文杰2，劉中華1，虞 烈1

（1. 西安交通大學機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室，西安710049；2. 西安科技大學理學院，西安710054）

在轉(zhuǎn)子的熱設(shè)計中，很自然地有如下要求：在已知轉(zhuǎn)子內(nèi)熱源的條件下，確定轉(zhuǎn)子需要多大的對流換熱系數(shù)以及相應(yīng)氣隙流體溫度，使得轉(zhuǎn)子局部最高溫度不超過設(shè)計值。內(nèi)熱源已知的條件下，實驗測量轉(zhuǎn)子溫度和氣隙流體溫度便可得到相應(yīng)的對流換熱系數(shù)。為解決高速永磁電機轉(zhuǎn)子熱設(shè)計問題，本文給出了轉(zhuǎn)子溫度場的解析解。首先將時變的且含內(nèi)熱源的傳熱方程無量綱化，然后利用傅里葉積分變換法求解，其中軸向分布不均的對流換熱系數(shù)和氣隙流體溫度用等效的對流換熱系數(shù)和等效氣隙流體溫度代替。通過與有限元計算結(jié)果對比，驗證了該解析解的正確性。獲得了一類高速永磁電機轉(zhuǎn)子在各種散熱因素作用下的穩(wěn)態(tài)最高溫度分布圖，為轉(zhuǎn)子的熱設(shè)計提供了理論支持。

永磁同步電機；轉(zhuǎn)子；溫度場；熱設(shè)計

0 前言

目前，常用的稀土鈷或者釹鐵硼永磁體的剩磁和矯頑力均隨溫度的上升而降低。過高的溫度會使永磁體勵磁磁通減小（引起電機偏離設(shè)計工作點），甚至造成永磁體永久性退磁（電機失效）。不可否認，高速將帶來諸多優(yōu)點，如整機尺寸減小、結(jié)構(gòu)緊湊、重量減輕。但是，如果轉(zhuǎn)子沒有經(jīng)過合理的熱設(shè)計，這些優(yōu)點反而會加強轉(zhuǎn)子散熱的困境。于是，永磁體轉(zhuǎn)子的熱設(shè)計非常重要。

轉(zhuǎn)子熱設(shè)計的最終目標是采用合適的冷卻方式將整根轉(zhuǎn)子的溫度控制在設(shè)計范圍內(nèi)。其中冷卻方式對轉(zhuǎn)子散熱的影響可以用對流換熱系數(shù)來描述；轉(zhuǎn)子溫度的上升來自于其內(nèi)部的內(nèi)熱源，即電機的損耗（渦流損耗和空氣摩擦損耗等）。高速永磁電機的設(shè)計過程涵蓋多個學科，如電磁學、轉(zhuǎn)子動力學、流體力學、傳熱學等。為此，需要構(gòu)建估算轉(zhuǎn)子溫度場的解析解，以便于綜合其他物理場來評判轉(zhuǎn)子設(shè)計的合理性。

由于轉(zhuǎn)子本身含有內(nèi)熱源，轉(zhuǎn)子溫度場的預(yù)測可以歸結(jié)到求解瞬態(tài)的含內(nèi)熱源的傳熱方程。特別地，當永磁體為圓筒形或者圓柱形時，采用解析解求解溫度場成為可能。雖然對于幾何形狀及邊界條件都比較簡單的問題可以獲得解析解[1]，但是求解特殊幾何結(jié)構(gòu)和邊界條件下的解析解仍然充滿著挑戰(zhàn)。M.H.Kayhani[2]在2009年采用分離變量法求解了無內(nèi)熱源，纖維繞制圓筒在平面內(nèi)的穩(wěn)態(tài)溫度場解析解，其中纖維具有正交各向異性的導熱屬性。針對具有一般邊界條件（傳導、對流和輻射的線性組合）的這種纖維圓筒，2012年該作者在文獻[3]中求解了其在平面內(nèi)的穩(wěn)態(tài)溫度場解析解，其中利用Sturm-Lionville定理推導了合適的傅里葉變換。對于多層圓筒（徑向方向套接）的二維瞬態(tài)溫度場，當圓筒端面為絕熱時的解析解已被較早地研究過，如文獻[4]采用分離變量法求解了單層和雙層氣缸的溫度場。當圓筒端面為恒溫時，或者一端恒溫，一端絕熱時，X.Lu[5]采用一種新穎的分離變量法獲得了其瞬態(tài)溫度場解析解。同時X.Lu[6]將這種新穎的分離變量法與Laplace變換結(jié)合起來求解了多層圓盤（軸向疊加）的瞬態(tài)溫度場，其中圓盤上下表面（軸向）為對流換熱邊界條件，側(cè)面為恒溫邊界條件。當處理含有內(nèi)熱源的瞬態(tài)傳熱方程時，目前有兩種方法可以借鑒：有限積分變換法和基于分離變量法的“拆分法”。文獻[7-8]利用雙重有限積分變換法求解了含內(nèi)熱源的軸向疊加的圓筒和徑向套裝的多層圓筒的瞬態(tài)溫度場。對于前者，在軸向上采用Fourier積分變換，在徑向上采用Hankel積分變換；對于后者，在徑向上采用Hankel積分變換，在周向上采用Fourier積分變換。另外一種求解含內(nèi)熱源的徑向套裝多層圓筒瞬態(tài)溫度場解析解的技巧是：在周向上將物理量（溫度場，邊界條件等）展開成傅里葉級數(shù)，然后在徑向上進行一次積分變換，最后進行反變換，如文獻[9]所處理的那樣?；诜蛛x變量法的“拆分法”的處理技巧是[10]：將含內(nèi)熱源的瞬態(tài)傳熱方程拆分成不含內(nèi)熱源的瞬態(tài)傳熱方程與含內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)傳熱方程（邊界條件相應(yīng)改變），用分離變量法求得這兩個方程的解之后，再疊加即得到原問題的解。

雖然采用有限元法可以求取永磁轉(zhuǎn)子溫度場，但是它缺少解析解那樣的洞察力，而且移植性也不好，即解析解能和其他的解析解（比如電磁場和應(yīng)力場等）一起進行雙向耦合分析，尤其方便于優(yōu)化設(shè)計，但是目前鮮有關(guān)于永磁體轉(zhuǎn)子溫度場解析解的文獻報道。本文首先將描述轉(zhuǎn)子溫度場的控制方程—含內(nèi)熱源的瞬態(tài)傳熱方程無量綱化，然后采用有限積分變換法求解，以獲得三層永磁轉(zhuǎn)子溫度場解析解。

1 基本假設(shè)及其物理模型

高速永磁同步電機轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中環(huán)形永磁體沿直徑切成兩半后扣在心軸上，然后外面熱套一個圓筒，即保護套。

圖1 永磁轉(zhuǎn)子實際結(jié)構(gòu)

作如下假設(shè)：

（1）不考慮轉(zhuǎn)子軸向上的溫度分布，即對流換熱系數(shù)和氣隙流體的溫度都用沿軸向的平均值代替。

（2）轉(zhuǎn)子屬性，比如比熱容、密度、熱導率等不隨溫度變化；事實上，永磁轉(zhuǎn)子的工作溫度一般不超過250℃，轉(zhuǎn)子材料屬性在此溫度之內(nèi)變化很小。

（3）轉(zhuǎn)子材料的傳熱屬性是各向同性的，并且各層材料之間接觸良好。

于是轉(zhuǎn)子的物理模型可以用圖2描述。

圖2 永磁轉(zhuǎn)子物理模型

2 控制方程及邊界條件和初始條件

轉(zhuǎn)子溫度場的控制方程可以寫成[7]：

AD9833可將DAC數(shù)據(jù)的最高有效位輸出。通過對OPBITEN（D5）控制位置1，可將VOUT引腳輸出DAC數(shù)據(jù)的最高有效位。這可以作為粗調(diào)時鐘源。這個方波還可在輸出之前進行2分頻?？刂萍拇嫫鞯腄IV2（D3）bit控制VOUT引腳提供的此輸出的頻率。

轉(zhuǎn)子內(nèi)表面換熱邊界條件為：

若心軸為實心，則式（2a）簡化成：

轉(zhuǎn)子外表面換熱邊界條件為：

轉(zhuǎn)子配合面的邊界條件為：

（5）

式（4）和式（5）分別表明溫度場和熱流量在配合面處連續(xù)。

初始條件為：

3 方程及邊界、初始條件的無量綱化

式（2a）和式（2b）相應(yīng)地變成：

（8b）

式（3）變?yōu)椋?/p>

式（4）~（6）分別變?yōu)椋?/p>

（11）

4 多層轉(zhuǎn)子瞬態(tài)溫度場解析解

為表述方便，特將無量綱量的上劃線標記省略，如不特殊說明，以下各量均為無量綱時的情形。為求解式（7），將其兩邊乘上，并在上積分得到：

并且對于第一層轉(zhuǎn)子部件有：

對第三層轉(zhuǎn)子部件有：

在轉(zhuǎn)子配合面有：

（18）

將式（19）帶入式（15）~（18），得到如下方程組

其中各系數(shù)的表達式如下：

三個特征根滿足如下關(guān)系[9]：

將式（22）代入到式（21）中，可以得到只含有一個未知量的系數(shù)矩陣。若要式（21）有非零解，系數(shù)矩陣行列式必須為零。所以根據(jù)這一關(guān)系，可解出。

將式（19）代入到式（17）和（18）得到：

由式（21）第一行展開得到：

將式（14）代入到（13）得到：

將式（22）帶入到式（25），然后將式（25）兩邊同時乘上，并對取和，得：

利用邊界條件，式（26）右端第一項可以化成：

于是式（26）可以寫成：

式（30）的解為：

將式（34）代入式（33）得到：

式（35）便是原問題的解析解。

5 算例

表1 轉(zhuǎn)子的材料屬性

圖3 不同時刻轉(zhuǎn)子溫度場的解析解與有限元結(jié)果對比

從圖3可見，解析解和有限元解吻合非常好，驗證了解析解的正確性。在50s時，保護套的溫度最高306K，心軸溫度最低297K，溫度由外徑向內(nèi)徑方向逐漸降低，溫差為9K。200s時，溫度分布趨勢不變，保護套的溫度為327.5K，永磁體溫度為320K，徑向方向溫差為7.5K。500s時，該溫度趨勢仍然不變，保護套的溫度為359K，永磁體溫度為354K，徑向方向溫差為5K。1000s時，保護套的溫度為390K，永磁體溫度為356.5K，徑向方向溫差為3.5K。這說明轉(zhuǎn)子內(nèi)溫度場隨著時間逐漸趨于均勻。

6 內(nèi)熱源密度以及冷卻條件對轉(zhuǎn)子溫度的影響

轉(zhuǎn)子的溫度場由以下因素決定：熱源密度、對流換熱系數(shù)以及氣隙流體的溫度。其中，內(nèi)熱源密度由反映。當轉(zhuǎn)子采用外表面強迫空氣冷卻時（定轉(zhuǎn)子間隙的軸向流），對流換熱系數(shù)由反映，氣隙流體溫度由反映。對以上三個因素分析，可以獲得一類轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)最高溫度分布圖。通過它能夠方便地估算出這類轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)最高溫度，或者反過來估算出對流換熱系數(shù)。本節(jié)引入無量綱量進行永磁轉(zhuǎn)子的散熱規(guī)律研究。仍以算例5中的轉(zhuǎn)子為研究對象，進行無量綱化后，，，，，分別取3.675、1.837、1.225、0.918，分別取1.043、1.076、1.110、1.143，取0.062~30，計算結(jié)果如圖4所示。

圖4 各種因素對轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)最高溫度的影響

7 結(jié)論

（1）本文采用有限積分變換法求解了含內(nèi)熱源的瞬態(tài)傳熱方程，獲得三層（包含兩層）永磁轉(zhuǎn)子溫度場解析解，并進行了有限元仿真。仿真與解析解結(jié)果對比證明了解析解的正確性。

（2）當氣隙流體溫度和內(nèi)熱源密度降低時，轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)最高溫度線性降低。轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)最高溫度主要由對流換熱系數(shù)和內(nèi)熱源密度決定，氣隙流體溫度對轉(zhuǎn)子散熱的效果要比上述兩個因素小，而且僅僅在對流換熱系數(shù)較小時其影響較明顯，對于較大對流換熱系數(shù)情形，影響較微弱。

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An analytical solution to the transient temperature field in rotors of high speed permanent magnet synchronous motors

Jia Xiujian, Sun Yanhua, Cheng Wenjie, Liu Zhonghua, Yu Lie

(1. State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi'an Jiaotong University, Xi'an 710049, China; 2. Xi'an University of Science and Technology, Department of Basic Courses, Mechanics Research Center, Xi'an 710054, China）

In the thermal design of the rotor, the appropriate convective heat-transfer coefficient and temperature of the main flow need to be determined to guarantee its local temperature not exceeding the design value, whereas the corresponding convective heat-transfer coefficient can be ascertained through the experimental measured temperature of the rotor and main flow, when the heat sources are known. This paper proposes the analytical solution to the thermal field of the rotor for the thermal design of the high speed permanent magnet (PM) rotors. First, dimensionless formulation of the transient heat conduction equation including interior heat source is derived, where the axially uniform convective heat-transfer coefficient and main flow temperature are equivalent to their mean values. Next, the Fourier integral transform method is used to solve the dimensionless equation. Finally, the analytical solution is verified by simulation. According to the analytical solution, a distribution of stead maximum temperature of a class of high speed PM rotors can be obtained under different heat dissipations and provides a theoretical support in the thermal design of the rotor.

permanent magnet synchronous motors; rotor; temperature field; thermal design

TM351

A

1000-3983(2016)05-0001-06

2015-06-12

賈修建（1991-），西安交通大學機械工程學院碩士研究生，從事高速永磁電機耦合場研究。

國家自然科學基金資助項目(51175411，51139005，51275386，51375366)

審稿人：宮海龍