唐浩月

摘 要：反例和證明推動了數學學科的發(fā)展， 在數學發(fā)展中具有同等重要的作用.利用反例可以發(fā)現原有理論的局限性， 推動數學向前發(fā)展.在數學教學中通過反例， 可加深學生對基本概念的理解和對基礎知識的掌握， 發(fā)現并糾正錯誤， 培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和良好的思維品質。

數學中的反例，是指符合某個命題的條件，而又不符合該命題結論的例子.說得更簡潔一點，反例就是一種指出某命題不成立的例子.這里，我們討論建立在數學上已證實的理論與邏輯推理基礎上，并且具有一定作用的反例.本文主要從以下幾個方面闡述反例在數學教學中的作用。

第一 通過反例教學可加深學生對基本概念和定理的理解.

概念是數學理論和方法的基礎， 只有準確地理解和把握概念的內涵， 掌握概念的本質屬性， 才有可能正確掌握數學知識.高等數學中具有若干新概念， 而要很好地理解這些新概念， 正面的例子可起到了解熟悉新概念的作用，而反例則可加深對新概念的理解.

在講授Lagrange 中值定理時，學生易將其理解為對一切可微函數均有效，其實它只適用于實分析.這時可構造如下反例以加深學生對Lagrange 中值定理的理解.

例：設 不難驗證 處處連續(xù)而且可微，但找不到一個區(qū) 在a與b之間存在某個 ，使：

故， 由于不存在正數 ，使得 ，因而矛盾，故式（1）不成立.究其原因是 的值域中含有虛數元，不屬于Lagrange 中值定理中所指實函數范疇.

第二 通過反例教學可加深學生對基礎知識的理解.

數學的教學內容除概念以外， 大量的是定理 性質以及他們的應用.每一個定理 性質都有它各自成立的條件.講解定理性質時， 必須促使學生注意這些條件， 理解和掌握他們的實質，為推理論證及應用計算打下良好的基礎， 在這個環(huán)節(jié)中， 正面的例題可使學生掌握定理性質， 而反例則可加深學生對其的本質理解， 以防止理解錯誤，運用不當.例如在微分中值定理的教學中， 為使學生準確理解和掌握微分中值定理， 必須強調結構成立的條件.又如因多元函數是一元函數的推廣，它必然要保留一元函數的許多性質，但由于自變量增多，也會產生本質上的差別，因此，在學習多元函數的理論時，既要注意它與一元函數的聯系，也要弄清它們之間的本質差別，比如學生在學習多元函數的偏導數與連續(xù)性的關系時，容易受到思維定勢的影響，不注意一元與多元的差異，錯誤地把一元函數中可導必連續(xù)這一結論搬到多元函數中來，但這個問題結論對多元函數是不成立的，為引起重視，可用如下反例加以說明.

如 ，由偏導數定義 而 在 點卻不連續(xù).

又如 在 點連續(xù)，但在 點兩個偏導數都不存在.

第三 通過反例教學可可以發(fā)現和糾正學習中存在的錯誤.

教學過程是一個知識積累的過程， 同時也是不斷發(fā)現錯誤改正錯誤的過程， 反例在辨析錯誤中具有直觀 明顯 說明力強等突出特點.通過反例教學， 不但可以發(fā)現學習中存在的錯誤和漏洞， 而且可以從反例中修補相關知識， 從而獲得正確結論或解答.在區(qū)分無界函數和無窮大量這兩個概念時， 不少學生認為無界就一定是無窮大量.而通過下面的反例即澄清了錯誤認知.

在學習概率論中，同學們都知道不可能事件的概率為零，但是概率為零的事件不一定是不可能事件.通過一反例說明.

第四 培養(yǎng)學生的良好思維品質.

數學教學的目的在于培養(yǎng)學生的思維能力， 通過數學知識的傳播和思想方法的熏陶， 使學生形成良好的思維品質.這就要注重培養(yǎng)他們思維的靈活性、批判性、 嚴謹性及廣闊性.而反例在培養(yǎng)學生思維品質的這幾個方面都可起到正面例題所不能起到的作用， 特別是在培養(yǎng)思維的嚴謹性和批判性方面尤為重要.

第五 通過反例教學， 可培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力

巧妙的一個反例便可否定似乎經過嚴格“證明”的結論， 但實際上， 反例的構造并不輕松.構造反例并不像證明那樣有清晰可循的邏輯途徑，反而需要更高的數學素養(yǎng)和勇于創(chuàng)新的能力.一般說來， 許多反例的構造并不惟一， 這就從另一方面給學生提供了培養(yǎng)創(chuàng)造性能力的多種途徑.因此在教學中， 除教師應用反例教學外， 指導學生構造反例， 使學生在構造反例的過程中學會創(chuàng)新， 養(yǎng)成勤于探索， 不斷進取的良好習慣.在教學中， 通過對陳題改造或挖掘定理 性質的隱含條件以及針對學生學習中的錯誤， 編制涉及構造反例的題目，通過學生構造反例的訓練， 達到培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力的目的.

數學是一門嚴密的學科，他有自己獨特的思維方式和邏輯推理體系.在數學教學中通過注重應用反例，不但可使學生加深理解教材內容，明確命題成立條件，克服對數學知識理解的偏差，而且培養(yǎng)了學生應用反例的能力.數學教學實踐證明，通過反例的列舉，對于理解概念和對整個理論的建立有著重要的借鑒作用，可以使學生澄清對某些概念和性質的模糊認識，加深理解教材內容，搞清命題成立條件，克服對數學知識理解的偏差，從而更深刻地理解知識，思維更加嚴謹.可以這樣說，學好數學就必須養(yǎng)成舉反例的習慣.而一般來說，舉反例比給出證明更需要想像力和創(chuàng)造性.因此，教師在日常教學中一定要注重應用反例教學，引導學生養(yǎng)成舉反例的習慣，同時也培養(yǎng)學生應用反例的能力.在這一系列的過程中，不斷提高學生數學能力.