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        正態(tài)分布曲線教學(xué)感悟

        2016-10-20 01:10:06洪云
        福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2016年3期
        關(guān)鍵詞:連續(xù)型概率分布正態(tài)分布

        洪云

        1.正態(tài)分布概念及曲線的引入

        正態(tài)分布在統(tǒng)計中是很常用的分布,它能刻畫很多隨機現(xiàn)象,由中心極限定理知一個隨機變量如果是眾多的、互不相干、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和,它就服從或近似服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布的隨機變量是一種連續(xù)型隨機變量,離散型隨機變量最多取可列個不同值,它等于某一特定實數(shù)的概率可能大于0,人們感興趣的是它取某些特定值的概率,即感興趣的是其分布列;連續(xù)型隨機變量可能取某個區(qū)間上的任何值,它等于任何一個實數(shù)的概率都是0,通常感興趣的是它落在某個區(qū)問的概率,離散型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布列描述,而連續(xù)型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布密度函數(shù)曲線描述,高中數(shù)學(xué)2—3介紹幾種常用分布:兩點分布、二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布,當(dāng)”充分大時,二項分布可用正態(tài)分布來近似,即二項分布的正態(tài)逼近,因此,在教學(xué)是有必要跟學(xué)生介紹離散型和連續(xù)型分布的區(qū)別與聯(lián)系,

        正態(tài)分布密度函數(shù)的推導(dǎo)是十分困難的,教科書采用直接給出正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式的方法,這使學(xué)生在很長一段時間里不理解正態(tài)分布的實際含義,而本節(jié)的教學(xué)重點應(yīng)放在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識正態(tài)分布密度曲線的特點及其所表示的意義上,教學(xué)中可采用直觀方法:高爾頓板實驗的方法(可利用計算機模擬)引入正態(tài)分布密度曲線,可以幫助學(xué)生理解正態(tài)分布曲線的來源,當(dāng)然,教師要引導(dǎo)學(xué)生,在實驗中,小球到底落到哪個球槽內(nèi),是很多次與小木塊隨機碰撞結(jié)果的疊加,并引導(dǎo)學(xué)生觀察小球落到球槽的分布情況,使學(xué)生注意投放一個小球?qū)嶒炇且粋€隨機實驗,重復(fù)投放”個小球,相當(dāng)于做了”次獨立重復(fù)實驗,隨著實驗次數(shù)的增加,頻率分布直方圖的形狀會越來越像一條鐘形曲線,

        2.正態(tài)分布密度曲線及函數(shù)的定義、性質(zhì)

        給出正態(tài)曲線圖像后,雖然看上去很美,但教材上是不會說明這個密度函數(shù)是通過什么原理推導(dǎo)出來的,所以學(xué)生會搞不明白數(shù)學(xué)家當(dāng)年是怎么找到這個概率分布,這個概率分布有何重要作用,因此,教學(xué)中,教師可以介紹正態(tài)分布曲線從發(fā)現(xiàn)到被人們重視進(jìn)而廣泛應(yīng)用幾百年的精彩歷史!教材中列舉了許多服從正態(tài)分布的隨機變量的例子,比如某一地區(qū)同齡人群身高的分布,打靶所中環(huán)數(shù)等,教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析為什么它們都近似服從正態(tài)分布,以加強學(xué)生對隨機變量產(chǎn)生背景的印象,要的數(shù)學(xué)常量兀,e都出現(xiàn)在這公式中,數(shù)理統(tǒng)計領(lǐng)域中這個公式最能讓人感覺到“神”的存在,因為這個分布戴著神秘面紗,在自然界中無處不在,讓你在紛繁蕪雜的數(shù)據(jù)背后看到隱隱的秩序!教師可以結(jié)合研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、某區(qū)間上的最值等方面來分析密度函數(shù)的性質(zhì),

        數(shù)形結(jié)合在正態(tài)曲線的教學(xué)中尤為重要,正態(tài)曲線的特點包括圖像與坐標(biāo)軸之間的關(guān)系、單峰性、對稱性、峰值的位置與大小、圖像與坐標(biāo)橫軸圍成的面積,這里前四個特點都可以根據(jù)函數(shù)曲線的形狀及正態(tài)密度函數(shù)表達(dá)式得到,最后一個需要利用概率的性質(zhì),教材并沒有給出具體證明,教師可結(jié)合幾何畫板直觀展示兩個參數(shù)u,σ對正態(tài)分布密度曲線位置、形狀的影響,服從正態(tài)分布Ⅳ(u,σ2)的隨機變量服從3σ原則,

        3.全國卷中的正態(tài)分布

        在長時間的福建高考數(shù)學(xué)卷中,幾乎沒見正態(tài)分布題目的身影,2016年起,我省高考將恢復(fù)使用全國卷,縱觀近些年全國卷,正態(tài)分布亮相多次,有單獨知識點考查,也有與其它知識融會貫通,這不得不引起我們的思考、重視,教學(xué)中,要注重解題方法與技巧,

        例(2012年高考新課標(biāo)全國卷·理15)某個部件由三個元件按下圖方式連接而成,元件l或者元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作,設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位:小時)均服從正態(tài)分布Ⅳ(1000,502),且各個元件能否正常相互獨立,那么該部件的使用壽命超過1000小時的為——,

        考點正態(tài)分布曲線的特點及其曲線所表示的意義

        專題計算題;基礎(chǔ)題

        數(shù)學(xué)思想方法數(shù)形結(jié)合

        分析先根據(jù)正態(tài)分布的意義,知三個電子元件 的使用壽命超過1000小時的概率為1/2,所求事件“該

        部件的使用壽命超過1000小時”當(dāng)且僅當(dāng)“超過1000小時時,元件l、元件2至少有一個正?!焙汀俺^1000小時時,元件3正?!蓖瑫r發(fā)生,由于其為獨立事件,故分布求其概率再相乘即可,

        反思本題主要考察了正態(tài)分布的意義,正態(tài)密度曲線的對稱性,獨立事件同時發(fā)生的概率運算,對立事件的概率運算等基礎(chǔ)知識,

        例(2014年高考新課標(biāo)I全國卷·理18)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖,

        (I)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差;

        考點正態(tài)分布曲線的特點及其曲線所表示的意義;離散型隨機變量的期望與方差,

        專題計算題;概率與統(tǒng)計,

        數(shù)學(xué)思想方法數(shù)形結(jié)合,

        分析由z服從正態(tài)分布Ⅳ(200,150),利用3σ原則求出P,

        反思本題主要考察離散型隨機變量的期望和方差,以及正態(tài)分布的特點及概率求解,考察計算能力,

        4.結(jié)語

        著名統(tǒng)計數(shù)學(xué)家C.R.Rao這么說:在終極的分析中,一切知識都是歷史;在抽象的意義下,一切科學(xué)都是數(shù)學(xué);在理性的世界里,所有的判斷都是統(tǒng)計學(xué),如果說,充斥著偶然性的世界是一個紛亂的世界,那么,正態(tài)分布為這個紛亂的世界建立了一定的秩序,使得偶然性現(xiàn)象在數(shù)量上被計算和預(yù)測稱為可能,高中階段教材對正態(tài)分布介紹有局限,筆者的教學(xué)感悟也是有感而發(fā),如果正態(tài)分布是一滴水,教師的愿望便是通過有效的教學(xué),使學(xué)生都能看到它折射出的七彩虹,

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