范英飛 黃倩倩 楊墨

（西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，成都，611756）

兩類穩(wěn)定性定理的改進(jìn)*

范英飛 黃倩倩 楊墨

（西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，成都，611756）

本文研究?jī)深惙€(wěn)定性定理.對(duì)LaSalle不變?cè)碜龈雍侠淼母倪M(jìn).研究了Lyapunov直接法，得到了改進(jìn)的比較原理，并加以證明，最后應(yīng)用到實(shí)例中.

LaSalle不變?cè)?比較原理 改進(jìn)

1　LaSalle不變?cè)?/h2>

1960年，LaSalle［1］發(fā)現(xiàn)了Lyapunov函數(shù)與伯勞霍夫極限集［2］之間的關(guān)系，對(duì)函數(shù)的直接法進(jìn)行了推廣.實(shí)際上考察一個(gè)運(yùn)動(dòng)極限集位置的研究，就是考察該運(yùn)動(dòng)的漸進(jìn)行為，因此我們可以選定適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，利用極限集的不變性，給出極限集位置的信息.這一思想稱為“不變?cè)怼?LaSalle不變?cè)碓诙鄠€(gè)領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，例如在Multi-Agent系統(tǒng)［3］和線性切換系統(tǒng)［4］.

鑒于定理的實(shí)用性，許多學(xué)者對(duì)這一原理進(jìn)行了深入的討論和研究［5-8］.本節(jié)旨在對(duì)La-Salle不變?cè)碜龈雍侠淼母倪M(jìn)，降低其使用的難度.

1.1n維自治系統(tǒng)

考慮n維自治系統(tǒng)

其中x=col（x1，x2，…xn），f=col（f1，f2，…fn），f：D∈Rn→Rn連續(xù)，0∈D保證（1）的解的唯一性.

稱x*∈D為正半軌線x（tk，t0，x0）的ω極限點(diǎn)，若有序列tk｛｝滿足

記Ω（x0）為起始點(diǎn)x0的所有ω極限點(diǎn)x*組成的集合.

區(qū)域D的邊界記為?D.

1.2LaSalle不變?cè)淼母倪M(jìn)

定理1 設(shè)D是一個(gè)有界閉集，（1）的解的起始點(diǎn)x0?D.若?V（x）：D→R為L(zhǎng)yapunov函數(shù)，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且有則區(qū)域D為（1）的解的不變集.

若不然，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，必存在t2＞t1＞0，使得x（t1，t0，x0）為?D上一點(diǎn)，x（t2，t0，x0）為躍出邊界的軌線上一點(diǎn)，且有x（t2，t0，x0）＞x（t1，t0，x0）.

因?yàn)閂（x）是嚴(yán)格單增的函數(shù)，容易得到

顯然這與假設(shè)矛盾.因此x（t，t0，x0）?D必然成立，區(qū)域D為（1）的解的不變集.定理得證.

1.3例子

例 用極限環(huán)的情形來(lái)應(yīng)用上述定理.

使得

那么在區(qū)域D內(nèi)的環(huán)形區(qū)域Dn被叫做極限環(huán).

2　比較原理

Lyapunov直接法的許多定理及推廣，解決了很多的實(shí)際問(wèn)題［9-10］，但對(duì)于一些比較復(fù)雜的問(wèn)題，必須結(jié)合其他方法加以處理，其中理論上最完善，應(yīng)用上最廣泛的便是比較原理［11-14］.

2.1預(yù)備知識(shí)

首先給出比較原理的思想實(shí)質(zhì).

考慮n維非自治系統(tǒng)

其中x=col（x1，x2，…xn），f=col（f1，f2，…fn），f連續(xù)，保證（2）的解的唯一性.

同時(shí)再給定一個(gè)純量方程

其中g(shù)（t，0）≡0，g ∈C［I×Rn，R+］.

設(shè)存在正定函數(shù)V（t，x），關(guān)于x 滿足局部Lipschitz條件，V（t，0）≡0，且有

再考慮比較方程

根據(jù)（2），（3），可得

因此我們可以通過(guò)（3）的解的穩(wěn)定性來(lái)判斷（2）的解的穩(wěn)定性.

2.2比較原理的改進(jìn)

定理2 若存在Lyapunov函數(shù)V（t，x）∈C［I×Rn，R+］，關(guān)于x滿足Lipschitz條件，V（t，0）≡0，且V沿（2）解的右上Dini導(dǎo)數(shù)［15］滿足

則（3）的平凡解一致穩(wěn)定蘊(yùn)涵（2）的平凡解一致穩(wěn)定.

證明 因?yàn)閂正定，由定義知?φ∈K［2］，使得

因?yàn)椋?.3）的平凡解一致穩(wěn)定，由定義知?ε＞0，?δ（ε），只要U0＜δ（ε），就有

因此

再根據(jù)

可得

所以?ε＞0，?δ1（ε）＞0，當(dāng)‖x0‖＜δ1（ε）時(shí)，有‖x‖＜ε，即（2.4）的平凡解一致穩(wěn)定.定理2得證.

注 原始的比較原理［16］，V還需要滿足具有無(wú)窮小上界這一條件.

2.3例子

再給定方程組

我們驗(yàn)證了定理2的可行性.

3　小結(jié)

改進(jìn)后的比較原理，我們?nèi)サ袅薞函數(shù)具有無(wú)窮小上界這個(gè)條件，從而提高了實(shí)用效率.

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Two Types of Improved Stability Theorems

Fan Yingfei Fan Xiaoming Huang Qianqian Yang Mo
（School of Mathematics，Southwest Jiaotong University，Chengdu 611756，China）

In this paper we give improvements to the LaSalle invariance principle and the comparison principle，and then apply them to examples.

LaSalle invariance principle Comparison principle Improvement

2016年03月17日