吳淑君，石忠銳

（1.上海大學(xué)理學(xué)院，上海 200444；2.中國(guó)石油大學(xué)（華東）基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系，山東青島 266580）

Young不等式的一種推廣

吳淑君1，2，石忠銳1

（1.上海大學(xué)理學(xué)院，上海 200444；2.中國(guó)石油大學(xué)（華東）基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系，山東青島 266580）

首先修正了專著《Orlicz空間幾何理論》中的定理1.10,對(duì)修正后的結(jié)果給出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明,借助此結(jié)果證明了一類推廣的Young不等式,從而完善了Young不等式的理論體系.

Young不等式；N-函數(shù)；右反函數(shù)

1912 年，Young［1］證明了著名的Young不等式：

式中，f為嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=f（a）.Young不等式不僅是數(shù)學(xué)分析中的重要不等式［2-3］，而且還廣泛應(yīng)用于逼近論［4］、矩陣分析［5］等學(xué)科.由于f的單調(diào)性和連續(xù)性限制了Young不等式的使用范圍，人們研究了Young不等式的各種推廣，如關(guān)于非減連續(xù)函數(shù)的Oppenheim不等式［3］、關(guān)于多元可微函數(shù)的不等式［3］等.

如果f是非減的右連續(xù)函數(shù)，則雖然不滿足Young不等式，但此時(shí)f的原函數(shù)是凸函數(shù).借鑒Jensen［6］對(duì)凸函數(shù)的研究成果，文獻(xiàn)［7］給出了Young不等式的一種推廣：

式中，p為右連續(xù)的非減函數(shù)，q為p的右反函數(shù)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)p-（|u|）6|v|6 p（|u|）.此式將Young不等式向前推進(jìn)了一大步，使得一大類函數(shù)納入了Young不等式的范疇，由此一些經(jīng)典結(jié)論得到了推廣，如LP中的H¨older不等式、Minkowski不等式等［2-3］.近年來(lái)，Orlicz空間給眾多非線性問題提供了恰如其分的空間框架，特別是在圖像處理、電流變流體、非線性彈性力學(xué)等熱門領(lǐng)域中展現(xiàn)出了LP空間所不能及的優(yōu)勢(shì)［8-9］.Orlicz空間正是式（1）中的凸函數(shù)M生成的，并且此不等式是研究Orlicz空間的支柱工具［7,10-13］.目前所見文獻(xiàn)中只對(duì)此不等式給出了幾何解釋，并未見嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.Luo等［14］試圖利用文獻(xiàn)［11］中的定理1.10（即文獻(xiàn)［10］中的引理1.14）作為主要工具來(lái)證明此不等式，但是此定理不真.

本研究首先修正了文獻(xiàn)［11］中的定理1.10，并給出修正后結(jié)果的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明，然后借助經(jīng)典Young不等式證明了推廣后的不等式（1），從而完善了Young不等式的理論體系.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［7］稱M：R→［0,∞）是一個(gè)N-函數(shù)是指M是偶的凸函數(shù)，并且滿足

引理1［7］M：R→［0,∞）是一個(gè)N-函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)存在定義于［0,∞）的函數(shù)p滿足

（1）p是右連續(xù)的非減函數(shù)；

（2）當(dāng)t＞0時(shí)，p（t）＞0；

（3）p（0）=0，p（∞）=∞，

定義2［7］q（s）=sup｛t0：p（t）s｝稱為p的右反函數(shù)，稱為M的余函數(shù).

注1［7］p，q互為右反函數(shù)，M,N互為余函數(shù).p，q滿足q（p（u））u,p（q（u））u,u∈［0,∞）.

定義3［10］稱區(qū)間［a,b］是函數(shù)M的結(jié)構(gòu)仿射區(qū)間（structural affine interval，SAI），如果M在［a,b］上仿射，且?η＞0,則M在［a-η,b+η］上不仿射.

定義4［7］稱函數(shù)M：R→R是嚴(yán)格凸的是指

引理3［7］N-函數(shù)M嚴(yán)格凸?M的右導(dǎo)數(shù)p嚴(yán)格遞增?p的右反函數(shù)q連續(xù).

2 主要結(jié)果

引理4 對(duì)任意的N-函數(shù)M，以及任意ε＞0，存在嚴(yán)格凸的N-函數(shù)Mε，使得

式中，p,pε分別為M,Mε的右導(dǎo)數(shù).

證明 如果p是右連續(xù)的非減函數(shù)，且p（∞）=∞,則p為常數(shù)的區(qū)間必為［ak,bk）形的.記這種區(qū)間的全體是當(dāng)k不同時(shí)，［ak,bk）互不相交且為結(jié)構(gòu)仿射區(qū)間（SAI）.

（1）證明對(duì)任意的ε∈（0,1）都存在滿足式（2）的函數(shù)pε（t）,t∈［0,∞）.

步驟1 令S1=［a1,b1）,分成以下兩種情況討論.

情況1 p（b1）＞p（a1）.

從而，pε（t）在上滿足式（2）.

情況2 p（b1）=p（a1）.

由于p在b1處右連續(xù)，故取使得令在上定義pε（t）為過的直線段.下證pε（t）在上滿足式（2）.

從而pε（t）在上滿足式（2）.

步驟2.1 S2=φ,同步驟1處理.

情況1 如果S2?（-∞,a1）,則這與矛盾.

1）如果S2=［a2,b2）,則令根據(jù)步驟1，pε在上已有定義且滿足式（2）.

步驟3.1 S3=φ,同步驟1處理.

1）如果S3=［a3,b3），則存在i0∈｛1,2｝,使得同步驟2的情況2討論.

……

步驟k.1 Sk=φ,同步驟1處理.

1）如果Sk=［ak,bk），則存在i0∈｛1,2,…,k-1｝,使得令同步驟2的情況2討論.

……

（2）證明pε在［0,∞）上嚴(yán)格遞增.

1）存在k1,使得根據(jù)pε的構(gòu)造可知

2）存在k2,k3,且使得由于故從而即

注2 文獻(xiàn)［11］中定理1.10的證明方法不真.反例如下：

定理1 對(duì)任意的u,v∈R,都有

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)p-（|u|）|v|p（|u|）.

證明 因?yàn)镸,N是偶函數(shù)，所以只需證明u＞0,v＞0時(shí)結(jié)論成立.

由于pε嚴(yán)格遞增，故由引理3知qε連續(xù).再由引理4，存在一個(gè)嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù)qεε，并滿足

聯(lián)合式（4）和（5）可得

由于qεε是嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù)，故qεε的右反函數(shù)pεε與qεε互為反函數(shù)，且仍為嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù).根據(jù)pεε的定義知

由式（3）和（7）得

由經(jīng)典Young不等式得

當(dāng)且僅當(dāng)v=pεε（u）時(shí)等號(hào)成立.

根據(jù)式（8），有

再根據(jù)式（6）得

聯(lián)合式（9）～（11），有

下面證明式（1）中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)p-（u）vp（u）.

（1）充分性.

首先說(shuō)明up（u）=M（u）+N（p（u））.

?ε＞0,根據(jù)式（8）以及Young不等式中等號(hào)成立的條件可得

由式（8），（10）和（11）知

另一方面，?w＞u＞0,由式（8）和Young不等式中等號(hào)成立的條件知

并且，

根據(jù)式（6）和（8），

當(dāng)u=q（v）時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性知

?v∈［p-（u）,p（u）］，

1）當(dāng)p-（u）=p（u）時(shí)，v=p（u）,從而uv=M（u）+N（v）.

2）當(dāng)p-（u）＜p（u）時(shí)，?v∈［p-（u）,p（u））有q（v）=sup｛s0：p（s）v｝=u,故uv=M（u）+N（v）.

（2）必要性.

如果uv=M（u）+N（v），則v∈［p-（u）,p（u）］；

反之，則存在u＞0,v∈（0,p-（u））S（p（u）,∞）,滿足uv=M（u）+N（v）.

1）如果存在t0∈（p（u）,v）,使得q（t0）＞q（p（u））u.根據(jù)q是右連續(xù)的非減函數(shù)，有

因此M（u）+N（v）＞uv，這與uv=M（u）+N（v）矛盾.

2）如果?t∈［p（u）,v）,有q（t）=q（p（u））=q-（v）＞u,則

故M（u）+N（v）＞uv,矛盾.

當(dāng)v＜p-（u）時(shí)，有q（v）＜u.根據(jù)u與v，p與q的對(duì)稱性可得M（u）+N（v）＞uv，矛盾.

注3 根據(jù)對(duì)稱性，有式（1）中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)q-（|v|）6|u|6 q（|v|）.

［1］YOUNG W H.On classes of summable functions and their Fourier series［J］.Proc Royal Soc（A）, 1912,87：225-229.

［2］HARDY G，LITTLEWOOD J E,P′OLYA G.Inequalities［M］.2nd ed.Cambridge：Cambridge University Press,1952：70-101.

［3］匡繼昌.常用不等式［M］.3版.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社,2004：136-138.

［4］CHENEY E W.Introduction to approximation theory［M］.New York：McGraw-Hill,1996：231-235.

［5］HIRZALLAH O，KITTANEH F.Matrix Young inequalities for the Hilbert-Schmidt norm［J］.Linear Algebra and Its Applications,2000,308（1/2/3）：77-84.

［6］JENSEN J L W V.Sur les functios convexes et les in′egalit′es entre les valeurs moyennes［J］.Acta Math,1906,30：175-193.

［7］KRASNOSELSKI M，RUTICKII Y.Convex functions and Orlicz space［M］.Noordhoff：Groningen, 1961：1-23.

［8］CHENY，LEVINES，RAO M.Variable exponent,linear growth functionals in image restoration［J］.SIAM J Appl Math,2006,66（4）：1383-1406.

［9］HALSEY T C.Electrorheological fluids［J］.Science,1992,258：761-766.

［10］CHEN S T.Geometry of Orlicz spaces［M］.Warszawa：Dissertationes Math,1996：1-13.

［11］吳從炘,王廷輔,陳述濤,等.Orlicz空間幾何理論［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1986：1-30.

［12］SHI Z R，LIU C Y.Noncreasy and uniformly noncreasy Orlicz-Bochner function spaces［J］. Nonlinear Anal,2011,74：6153-6161.

［13］LIU C Y，SHI Z R.Notes of k-smoothness in Orlicz sequence spaces［J］.J Shanghai Univ（Engl Ed）,2010,14（6）：420-423.

［14］LUO X Q，XIONG Z P.A kind of extension of the famous Young inequality［J］.Journal of Inequalities and Applications,2013,437：1-11.

A class of extension of the Young inequality

WU Shujun1,2，SHI Zhongrui1
（1.College of Sciences，Shanghai University，Shanghai 200444，China；
2.Department of Basic Mathematics，China University of Petroleum，Qingdao 266580，Shandong，China）

The proof of a revise for Theorem 1.10 in Geometry of Orlicz Spaces is presented.A class of extension of the Young inequality is then established based on the revision to improve the Young inequality.

Young inequality；N-function；right-inverse function

O 178

A

1007-2861（2016）04-0461-08

10.3969/j.issn.1007-2861.2015.01.014

2014-12-01

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11271245）

吳淑君（1981—），女，博士，研究方向?yàn)榭臻g理論.E-mail：wushujun1981@163.com