劉超

（慶安集團有限公司，陜西西安710000）

基于Matlab的機器人運動學(xué)及動力學(xué)分析

劉超

（慶安集團有限公司，陜西西安710000）

以六自由度工業(yè)機器人為研究對象，利用D-H法對該機器人的運動學(xué)進行分析，并推導(dǎo)出運動學(xué)方程；運用拉格朗日建立出機器人動力學(xué)方程，并采用Matlab進行了運動學(xué)與動力學(xué)仿真，為后續(xù)六自由度工業(yè)機器人動態(tài)特性及控制研究打下基礎(chǔ)。

工業(yè)機器人；運動學(xué)；動力學(xué)；拉格朗日

機器人運動學(xué)主要是把機器人相對于固定參考坐標系的運動作為時間的函數(shù)進行分析研究，把機器人的空間位移解析地表示為時間的函數(shù)，重點研究關(guān)節(jié)變量和末端執(zhí)行器位姿之間的關(guān)系［1-3］。機器人運動學(xué)在機器人控制中占有非常重要的地位，直接涉及到離線編程、軌跡規(guī)劃等問題［4］。機器人位置運動學(xué)常用的方法是D-H參數(shù)法。

機器人由多個連桿和關(guān)節(jié)組成，具有多個輸入和輸出，存在著錯綜復(fù)雜的耦合關(guān)系和非線性關(guān)系，是個復(fù)雜的動力學(xué)系統(tǒng)［5，6］。為了滿足機器人控制器的設(shè)計、機器人動態(tài)仿真的需要，對機器人動力學(xué)問題的研究顯得非常重要?，F(xiàn)在所用的分析方法主要有拉格朗日法、牛頓-歐拉法、凱恩法、高斯法、旋量法等［7］。

本文以六自由度工業(yè)機器人為研究對象，采用D-H參數(shù)法進行運動學(xué)分析，運用拉格朗日法對動力學(xué)方程進行了推導(dǎo)，在Matlab環(huán)境下進行運動學(xué)與動力學(xué)數(shù)值分析。

1　機器人結(jié)構(gòu)及坐標系

六自由度工業(yè)機器人由基座、腰部、大臂、小臂和腕部組成。其中腰部、大臂和小臂為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，腕部有三個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)以實現(xiàn)手腕的俯仰、翻滾和偏轉(zhuǎn)。整個結(jié)構(gòu)共有六個桿件和六個關(guān)節(jié)，具有六個關(guān)節(jié)自由度。如圖1所示為六自由度工業(yè)機器人的三維實體模型，根據(jù)機器人結(jié)構(gòu)建立的連桿坐標系如圖2所示。其連桿參數(shù)見表1，其中ai-1為連桿i-1的長度，αi-1為連桿扭轉(zhuǎn)角，di為連桿距離，θi為連桿轉(zhuǎn)角。

圖1　六自由度工業(yè)機器人實體模型

圖2　六自由度工業(yè)機器人連桿坐標系

表1　六自由度工業(yè)機器人連桿參數(shù)

2　機器人運動學(xué)分析

六自由度機器人運動學(xué)分析主要研究各連桿之間的位移、速度和加速度關(guān)系，運動學(xué)分析是機器人動力學(xué)、軌跡規(guī)劃和位置控制的重要基礎(chǔ)。運動學(xué)分析分為正運動學(xué)分析以及逆運動學(xué)兩方面。正運動分析即建立六自由度機器人的正運動學(xué)方程，逆運動學(xué)分析即對運動學(xué)方程進行求解。

機器人正運動學(xué)分析是給定機器人各桿件的幾何參數(shù)和關(guān)節(jié)變量，求解末端連桿坐標系相對于參考坐標系的位姿。為建立運動學(xué)方程，用齊次變換矩陣i-1Ti來表示連桿i坐標系在連桿i-1坐標系中的位姿，根據(jù)D-H法可以得出：

式中：Ci=cosθi，Si=sinθi，將參數(shù)值帶入i-1Ti矩陣，可以得出相鄰關(guān)節(jié)之間的變換矩陣。每一個矩陣表示一個關(guān)節(jié)的變換，由此可以得出六自由度工業(yè)機器人的運動學(xué)方程為：

公式（2）右端各元素相應(yīng)表達式為：

其中，px，py，pz與nx，ny，nz，ox，oy，oz，ax，ay，az分別描述的是末端執(zhí)行器相對于參考坐標系的位置和姿態(tài)。

已知六自由度工業(yè)機器人各關(guān)節(jié)的角位移，角速度，角加速度分別為q，q˙，q¨，其變化曲線見圖3、圖4以及圖5.

圖3　關(guān)節(jié)1、2、3、4、5、6角位移曲線

圖4　關(guān)節(jié)1、2、3、4、5、6角速度曲線

圖5　關(guān)節(jié)1、2、3、4、5、6角加速度曲線

圖6　末端執(zhí)行器位置變化曲線

3　機器人動力學(xué)方程推導(dǎo)

為了建立一種既能反映實際系統(tǒng)的動力學(xué)特性又能進行分析計算的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型，根據(jù)實際系統(tǒng)，將機構(gòu)簡化為質(zhì)量和剛度均勻分布，忽略彈性變形的剛體，并將各連桿簡化為形狀規(guī)則的圓柱體或長方體［8］。拉格朗日法是通過計算機器人連桿和關(guān)節(jié)的動能和勢能來定義拉格朗日函數(shù)，將拉格朗日函數(shù)對關(guān)節(jié)變量求導(dǎo)得到機器人的動力學(xué)方程。

機器人動能為：

機器人勢能為：

其中：gT為重力矩陣；rˉi表示連桿質(zhì)心在對應(yīng)連桿坐標系中的位置。

機器人系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)可表示為：

為得到機器人的動力學(xué)方程，可對拉格朗日函數(shù)求導(dǎo)，得出：

利用Matlab進行六自由度工業(yè)機器人動力學(xué)分析需要已知機器人各關(guān)節(jié)的角位移以及各桿系的質(zhì)心及質(zhì)量分布。本文假設(shè)桿系的質(zhì)量均勻分布，質(zhì)心處于連桿的中心位置。

根據(jù)上述分析，將六自由度機器人的相關(guān)參數(shù)帶入即可進行六自由度機器人的動力學(xué)分析，得出各關(guān)節(jié)的力矩變化曲線如圖7～圖12所示。

圖7　關(guān)節(jié)1力矩曲線

圖8　關(guān)節(jié)2力矩曲線

圖9　關(guān)節(jié)3力矩曲線

圖10　關(guān)節(jié)4力矩曲線

圖11　關(guān)節(jié)5力矩曲線

圖12　關(guān)節(jié)6力矩曲線

4　結(jié)束語

根據(jù)運動學(xué)分析曲線可以看出，當關(guān)節(jié)變量連續(xù)變化時，機器人末端執(zhí)行器的位置相對于參考坐標系是連續(xù)變化的，這表明該機器人在運動的過程中是平穩(wěn)的。

利用拉格朗日對六自由度工業(yè)機器人進行動力學(xué)分析，并逐個分析關(guān)節(jié)力矩的各個項，建立機器人的動力學(xué)模型，運用MATLAB對已有的模型進行仿真，由仿真所得各個力矩在不同運動形式下的曲線可以看出，各個關(guān)節(jié)的力矩沒有出現(xiàn)較為激烈的波動及突變。研究為機器人軌跡規(guī)劃提供可靠的數(shù)據(jù)支持，同時為后續(xù)六自由度工業(yè)機器人動態(tài)特性及控制研究打下基礎(chǔ)。

［1］熊有倫.機器人技術(shù)基礎(chǔ)［M］.武漢：華中理工大學(xué)出版社，1996．

［2］孫增圻.機器人系統(tǒng)仿真及應(yīng)用［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報，1995，7（3）：23-29.

［3］蔡自興.機器人學(xué)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2000：89-92.

［4］孫迪生，王炎.機器人控制技術(shù)［M］.北京：機械工業(yè)出版社，1997．

［5］霍偉.機器人動力學(xué)與控制［M］.北京:高等教育出版社，2005：7-8.

［6］宋偉剛.機器人學(xué)及運動學(xué)、動力學(xué)與控制［M］.北京：科學(xué)出版社，2007：60.

［7］韓佩富，王常武，孔令富，等.改進的6-DOF并聯(lián)機器人Newton-Euler動力學(xué)模型［J］.機器人，2000，22（4）：315-318.［8］張微微，郭希娟.Stanford機器人動力學(xué)性能分析與仿真［J］.計算機仿真，2007，24（5）：138-141.

Kinematical and Dynamic Analysis of Robot based on Matlab

LIU Chao
（Qing'an Group Co.，Ltd.，Xi'an Shaanxi 710000，China）

The 6-DOF industrial robot was studied and D-H method was used to analyze the kinematical of robot and obtain the kinematical equation.Dynamic equation was established by using Lagrange.The simulation of kinematical and dynamic was built by Matlab software.The result of analysis lays a foundation for the research on dynamic characteristics of robots and their control methods.

industrial robot；kinematical；dynamic；lagrange

TH16；TP242

A

1672-545X（2016）08-0036-05

2016-05-10

劉超（1987-），男，陜西渭南人，工程師，碩士研究生，研究方向：機械傳動系統(tǒng)及工業(yè)機器人。