劉冬兵，馬亮亮

（攀枝花學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，四川攀枝花617000）

自然數(shù)n次冪的求和公式及其因式分解的Matlab求解

劉冬兵，馬亮亮

（攀枝花學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，四川攀枝花617000）

應(yīng)用待定系數(shù)法研究了自然數(shù)n次冪的求和公式及其因式分解的計算機符號推導(dǎo)，并給出線性方程組中系數(shù)矩陣所對應(yīng)的n=1-16的條件數(shù)，同時將該方法應(yīng)用到所有的自然數(shù)的多項式函數(shù)求和公式及其因式分解.

自然數(shù)；n次冪；和；條件數(shù)；因式分解；符號推導(dǎo)

0　引言

關(guān)于自然數(shù)的n次冪求和公式的推導(dǎo)，歷來都吸引數(shù)學(xué)家的研究興趣。公元前三世紀阿基米德（Archimedes）在《論劈錐曲面體與球體》中已記載了相當于

的公式；七世紀的印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多（Brahmagupta）已求出了自然數(shù)的三次方冪的和公式；十一世紀的伊斯蘭數(shù)學(xué)家阿爾·卡希（Al Kashi）求出了自然數(shù)的四次方冪的和公式；對于一般的自然數(shù)冪和公式，現(xiàn)在公認是瑞士數(shù)學(xué)家雅可·貝努里（Bernoulli）在他的著作《猜度術(shù)》（1713年出版）中首先給出的，貝努里認為，自然數(shù)前n項k冪的和是的k+1項多項式，并且缺常數(shù)項。陳景潤等人在文獻［1-3］中做出大量的研究工作，于延榮等在文獻［4］中應(yīng)用高階等差數(shù)列求和公式在計算機上實現(xiàn)了自然數(shù)的任意p次冪的前n項和的公式，朱豫根等在文獻［5］研究了冪和公式中的系數(shù)的一個遞推關(guān)系式，胡燦等在文獻［6］中應(yīng)用Vandermonde行列式和Cramer法則，證明了一個自然數(shù)冪求和公式一般表達式和多項式表示素數(shù)問題的研究。本文應(yīng)用待定系數(shù)法實現(xiàn)了自然數(shù)n次冪求和公式及其因式分解的計算機推導(dǎo)，在此基礎(chǔ)上進一步將該方法應(yīng)用到所有的一般多項式函數(shù)求和公式及其因式分解上。

1　相關(guān)知識

對于自然數(shù)n次冪的前m項和公式有如下定理：

定理1［6］設(shè)m和n為正整數(shù)，那么有

定義1［7］若n×n方陣A非奇異，則稱為A的條件數(shù)，記為。

本文研究自然數(shù)的n次冪的求和公式:

當n=1時即自然數(shù)求和公式：

當n=2時即自然數(shù)平方和公式：

都是我們熟知的。

但當n為更大的自然數(shù)時如何推導(dǎo)公式，本文應(yīng)用待定系數(shù)法進行推導(dǎo)，得出了一系列公式。

先假定自然數(shù)1到m的n次冪的和fn+1（m）是一個m的n+1次多項式，下面說明這個假定是正確的。

fn+1（m）可寫成

fn+1（m）=mn+（m-1）n+（m-2）n+…+［m-（m-2）］n+［m-（m-1）］n（6）

上式中每一項展開后都有m最高次項mn，而這樣的項一共有m個，于是加起來后的最高次項為m× mn=mn+1

2　應(yīng)用待定系數(shù)法推導(dǎo)自然數(shù)n次冪求和公式

2.1推導(dǎo)自然數(shù)n=1次冪求和公式

n=1時，自然數(shù)1到m和f1+1（m）是一個m的2次多項式，設(shè)其降冪排列的系數(shù)為a2，a1，a0，則多項式為

已知m=1，2，3時，f1+1（m）=1，3，6，據(jù)此可以列出方程組：

求解此方程組可得：

得到

2.2推導(dǎo)自然數(shù)n=2次冪求和公式

n=2時，自然數(shù)1到m的平方和f2+1（m）是一個m的3次多項式，設(shè)其降冪排列的系數(shù)為a3，a2，a1，a0，則多項式為

已知m=1，2，3，4時，f2+1（m）=1，5，14，30，據(jù)此可以列出方程組：

得到

2.3推導(dǎo)自然數(shù)n=5次冪求和公式

n=5時，自然數(shù)1到m的5次方和f5+1（m）是一個m的6次多項式，設(shè)其降冪排列的系數(shù)為ak，k=0，1，2，…，6則可列出方程組：

用分數(shù)運算形式，求解此方程組可得:

寫成多項式為

分解因式后得到

2.4推導(dǎo)自然數(shù)n次冪求和公式

n為一般自然數(shù)時，設(shè)待定系數(shù)an+1，an，…，a1，a0，可列出n階方程組如下：

令n為不同的自然數(shù)，求解此方程組，原則上可以得出自然數(shù)的任意n方和公式。

3　自然數(shù)n次冪的求和公式及其因式分解

3.1問題的困難

對n較小時，不難用手工方式求解，但當n較大時，從上面的運算可看到，只能借助于計算機求解。問題的困難在于以下兩點：

1.不能用浮點數(shù)近似求解，這樣得出的公式失去了數(shù)學(xué)之美，很難接受。同時當n較大時，方程組會出現(xiàn)嚴重病態(tài)，事實上，當n=3時，方程組的條件數(shù)為2.616 968 797 063 462×104，當n=13時，方程組的譜條件數(shù)達到2.582 411 629 286 014×1021，結(jié)果可靠性難以保證，下面給出線性方程組（16）中系數(shù)矩陣n=1-16的條件數(shù)：

表1　線性方程組（16）中的n=1-16的條件數(shù)

2.待定系數(shù)法求得的是一個降冪排列的多項式，我們希望對這個高次多項式進行因式分解，得到符合人們習(xí)慣的公式形式。

作者借助于計算機求解，使用Matlab軟件中的符號運算，得到了方程組的分數(shù)形式的精確解，同樣應(yīng)用符號運算，得到了因式形式的公式，解決了上述問題。

3.2n=1～12的公式結(jié)果

下面給出自然數(shù)n=1～12時n次冪的求和公式的因式分解結(jié)果，且通過解線性方程組（16）解得a0=0與定理1的結(jié)果一致。當n=12時，條件數(shù)達到3.351366570550992×1019，可以得到因式分解的公式。但是當n≥13時，由于數(shù)字太大，超過Matlab符號運算的能力，已不能求出精確的分數(shù)形式的公式。

n=1時，公式為：

4　自然數(shù)的一般多項式函數(shù)求和公式及其因式分解

下面考慮更一般的情況。設(shè)fn（m）為自然數(shù)m的n次多項式函數(shù)，類似于定理1，容易得到如下定理：

定理2.設(shè)m和n為正整數(shù)，那么有

其中fn+1（m）是關(guān)于m的常數(shù)項為零的n+1次多項式。

那么應(yīng)用待定系數(shù)法就可以推導(dǎo)自然數(shù)的一般多項式函數(shù)求和公式。如求：

根據(jù)定理2，f4+1（m）是一個5次多項式，設(shè)其降冪排列的系數(shù)為ak，k=0，1，2，3，4，5，分別取m=1，2，3，4，5，6，則可列出6個線性方程，它們組成線性方程組：

用Matlab的符號運算求解，得出分數(shù)形式的解：

即有公式：

應(yīng)用Matlab軟件進行因式分解，得：

上述所求公式與數(shù)學(xué)手冊上公式是一致的，并求出f20+1（m）是一個21次多項式的線性方程組所對應(yīng)的條件數(shù)為2.185 101 904 058 601×1035。

5　結(jié)語

通過本文的研究加深了對“數(shù)值計算方法”課程中的條件數(shù)內(nèi)容的認識，以及線性方程組中的系數(shù)矩陣中有非常大的條件數(shù)，會產(chǎn)生嚴重的病態(tài)現(xiàn)象，方程組的解會出現(xiàn)失真解的情況，必須采取預(yù)處理等方法解決。

綜上所述，用待定系數(shù)法結(jié)合解線性方程組，原則上可以應(yīng)用計算機推導(dǎo)出所有的自然數(shù)的一般多項式函數(shù)求和公式及其因式分解。為了得到自然數(shù)更高次冪的求和公式與因式分解，作者將應(yīng)用其它方法，是下一步研究的課題。

［1］陳景潤，黎鑒愚.關(guān)于等冪和問題［J］.科學(xué)通報，1985，30（4）:316-317.

［2］陳景潤，黎鑒愚.關(guān)于冪和公式的一般性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)研究與評論，1986，6（1）:43-50.

［3］陳景潤.自然數(shù)冪求和［J］.數(shù)學(xué)季刊，1987（1）:1-17.

［4］于延榮，陳汝棟.自然數(shù)冪求和公式的計算機實現(xiàn)［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認識，2003，33（5）:106-107.

［5］朱豫根，劉玉清.關(guān)于冪和公式系數(shù)的一個遞推關(guān)系式［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認識，2004，34（1）:170-173.

［6］胡燦，張元標.自然數(shù)冪求和公式的計算機實現(xiàn)［J］.成都理工大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2003，30（5）:534-536.

［7］楊大地，王開榮.數(shù)值分析［M］.北京:科學(xué)出版社，2006.

The Sum Formula of the Natural Number Nth Power and Its Factorization by MATLAB

LIU Dong-bing，MALiang-liang
（College of Mathematics and Computer，Panzhihua University，Panzhihua，Sichuan 617000，China）

With the method of undetermined coefficients，this paper studies the sum formula of the nth power and its factorization by the computer symbolic derivation.It also gives the condition number of n=1-16 for the coefficient matrix in linear equations.In addition，this method can also be applied to the polynomial function sum formulas and factorization of all the natural numbers.

natural number；the nth power；sum；condition number；the factorization method；symbolic derivation

O156.1

A

1673-1891（2016）03-0017-04

10.16104/j.issn.1673-1891.2016.03.006

2016-05-04

四川省教育廳自然科學(xué)基金資助重點項目（16ZA0411）；攀枝花市市級應(yīng)用技術(shù)研究與開發(fā)自然科學(xué)基金資助項目（2014CY-G-22）；攀枝花學(xué)院教研教改項目（JJ1329；JJ1376）。

劉冬兵（1972—），男，湖南寧鄉(xiāng)人，碩士，副教授，研究方向:微分方程數(shù)值解。