鄧東平　李　亮

(中南大學土木工程學院　長沙　410075)

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極限平衡理論下邊坡強度參數(shù)反演及加固穩(wěn)定性分析*

鄧東平李亮

(中南大學土木工程學院長沙410075)

參數(shù)反演是獲得較為可靠的邊坡強度參數(shù)的一種有效手段。本文在對邊坡臨界滑動面進行判別的情況下，以瑞典法為基礎，通過建立強度參數(shù)之間及其與臨界滑動面一一對應的關系推導得邊坡強度參數(shù)反演的顯式計算公式。然后，將反演結果用于錨索加固條件下的邊坡穩(wěn)定性研究。經工程算例分析驗證了本文方法的可行性和實用性，并得到如下結論：(1)預應力錨索能對邊坡形成有效的加固作用，且錨索在坡面上的位置越靠近滑動面的滑出點時其對邊坡的穩(wěn)定性越有利； (2)錨索的預應力越大則計算得到的安全系數(shù)越大，而錨索水平傾角的增大對計算得到的安全系數(shù)影響微小。

邊坡穩(wěn)定性極限平衡臨界滑動面強度參數(shù)反演錨索

0　引　言

邊坡穩(wěn)定性是巖土工程中的一個重要研究課題(李寧等， 2010； 楊天鴻等， 2011； 盧坤林等， 2012； 李健等， 2013)，而獲取準確的土體強度參數(shù)是對其進行分析的首要條件(劉明維等， 2009)。一般情況下，確定土體強度參數(shù)的方法主要有室內試驗、現(xiàn)場原位試驗和參數(shù)反演(周欣華等， 2000)。對于室內試驗，因其所采集的土樣大多已被擾動，故土體性質與實際情況差異較大，對于現(xiàn)場原位試驗，通常試驗成本費用較高，然而，參數(shù)反演方法可彌補上述兩者的缺點，使之成為獲取強度參數(shù)的一種有效手段(沈軍輝等， 2008； 石崇等， 2010； Zhang et al.，2013； 孫志彬等， 2013)。

在邊坡強度參數(shù)反演中，獲得臨界滑動面的位置是進行反演的一個前提。對于臨界滑動面的判別，工程上可采用地質勘探來分析邊坡內部的軟弱界面或通過埋設測斜管來監(jiān)測邊坡的滑動趨勢。與此同時，當邊坡出現(xiàn)滑動趨勢或存在軟弱界面時，邊坡也存在著較大的不穩(wěn)定性，需對其進行加固處理以確保穩(wěn)定性(霍宇翔等， 2009； 韓斌等， 2013)，因此，邊坡強度參數(shù)反演的一個重要目的是為邊坡加固設計與穩(wěn)定性分析提供可靠參數(shù)。實際工程中，預應力錨索作為一種有效的手段已被廣泛使用(王曉榮等， 2003； 劉才華等， 2006； 李新坡等， 2006； 吳茂明等， 2010； 趙煉恒等， 2013； 鄧東平等， 2013)，并獲得了良好的經濟效益，故將強度參數(shù)反演結果用于分析錨索加固條件下的邊坡穩(wěn)定性具有重要的工程意義。

本文通過埋設測斜管而得到的監(jiān)測數(shù)據(jù)來判斷已出現(xiàn)滑動趨勢邊坡的近似臨界圓弧滑動面的位置。同時，以傳統(tǒng)的瑞典法為基礎獲得此臨界滑動面上的安全系數(shù)與邊坡強度參數(shù)的簡單關系，并由此關系式及強度參數(shù)與臨界滑動面滿足的一一對應關系來反演邊坡的強度參數(shù)。當采用反演結果時，錨索加固條件下的邊坡穩(wěn)定性被分析，且將其應用于工程算例中，驗證了本文方法的可行性，并研究了不同錨索加固型式對邊坡穩(wěn)定性的影響。

1　邊坡強度參數(shù)反演計算方法

圖1　邊坡穩(wěn)定性計算模型Fig. 1　Calculation mode of slope stability

xc=[(ys2-ys1)(ys3-ys1)(ys3-ys2)-

[2(xs1-xs2)(ys3-ys2)-2(xs2-xs3)(ys2-ys1)]

(1a)

yc=[(xs1-xs2)(xs3-xs1)(xs2-xs3)-

[2(xs2-xs3)(ys2-ys1)-2(xs1-xs2)(ys3-ys2)]

(1b)

在求得滑動圓弧的圓心坐標xc和yc后，即可由圓方程計算得圓弧的半徑R。由于本文假設邊坡的臨界滑動面為圓弧，故研究成果更適用于均質邊坡巖土強度參數(shù)的反演。同時，當實際監(jiān)測所得滑動面并非表現(xiàn)為圓弧狀時，可采用曲線擬合的方法來得到最為合理的近似圓弧滑動面及其相應參數(shù)。

如圖1b所示，在一般情況下取寬度為dx的微單元土條abcd進行受力分析，作用在其上的力有：重力dW、滲透力dJ、滑動底面剪切力dS和法向力dN。由于在邊坡穩(wěn)定性極限平衡計算方法中，瑞典法(Fellenius， 1936)能夠得到邊坡安全系數(shù)的顯式解答，而這一特性有利于邊坡的強度參數(shù)反演，故采用簡單的瑞典法對邊坡進行穩(wěn)定性分析。當采用以土骨架為分析對象時，微單元土條abcd滑動底面上的滑動力dT和抗滑力dR的計算為：

(2a)

(2b)

式中，c為土的黏聚力；φ為土的內摩擦角；α為滑動底面切線的水平傾角；θ為浸潤線的水平傾角。

在式(2)中，微單元土條上的重力dW和滲透力dJ的計算式為：

(3a)

dJ=γλ2h1tanθdx

(3b)

(4a)

(4b)

(4c)

按照瑞典法中邊坡安全系數(shù)的定義，由式(3)和式(4)可得到邊坡的安全系數(shù)與抗滑強度參數(shù)的關系為：

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

式中，A1和B1分別為邊坡滑動面的下、上積分限。

若仍在某段x軸坐標范圍(xi-1，xi)內計算式(5)中I1、I2和I3的大小，并將式(4)、sinα=(x-xc)/R和cosα=(yc-yx)/R代入式(5)中，可將I1、I2和I3的計算簡化為：

(6a)

(6b)

(6c)

I21=a1(A2+B2)+a2C+a3

(6d)

(6e)

(6f)

(6g)

式中，βi和θi的計算如式(4)，參數(shù)A2、B2、C、a1、a2、a3、b1、b2、s11、s12、s13、s21、s22和s23的計算(表1)。

變換式(5a)可得無量綱參數(shù)c/(γH)和tanφ與Fs的關系式為：

(7)

表1　參數(shù)計算Table1　Calculation parameters

計算參數(shù)計算式計算參數(shù)計算式AR2(arcsinxi-xcR-arcsinxi-1-xcR)b212{(ypi-1-yri-1)+λ1(yri-1-yc)+[tanβi+(λ1-1)tanθi]×(xc-xi-1)}×[(xi-xc)2-(xi-1-xc)2]+13[tanβi+(λ1-1)tanθi]×[(xi-xc)3-(xi-1-xc)3]B(xi-xc)R2-(xi-xc)2-(xi-1-xc)R2-(xi-1-xc)2s11-12[(yri-1-yc)+(xc-xi-1)tanθi]sinθiC[R2-(xi-xc)2]32-[R2-(xi-1-xc)2]32s1213(sinθitanθi-cosθi)a112[(ypi-1-yri-1)+λ1(yri-1-yc)+(xc-xi-1)tanβi+(λ1-1)(xc-xi-1)tanθi]s13-(x2c+R2)(xi-xi-1)sinθi+12[(yri-1-yc)cosθi-(xc-xi-1)sinθi]×[(xi-xc)2-(xi-1-xc)2]+13(x3i-x3i-1)sinθi+13[(xi-xc)3-(xi-1-xc)3]sinθia2-13[tanβi+(λ1-1)tanθi]s2112[(xc-xi-1)sinθi+(yri-1-yc)cosθi]a313[tanβi+(λ1-1)tanθi]C+λ1{R2(xi-xi-1)-13[(xi-xc)3-(xi-1-xc)3]}s22-23sinθib1-13λ1s23R2cosθi(xi-xi-1)+12[(xc-xi-1)tanθi+(yri-1-yc)]sinθi×[(xi-xc)2-(xi-1-xc)2]+13(sinθitanθi-cosθi)[(xi-xc)3-(xi-1-xc)3]

由式(7)可知，對于給定的臨界滑動面且此滑動面上的安全系數(shù)Fs已知時(通常情況下，參與邊坡強度參數(shù)反演的邊坡一般已發(fā)生滑動或出現(xiàn)滑動趨勢，故可認為此臨界滑動面上的安全系數(shù)Fs=1)，存在多個c/(γH)和tanφ組合滿足此關系式。然而，在這些組合中僅有一組參數(shù)能夠使得搜索到的臨界滑動面與給定的臨界滑動面相同，且此時對應的最小安全系數(shù)Fs，min與此給定臨界滑動面上的安全系數(shù)最為接近，則該組參數(shù)即為反演結果。

圖2　強度參數(shù)反演模型Fig. 2　Inversion mode of strength parameters1.臨界Fs； 2.邊坡穩(wěn)定性分析Fs曲線

由上述分析可知，以滿足式(7)的多個c/(γH)和tanφ組合來采用前述公式對邊坡進行穩(wěn)定性分析時，可得如圖2 所示的最小安全系數(shù)Fs，min與tanφ的關系曲線，其為一條凸曲線，即當φ為邊坡實際的內摩擦角時，由滿足式(7)的參數(shù)c/(γH)和tanφ組合可使分析所得的邊坡穩(wěn)定性Fs，min最大且最接近于對應給定臨界滑動面上已知的安全系數(shù)。將Fs，min與tanφ的關系曲線采用如下多項式進行擬合：

(8)

式中，d0、d1、d2和d3為擬合參數(shù)，后續(xù)算例表明采用此方式擬合的線性相關性R2均大于0.99。

為了求得邊坡的實際內摩擦角φ，可在式(8)中令dFs，min/dtanφ=0，然后利用式(7)計算黏聚力c，這樣就可通過以判定的臨界滑動面及其上已知的安全系數(shù)反演得邊坡的強度參數(shù)。

2　加固條件下邊坡穩(wěn)定性計算方法

采用前述方法對已發(fā)生滑動或出現(xiàn)滑動趨勢的邊坡可反演得到與實際情況相符的抗滑強度參數(shù)，而利用這些反演結果來指導邊坡的加固具有十分重要的作用，因此，邊坡抗滑強度參數(shù)反演的一個重要目的是為分析邊坡加固措施及加固型式的可行性提供可靠的數(shù)據(jù)支持。

在眾多的邊坡加固措施中，預應力錨索因具有較好的加固作用和經濟效益故被廣泛應用于實際工程，在此利用前述強度參數(shù)反演結果來分析錨索加固條件下的邊坡穩(wěn)定性。同時，在前述強度參數(shù)反演中簡單的瑞典法被采用，然而，在邊坡穩(wěn)定性分析中瑞典法計算所得的結果往往偏于保守而不利于真實反映加固措施對邊坡的加固效應，故Morgenstern-Price(M-P)法(Morgenstern et al.，1965)被采用去分析錨索加固條件下的邊坡穩(wěn)定性。

如圖3 所示，在預應力錨索加固邊坡中，錨索的預應力常作為滑動面上的作用力參與邊坡的穩(wěn)定性分析。當以坡角點為原點建立xy軸坐標系時，滑動面的下、上滑出點分別為A和B，且其對應的坐標分別為(xA，yA)和(xB，yB)，若在邊坡上布置m排錨索，對于錨索j，其在坡面上的x軸坐標為xj、與滑動面交點的坐標為(xQj，yQj)、水平傾角為δj和單位寬度上的預應力為Qj。在滑動體內任取寬度為bi的土條i(abcd)，設錨索j作用在土條i的滑動底面上，土條i滑動底面中點的坐標為(xi，yi)。對土條i進行受力分析，可知土條i上的作用力有如下：重力Wi、錨索預應力Qj、條間兩側法向力Ei-1與Ei、條間兩側剪切力Xi-1與Xi和滑動面底面上的法向力和剪切力Ni與Si。

圖3　錨索加固條件下邊坡穩(wěn)定性分析模型Fig. 3　Mode for stability analysis of the slope reinforced anchorage cable

在土條i中，由各力沿滑動底面法向和切線方向的力平衡條件可知：

Ni=[Wi+Qjsinδj+(Xi-Xi-1)]cosαi+

[Qjcosδj+(Ei-1-Ei)]sinαi

(9a)

Si=[Wi+Qjsinδj+(Xi-Xi-1)]sinαi-

[Qjcosδj+(Ei-1-Ei)]cosαi

(9b)

式中，αi為土條i滑動底面中點切線的水平傾角。

在M-P法中，條間力Xi和Ei的關系被假設為：

Xi=λfiEi

(10)

式中，λ為計算參數(shù)；fi為條間力修正函數(shù)；fi=sin[(xi-xA)π](xB-xA)。

由邊坡滑動為剪切破壞且服從M-C強度破壞準則，則可得土條i滑動面上的法向力Ni和剪切力Si滿足如下關系：

(11)

式中，li為土條i滑動底面的長度，li=bi/cosαi。

將式(10)、式(11)代入式(9)中，便可推導得關于條間法向力Ei的遞推公式為：

(12a)

(12b)

(12c)

(12d)

(12e)

(12f)

根據(jù)式(12)及端部條件E0=0和En=0，可得邊坡的安全系數(shù)計算公式為：

(13)

由式(13)即可計算錨索加固條件下邊坡的安全系數(shù)，下面通過土條上各力的力矩平衡條件來計算參數(shù)λ。在土條i中，由各力對滑動底面中點的力矩平衡條件可得：

(14)

式中，zi-1和zi分別為條間兩側法向力Ei-1和Ei作用點位置到滑動底面的豎直距離。

設Mi=Eizi，根據(jù)式(14)及端部條件M0=0和Mn=0可得參數(shù)λ的計算式為：

(15)

3　工程算例

3.1抗滑強度參數(shù)反演與錨索加固邊坡穩(wěn)定性

圖4　工程算例Fig. 4　Engineering example

圖5　深部位移監(jiān)測數(shù)據(jù)Fig. 5　Monitoring data of deep displacement a.測斜管1； b.測斜管2； c.測斜管3

如圖4 所示，某高速公路路塹邊坡由二級坡段組成(β1=β2=β3=45°)，土層材料為碎石土，其天然重度γ=19kN·m-3。施工過程中由于臨近邊坡的失穩(wěn)引發(fā)該坡段邊坡出現(xiàn)了滑動跡象，故在該邊坡內從下至上布置3根測斜管來監(jiān)測邊坡的滑動趨勢，其中，測斜管1布置在坡腳，測斜管2布置在第一個臺階的平臺上和測斜管3布置在第二個臺階的平臺上。當以坡角點為原點建立xy軸坐標系時，測斜管1、2和3在x軸上的坐標分別為0m、7m和13m，且埋置深度依次為9m、9m和15m。通過近1a監(jiān)測所得這3根測斜管累計位移變化曲線如圖5 所示。根據(jù)累計位移變化量最大來判斷滑動位置可知邊坡臨界滑動面上3個點的坐標分別為s1(0， 0)、s2(7， 3.5)和s3(13， 3.5)，單位均為m，同時，由實測數(shù)據(jù)得出邊坡內的地下水位線較低且對邊坡的穩(wěn)定性影響微小。按照前述方法，當假設臨界滑動面為圓弧滑動面(滑動圓弧的圓心坐標為xc=-6.5m和yc=29.25m，半徑R=29.9635m)時通過反演得到邊坡的黏聚力c=3.559kPa和內摩擦角φ=29.375°。

圖6　錨索加固布置方式Fig. 6　Arrangement pattern of reinforced anchorage cable

為了確保該坡段邊坡的穩(wěn)定，如圖6 所示，對邊坡不穩(wěn)定段采用預應力錨索對其進行加固，加固的方式為：在坡體內由下至上布置6排錨索(其在坡面上的位置分別為x1=9m、x2=10m、x3=11m、x4=15m、x5=16m和x6=17m)，錨索的水平傾角均為δ=18°和單位寬度上的預應力均為Q=50kN。由前述反演得的邊坡強度參數(shù)及錨索加固條件下邊坡穩(wěn)定性計算方法可得該邊坡的最小安全系數(shù)為1.440，對應的臨界圓弧滑動面如圖6 所示，由此可知，預應力錨索加固后的邊坡安全系數(shù)顯著提高，且能夠確保邊坡的穩(wěn)定性，同時，預應力錨索的作用也使得邊坡臨界滑動面的范圍增大。

圖7　不同錨索加固布置方式Fig. 7　Different arrangement pattern of anchorage cablea.加固方式1； b.加固方式2； c.加固方式3； d.加固方式4

3.2錨索加固型式對邊坡穩(wěn)定性的影響

以下分析不同錨索加固型式對邊坡穩(wěn)定性的影響，如圖7 所示，錨索采用如下4種加固方式： ①從下至上布置3排錨索，其在坡面上的位置分別為x1=9m、x2=10m和x3=11m； ②從下至上布置3排錨索，其在坡面上的位置分別為x1=15m、x2=16m和x3=17m； ③從下至上布置4排錨索，其在坡面上的位置分別為x1=9.3m、x2=10.7m、x3=15.3m和x4=16.7m； ④從下至上布置6排錨索，其在坡面上的位置分別為x1=9m、x2=10m、x3=11m、x4=15m、x5=16m和x6=17m。設錨索的水平傾角均為δ及單位寬度上的預應力均為Q。當δ分別為18°、20°、22°、24°和26°及Q分別為40kN、50kN、60kN、70kN和80kN時，各錨索加固方式所得的結果見表2～表5。

表2　錨索加固方式1時不同參數(shù)下安全系數(shù)對比Table2　Contrast of factor of safety with different parameters in pattern 1 of reinforce anchorage cable

單位寬度上的預應力Q/kN錨索水平傾角δ/(°) 1820222426401.2401.2371.2331.2291.225501.2901.2861.2811.2761.271601.3391.3341.3291.3231.317701.3881.3821.3761.3691.362801.4361.4291.4221.4141.406

表3　錨索加固方式2時不同參數(shù)下安全系數(shù)對比Table3　Contrast of factor of safety with different parameters in pattern 2 of reinforce anchorage cable

單位寬度上的預應力Q/kN錨索水平傾角δ/(°)1820222426401.1831.1781.1741.1691.163501.2151.2091.2031.1971.191601.2441.2371.2301.2231.215701.2711.2621.2541.2451.237801.2961.2861.2761.2661.256

表4　錨索加固方式3時不同參數(shù)下安全系數(shù)對比Table4　Contrast of factor of safety with different parameters in pattern 3 of reinforce anchorage cable

單位寬度上的預應力Q/kN錨索水平傾角δ/(°)1820222426401.2671.2621.2561.2501.244501.3201.3131.3061.2991.291601.3691.3611.3531.3441.335701.4171.4081.3981.3881.377801.4621.4511.4401.4281.416

表5　錨索加固方式4時不同參數(shù)下安全系數(shù)對比Table5　Contrast of factor of safety with different parameters in pattern 4 of reinforce anchorage cable

單位寬度上的預應力Q/kN錨索水平傾角δ/(°)1820222426401.3701.3611.3531.3441.335501.4401.4301.4191.4081.397601.4991.4871.4761.4671.453701.5491.5371.5241.5111.496801.5921.5791.5661.5521.535

從表2～表5中可得：(1)對比錨索加固方式2和方式1所得結果，可知錨索布置方式對邊坡的穩(wěn)定性影響較大，即當錨索在坡面上越靠下布置時(即接近于臨界滑動面的滑出點)其對邊坡的穩(wěn)定性越有利； (2)對比錨索加固方式3和方式4，可知當錨索布置的排數(shù)較少時可通過增大錨索的預應力來獲得相同的邊坡穩(wěn)定性； (3)錨索預應力增大時計算得的安全系數(shù)顯著增大，而錨索水平傾角增大時計算得的安全系數(shù)稍微減小。

4　結　論

基于已知的臨界滑動面對處于臨界狀態(tài)的邊坡進行強度參數(shù)反演，其中，臨界滑動面被假定為近似的圓弧滑動面，其參數(shù)可通過對預埋測斜管的監(jiān)測數(shù)據(jù)進行判別而計算所得，并根據(jù)強度參數(shù)組合及其與已知臨界滑動面的一一對應關系，當采用簡單的瑞典法時可推導得邊坡強度參數(shù)反演的顯式計算公式。然后，基于反演結果對預應力錨索加固條件下的邊坡穩(wěn)定性分析，通過工程算例驗證，可得到如下結論：

(1)本文邊坡強度參數(shù)反演方法可行，且計算簡單便于工程應用。

(2)預應力錨索可對邊坡形成有效的加固作用，且錨索在坡面上布置的位置越靠近滑動面的滑出點時，其對邊坡的穩(wěn)定性越有利。

(3)錨索的預應力越大則計算得到的安全系數(shù)越大，而錨索水平傾角的增大對計算得到的安全系數(shù)影響微小。

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INVERSION OF STRENGTH PARAMETERS AND STABILITY ANALYSIS OF REINFORCED SLOPE WITH LIMIT EQUILIBRIUM THEORY

DENG DongpingLI Liang

(CollegeofCivilEngineering，CentralSouthUniversity，Changsha410075)

Parameter inversion is an effective way to obtain more reliable strength parameters of slope. In the article， after discriminating the position of the critical slip surface， the explicit formulas for inversion of strength parameters are deduced by the established relation between strength parameters and one to one relationship among strength parameters, and the critical slip surface. The classical Swedish slice method is used for calculating the factor of safety. Then， the inversion results are used to study the stability of slope reinforced by anchorage cable. Through analyzing actual case， the feasibility and practicability of the current method are verified. Some conclusion are obtained as follows：(1)Pre-stress cable has an effective reinforcement on slope. Its role on slope stability is more effective when the position of pre-stress cable on slope surface is more near to the lower sliding point of the slip surface; (2)The calculated factor of safety is larger as the pre-stress of cable is larger. Increase of horizontal inclination of anchorage cable has small effect on the calculated factor of safety.

Slope stability， Limit equilibrium， Critical slip surface， Strength parameters， Inversion， Anchorage cable

10.13544/j.cnki.jeg.2016.01.002

2014-12-02;

2015-04-14.

貴州省交通運輸廳科技項目(2010-122-020， 2014-122-006)資助.

鄧東平(1985-)，男，博士后，主要從事道路與鐵道工程方面的研究. Email: dengdp851112@126.com

TU41

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