張虎龍

（中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院，陜西 西安 710089）

不完全量測(cè)的變維容積卡爾曼濾波算法

張虎龍

（中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院，陜西 西安 710089）

針對(duì)不完全量測(cè)情況下的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問題，提出一種變維容積卡爾曼濾波算法。首先，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型結(jié)構(gòu)采用Kalman濾波-容積Kalman濾波（KF-CKF）為基本濾波器。其次，通過計(jì)算不完全量測(cè)的一階矩和二階統(tǒng)計(jì)矩，將不完全量測(cè)濾波問題轉(zhuǎn)化為確定量測(cè)濾波問題，并導(dǎo)出相應(yīng)的狀態(tài)估計(jì)方法。最后，將其與變維濾波技術(shù)相結(jié)合，提出不完全量測(cè)下的變維CKF算法。計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)表明：新算法具有很好的估計(jì)準(zhǔn)確度，在機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤應(yīng)用中有著良好的應(yīng)用前景。

目標(biāo)跟蹤；變維濾波；容積卡爾曼濾波；不完全量測(cè)

0　引　言

目標(biāo)跟蹤技術(shù)廣泛應(yīng)用于戰(zhàn)場(chǎng)監(jiān)控、預(yù)警、火力控制以及空中交通管理等軍事和民用領(lǐng)域［1-4］。Kalman濾波作為一種線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)方法無法直接應(yīng)用到具有非線性系統(tǒng)特征的目標(biāo)跟蹤背景中。為解決這一問題，人們?cè)贙alman濾波框架下發(fā)展出一系列非線性濾波器，如擴(kuò)展Kalman濾波（EKF）、無跡Kalman濾波（UKF）［5］和容積Kalman濾波（CKF）［6］；其中，CKF由于其優(yōu)越的性能已廣泛應(yīng)用于目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域。需要注意的是，這些非線性濾波方法必須基于有效的狀態(tài)空間模型。對(duì)于機(jī)動(dòng)目標(biāo)而言，使用單一模型很難準(zhǔn)確描述目標(biāo)狀態(tài)在機(jī)動(dòng)下的變化過程。針對(duì)這一問題，Bar-Shalom［1］提出了變維濾波算法，通過使用多個(gè)狀態(tài)模型全面描述系統(tǒng)，大大提高了機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤性能［7-8］。由于目標(biāo)高機(jī)動(dòng)性、惡劣氣象環(huán)境影響以及觀測(cè)設(shè)備的間歇性故障等因素共同作用，時(shí)常出現(xiàn)不完全量測(cè)現(xiàn)象［9］。文獻(xiàn)［10］利用一個(gè)取值為0或1且服從Bernoulli分布的隨機(jī)變量建立了測(cè)量數(shù)據(jù)丟失現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)［11］假設(shè)不確定量測(cè)模型中的Bernoulli隨機(jī)變量與系統(tǒng)狀態(tài)和噪聲變量相互獨(dú)立，并提出了相應(yīng)的改進(jìn)EKF和UKF算法。該方法仍然無法克服單一模型用于機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的不足。

本文針對(duì)不完全量測(cè)下機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤問題，以CKF為基礎(chǔ)濾波器，結(jié)合變維濾波技術(shù)提出了一種不完全量測(cè)概率恒定已知（即已知恒虛警率）的變維CKF跟蹤算法，提高了機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤準(zhǔn)確度。

1　目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型

目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型包括非機(jī)動(dòng)模型和機(jī)動(dòng)模型。對(duì)于非機(jī)動(dòng)模型，選取勻速直線運(yùn)動(dòng)模型，其狀態(tài)方程［1-2］為

式中x（k）=［x1（k），ν1（k），x2（k），ν2（k）］T為目標(biāo)狀態(tài)，其中x1（k）和x2（k）分別為東向和北向的位置分量，ν1（k）和ν2（k）分別是相應(yīng)的速度分量；F為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Γ為噪聲驅(qū)動(dòng)矩陣；過程噪聲w（k）是均值為零方差為Q（k）的高斯白噪聲，各參數(shù)取值如下：

對(duì)于機(jī)動(dòng)模型，假設(shè)目標(biāo)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其狀態(tài)方程［2］為

式中，上標(biāo)m表示機(jī)動(dòng)模型；目標(biāo)狀態(tài)xm（k）=［x1（k），ν1（k），x2（k），ν2（k），a1（k），a2（k）］T，其中a1（k）和a2（k）分別為東向和北向的加速度分量，其他參數(shù)含義與非機(jī)動(dòng)模型一致；過程噪聲wm（k）是均值為零方差為Qm（k）的高斯白噪聲。相應(yīng)參數(shù)的取值如下：

假設(shè)一部雷達(dá)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，具有不完全量測(cè)的測(cè)量方程［11］表示為

式中z（k）為k時(shí)刻的實(shí)際測(cè)量值；y（k）為k時(shí)刻的真實(shí)測(cè)量值；測(cè)量噪聲ν（k）是均值為零方差為R（k）的高斯白噪聲；λ（k）是一個(gè)Bernoulli隨機(jī)變量，λ（k）=1和λ（k）=0分別表示量測(cè)數(shù)據(jù)正常和量測(cè)數(shù)據(jù)丟包。假設(shè)量測(cè)數(shù)據(jù)正常的概率滿足P｛λ（k）=1｝=p，則量測(cè)丟包的概率（即虛警概率）為1-p。

假設(shè)目標(biāo)初始狀態(tài)x（0）均值為x0，方差為P0。目標(biāo)狀態(tài)、λ（k）、w（k）和ν（k）相互獨(dú)立。

顯然，非機(jī)動(dòng)模型和機(jī)動(dòng)模型兩者都具有相同的測(cè)量方程，即z（k）=zm（k）。

2　確定量測(cè)的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法

本節(jié)首先考慮無量測(cè)丟包（即認(rèn)為λ（k）=1恒成立）情況下的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問題。由于目標(biāo)的狀態(tài)方程與測(cè)量方程具有線性-非線性結(jié)構(gòu)，因此主濾波器采用KF-CKF的濾波器結(jié)構(gòu)，即利用KF進(jìn)行狀態(tài)預(yù)測(cè)，然后采用CKF進(jìn)行測(cè)量更新。利用非機(jī)動(dòng)狀態(tài)模型（1）和測(cè)量方程（3）可得KF-CKF算法的執(zhí)行步驟如下（算法1，記作KF-CKF-NMT）：

1）預(yù)測(cè)過程［1］：

2）更新過程［6］：

①計(jì)算容積點(diǎn)

式中i=0，1，…，2nx（nx為狀態(tài)向量維數(shù)）；S（k|k-1）為P（k|k-1）的Cholesky分解因子；點(diǎn)集｛ξi｝的定義參見文獻(xiàn)［6］。

②計(jì)算傳播后的容積點(diǎn)

③測(cè)量預(yù)測(cè)

④計(jì)算新息協(xié)方差陣

⑤計(jì)算互協(xié)方差陣

⑥估計(jì)狀態(tài)及其協(xié)方差陣

算法1采用了標(biāo)準(zhǔn)的KF進(jìn)行狀態(tài)預(yù)測(cè)，避免了在預(yù)測(cè)過程中采用CKF進(jìn)行數(shù)值逼近，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，并保證估計(jì)精度。對(duì)于機(jī)動(dòng)模型而言，將算法KFCKF-NMT中的參數(shù)分別替換為機(jī)動(dòng)模型的對(duì)應(yīng)參數(shù)即可（此時(shí)的算法記作KF-CKF-MT）。需要注意的是，非機(jī)動(dòng)模型和機(jī)動(dòng)模型的狀態(tài)維數(shù)nx分別為4和6。

變維濾波基本思想是：當(dāng)檢測(cè)到機(jī)動(dòng)發(fā)生，立即切換到機(jī)動(dòng)模型進(jìn)行跟蹤，退出機(jī)動(dòng)時(shí)退回到非機(jī)動(dòng)模型跟蹤。下面介紹變維濾波的機(jī)動(dòng)檢測(cè)方法，假設(shè)濾波器開始工作于非機(jī)動(dòng)模式。

1）非機(jī)動(dòng)模型切換到機(jī)動(dòng)模型

定義檢測(cè)機(jī)動(dòng)的有效窗口長(zhǎng)度為

其中α為衰減因子，且有0＜α＜1。

設(shè)T1為機(jī)動(dòng)檢測(cè)門限。若γ（k）≥T1，則認(rèn)為目標(biāo)在k-Δ-1開始有一恒定的加速度加入，這時(shí)目標(biāo)模型應(yīng)由非機(jī)動(dòng)模型轉(zhuǎn)向機(jī)動(dòng)模型。

2）機(jī)動(dòng)模型切換到非機(jī)動(dòng)模型

由機(jī)動(dòng)模型退回非機(jī)動(dòng)模型的檢測(cè)方法是檢測(cè)加速度估計(jì)值是否有統(tǒng)計(jì)顯著性意義。令加速度估計(jì)的顯著性檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為

Pam（k/k）——協(xié)方差矩陣的對(duì)應(yīng)塊。

設(shè)T2為退出機(jī)動(dòng)的檢測(cè)門限。若γa（k）＜T2，則加速度估計(jì)無顯著性意義，濾波器切換回非機(jī)動(dòng)模型。

將KF-CKF與變維濾波相結(jié)合，便可得到正常量測(cè)下的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法（記作VD-KF-CKF），其執(zhí)行過程總結(jié)如下：

1）濾波初始化，設(shè)置系統(tǒng)初值x0、P0和機(jī)動(dòng)檢測(cè)門限值T1、T2，衰減因子α。

2）采用KF-CKF-NMT進(jìn)行目標(biāo)跟蹤。

3）啟動(dòng)機(jī)動(dòng)檢測(cè)器，利用式（12）計(jì)算參數(shù)γ（k），并判斷γ（k）≥T1是否成立，若是則轉(zhuǎn)到步驟4）；若否，則返回步驟2）。

4）采用KF-CKF-MT進(jìn)行目標(biāo)跟蹤。

5）利用式（14）計(jì)算γa（k），并判斷γa（k）＜T2是否成立，若是則轉(zhuǎn)到步驟2）；若否，則執(zhí)行步驟4）。

3　不完全量測(cè)的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法

傳統(tǒng)的不完全量測(cè)處理方法是野值剔除法，該方法的處理結(jié)果易受殘差檢測(cè)門限的影響。門限值選取過大，則檢測(cè)結(jié)果存?zhèn)蔚目赡苄源螅环粗?，則去真的可能性過大。為避免這一問題，本文利用下述引理將不完全量測(cè)濾波問題轉(zhuǎn)化為確定信息的濾波問題。

引理1［11］：已知n維隨機(jī)向量x，m維隨機(jī)向量y=h（x）（h為m維的向量函數(shù)）和ν（其均值為零，方差為R），Bernoulli隨機(jī)變量λ（其期望為p）。假設(shè)x，ν，λ相互獨(dú)立，則隨機(jī)向量z=λy+ν的一階矩E（z）和二階矩Cov（z）、Cov（x，z）滿足：

引理1揭示了兩個(gè)隨機(jī)變量z和y在引入Bernoulli隨機(jī)變量后，其部分一階矩和二階矩的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)引理1，結(jié)合非機(jī)動(dòng)狀態(tài)模型，易得不完全量測(cè)下的KF-CKF濾波方法，即定理1。

定理1：考慮式（1）、式（3）和式（4）所述的目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)，在KF-CKF濾波結(jié)構(gòu)下，其目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì)方法（算法2，記作KF-CKF-UM-NMT）可按如下步驟計(jì)算：

1）預(yù)測(cè)過程

利用式（5）計(jì)算x^（k|k-1）和P（k|k-1）。

2）更新過程

①利用式（6）計(jì)算容積點(diǎn)xi（k|k-1）。

②計(jì)算傳播后的容積點(diǎn)

③測(cè)量預(yù)測(cè)

④計(jì)算新息協(xié)方差陣

⑤計(jì)算互協(xié)方差陣

⑥估計(jì)狀態(tài)及其協(xié)方差陣

證明：由于不確定量測(cè)僅影響量測(cè)更新過程，因此狀態(tài)預(yù)測(cè)過程與算法1相同。在Kalman濾波框架下，狀態(tài)估計(jì)及其誤差協(xié)方差陣［1］可表示為

其中參考測(cè)量方程（3）和（4），利用引理1有：

式（24）～式（26）中，基于測(cè)量真值y（k）的測(cè)量更新過程可由標(biāo)準(zhǔn)的CKF獲得，即式（18）～式（21）所述。

將式（24）和式（25）代入式（23）可得式（22）。

定理證畢！

算法2計(jì)算Pyy（k|k-1）時(shí)沒有噪聲方差R（k），這是因?yàn)闇y(cè)量真值模型中不含噪聲項(xiàng)。將算法KFCKF-UM-NMT中的參數(shù)分別替換為機(jī)動(dòng)模型的對(duì)應(yīng)參數(shù)即可獲得機(jī)動(dòng)模型的目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)方法（此時(shí)的算法記作KF-CKF-UM-MT）。

顯然，將VD-KF-CKF算法中的基礎(chǔ)濾波器KFCKF-NM和KF-CKF-NM分別替換為KF-CKFUM-NMT和KF-CKF-UM-MT，即可得到不完全量測(cè)下的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法（記作VD-KF-CKF-UM），在此不再贅述具體步驟。

4　仿真實(shí)例

假定目標(biāo)在二維平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，在0～200s沿著y軸作勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為20m/s，目標(biāo)的起始位置為（5000m，10000m）；在201～300s向x軸方向做了1次機(jī)動(dòng)，加速度為a1=-a3=0.08m/s2，完成慢轉(zhuǎn)彎后加速度降為零，做勻速直線運(yùn)動(dòng)；從500 s開始第2次機(jī)動(dòng)，加速度為-a1=a3=0.5m/s2，在600 s結(jié)束轉(zhuǎn)彎加速度降為零，然后做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

假設(shè)有一部位于坐標(biāo)原點(diǎn)的雷達(dá)對(duì)該運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，測(cè)量距離r（k）和方位角θ（k），則相應(yīng)的測(cè)量方程為

其中，雷測(cè)距標(biāo)準(zhǔn)差σr=10 m，方位角測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差為σθ=0.5°。

雷達(dá)掃描周期T=1s，仿真時(shí)長(zhǎng)為800s，虛警概率為0.15，加權(quán)衰減因子α=0.85，機(jī)動(dòng)檢測(cè)門限T1=25，退出機(jī)動(dòng)的檢測(cè)門限T2=10；從第15s開始激活機(jī)動(dòng)檢測(cè)器。

采用文獻(xiàn)［12］中的位置分量和速度分量的平方根誤差SEP（k）、SEV（k）和均值誤差MSEP、MSEV 4個(gè)誤差指標(biāo)對(duì)本文提出的算法進(jìn)行性能評(píng)價(jià)。仿真結(jié)果由圖1～圖3給出，算法的MSEP和MSEV分別為19.896 0 m、0.648 1 m/s。

從圖1可以看出，本文提出的方法能有效跟蹤機(jī)動(dòng)目標(biāo)，具有較好的跟蹤精度。但圖2和圖3也反映出當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)較大的跟蹤誤差。此時(shí)可通過調(diào)整變維濾波器中的有關(guān)參數(shù)改善性能。

圖1　機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤曲線

圖2　平方根誤差曲線（位置分量）

圖3　平方根誤差曲線（速度分量）

5　結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤過程中易出現(xiàn)的量測(cè)丟失（虛警）和濾波精度效果差等問題，提出一種不完全量測(cè)下的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法。首先，將不完全量測(cè)的狀態(tài)估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為確定量測(cè)的估計(jì)問題，并利用KF-CKF設(shè)計(jì)濾波算法。然后，結(jié)合變維濾波的思想，推導(dǎo)出不完全量測(cè)下基于變維CKF的跟蹤方法。本文的研究結(jié)果是在虛警概率恒定已知的條件下得到的，進(jìn)一步的研究工作可考慮未知虛警概率的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問題，相關(guān)研究成果有助于推動(dòng)不確定信息濾波技術(shù)的發(fā)展，也更符合實(shí)際目標(biāo)跟蹤的應(yīng)用背景。

［1］BAR S Y，BIRMIWAL K.Variable dimension filter for maneuvering target tracking［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1982，18（5）：621-629.

［2］LIXR，JILKOV V P.Survey of maneuvering target tracking Part I：dynamic models［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2003，39（4）：1333-1364.

［3］魯永杰，王思明.一種改進(jìn)的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤方法［J］.中國(guó)測(cè)試，2015，41（7）：95-98.

［4］LAN J，LI X R.Tracking of maneuvering non-ellipsoidal extended object or target group using random matrix［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2014，62（9）：2450-2463.

［5］JULIERSJ，JEFFREYK U，DURRANTT H F.A new method for the nonlinear transformation of means and covariances in filters and estimators［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2000，45（3）：477-482.

［6］ARASARATNAM I，HAYKIN S.Cubature kalman filters［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2009，54（6）：1254-1269.

［7］CLOUTIER J R，LIN C F，YANG C.Enhanced variable dimension filter for measuring target tracking［J］. IEEE Transac tions on Aerospace and Electronic Systems，1993，29（3）：786-796.

［8］余小游，高亭亭，孫廣富，等.衛(wèi)星導(dǎo)航弱信號(hào)的變維卡爾曼濾波跟蹤算法［J］.國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，37（3）：56-60.

［9］CABALLERO-áGUILAR，HERMOSO-CARAZOA，LINARES-PééREZ J.Covariance-based estimation algorithms in networked systems with mixed uncertainties in the observations［J］.Signal Processing，2014，94（1）：163-173.

［10］WANG Z，YANG F，HO D W C，et al.Robust H∞filtering for stochastic time-delay system with missing measurements［J］.IEEE Transac-tions on Signal Processing，2006，54（7）：2579-2587.

［11］HERMOSO-CARAZO A，LINARES-PéREZ J.Different approaches for state filtering in nonlinear systems with uncertainobservations［J］.AppliedMathematicsand Computation，2007，187（2）：708-724.

［12］管冰蕾，湯顯峰，葛泉波.未知測(cè)量噪聲方差的平方根高階容積Kalman濾波［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2015，32（9）：2626-2629.

（編輯：莫婕）

Variable dimension cubature kalman filter algorithm with incomplete measurements

ZHANG Hulong
（Chinese Flight Test Establishment，Xi’an 710089，China）

Aiming at the problem of maneuvering target tracking with incomplete measurements，a variable dimension cubature Kalman filter algorithm is proposed.Firstly，the Kalman filtercubature Kalman filter（KF-CKF）is adopted as a basic filter according to the state space model of tracking system.Secondly，by calculating the first and second-order statistical moments of the incomplete measurements，the state filtering with incomplete measurements is converted into the state estimating with complete measurements.Then，the corresponding state estimation method is derived.Finally，combining with variable dimension filter technology，a variable dimension CKF algorithm is presented.Computer simulations show that the new algorithm has good estimation accuracy and great application prospect of maneuvering target tracking.

target tracking；variable dimension filter；cubature Kalman filter；incomplete measurement

A

1674-5124（2016）06-0112-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2016.06.024

2015-12-10；

2016-02-10

張虎龍（1979-），男，湖南岳陽(yáng)市人，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)楣怆姕y(cè)試、信息融合、目標(biāo)跟蹤技術(shù)等。