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        等離子體可壓縮Euler-Maxwell系統(tǒng)光滑解的適定性

        2016-10-18 06:12:18馮躍紅
        關(guān)鍵詞:系統(tǒng)研究

        馮躍紅,王 術(shù),李 新

        (北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院,北京 100124)

        等離子體可壓縮Euler-Maxwell系統(tǒng)光滑解的適定性

        馮躍紅,王 術(shù),李 新

        (北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院,北京 100124)

        考慮等離子體物理中的可壓縮Euler-Maxwell系統(tǒng),借助能量方法和對稱子技巧,研究了三維環(huán)上的周期問題.在初值為一個小攝動的條件下,證明了當時間趨于無窮大時,該問題的整體光滑解收斂到一個非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解.

        Euler-Maxwell系統(tǒng);等離子體;整體光滑解;非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解

        等離子體Euler-Maxwell系統(tǒng)通常用來描述光滑帶電粒子流在電磁場中的輸運現(xiàn)象[1-2].它由描述流體運動的可壓縮Euler方程和描述自洽電磁場的Maxwell方程通過洛倫茲力耦合而成,既具有流體力學(xué)方程的難點,也包含電磁場方程產(chǎn)生的困難,研究起來極具挑戰(zhàn)性.目前有許多關(guān)于等離子體物理模型的相關(guān)研究,如小參數(shù)漸近極限問題、數(shù)值計算、解的整體存在性以及漸近性態(tài)等.對于簡化的一維Euler-Maxwell系統(tǒng),文獻[3]運用補償緊性法證明了熵解的整體存在性.關(guān)于小參數(shù)漸近極限問題的研究,參見文獻[4]及其參考文獻.對于光滑解的整體存在性及其漸近性態(tài)問題的研究,參見文獻[5-9],對于數(shù)值計算方面的研究,參見文獻[10],然而上述問題都是在Euler-Maxwell系統(tǒng)的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解附近展開研究的,目前僅文獻[11]通過迭代法在時空Sobolev空間中對非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性進行了研究,而在常用Sobolev空間意義下尚無非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解附近的光滑解適定性的相關(guān)研究.本文旨在回答上述問題.

        1 模型與定理

        本文研究形式如下的等離子體可壓縮Euler-Maxwell系統(tǒng):

        式中:(t,x)∈R R+×T T,這里T T=(R R/Z Z)3表示三維空間中的環(huán).未知變量分別為:密度n>0,速度u= (u1,u2,u3),E為電場強度,B為磁場強度,壓差函數(shù)h(n)滿足h′(n)>0.光滑周期函數(shù)b=b(x)≥常數(shù)>0表示靜止的離子密度.

        本文研究系統(tǒng)(1)~(4)的周期問題,其初始條件為

        滿足相容性條件

        為系統(tǒng)(1)~(4)的一個非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解.

        眾所周知,當n>0時,方程(1)~(4)為可對稱化的雙曲組.于是借助Kato[12]的結(jié)果可知,只要初值光滑,周期問題(1)~(6)就一定存在局部唯一光滑解.

        命題1(光滑解的局部存在唯一性,參見文獻[12-14]) 令式(6)成立,整數(shù)s≥3.對給定常數(shù)κ>0,初值-nν≥2κ.則如果

        那么存在T>0使得問題(1)~(6)存在局部唯一光滑解,滿足:(t,x)∈[0,T]×T T,及

        本文的主要結(jié)果如下.

        則周期問題(1)~(5)存在唯一整體光滑解

        并且對于任意t>0,滿足進而有

        式中:Hs(T T)表示環(huán)T T上s階常用Sobolev空間,其范數(shù)簡記為:‖·‖s.

        注:方程組(1)~(4)中速度耗散項-u在證明定理1的過程中起關(guān)鍵作用.

        2 準備工作

        對于多重指標α=(α1,α2,α3)∈N N3,記

        現(xiàn)在設(shè)(n,u,E,B)為周期問題(1)~(6)的唯一光滑解.令

        于是系統(tǒng)(1)~(4)可改寫為

        其初始條件為

        滿足如下相容性條件:

        注意到

        這里

        此處

        其中(e1,e2,e3)為R R3的標準正交基,I3為3×3單位矩陣.

        由此可得

        為一對稱矩陣.從而再由 A0(n)的正定性知,式(16)關(guān)于W是可對稱化的雙曲組.

        3 主要結(jié)果的證明

        命題2(先驗估計) 令式(15)成立,整數(shù)s≥3,T>0.設(shè)U為命題1給出,定義在區(qū)間[0,T]上,周期問題(10)~(14)的局部光滑解,則存在δ>0充分小,使得若

        則對于任意t∈[0,T]估計式(7)成立.

        3.1命題2的證明

        證明基于以下4個引理,記常數(shù)C>0不依賴任意時間t>0和T,在不同的地方值可以不同.

        引理1 在命題1的條件下,存在δ>0充分小,若式(17)成立,則對任意t∈[0,T]有

        證明:對于α∈N N3,|α|≤s,對式(16)求?α,然后乘以對稱子A0(n),有

        其中

        由Moser型積分不等式[13-14]可得

        令式(19)在空間L2(T T)上與?αW內(nèi)積可得

        其中

        由式(10)和Moser型積分不等式可得

        直接計算可得

        對于第4項,由A0和L的定義可得

        接下來,對Maxwell方程(12)、(13)做標準的能量估計,可得

        最終,聯(lián)合式(21)、(23)~(26),關(guān)于|α|≤s求和,注意到A0的正定性可得式(18).證畢.

        引理2 在命題1的條件下,存在δ>0充分小,若式(17)成立,則對任意t∈[0,T]有證明:注意到

        這里

        于是式(10)可以改寫為

        對于α∈N N3,|α|≤s-1,對式(28)求?α,然后在空間L2(T T)上與?α內(nèi)積,并關(guān)于|α|≤ s-1求和可得

        顯然有

        因此

        類似可得

        故而聯(lián)合式(29)~(33)可得式(27).證畢.

        引理3 在命題1的條件下,存在δ>0充分小,若式(17)成立,則對任意t∈[0,T]有

        證明:對于α∈N N3,|α|≤s-1,對式(28)求?α,然后在空間L2(T T)上與?αF內(nèi)積可得

        現(xiàn)在開始估計式(35)的右端各項.首先,由式(10)與下面關(guān)系式

        可得

        接下來,與引理2證明過程類似,可得

        最終,聯(lián)合式(35)~(39),關(guān)于|α|≤s-1求和,可得式(34).證畢.

        引理4 在命題1的條件下,存在δ>0充分小,若式(17)成立,則對任意t∈[0,T]有

        證明:對于α∈N N3,|α|≤s-2,對式(10)求?α,然后在空間L2(T T)上與-?αΔ×G內(nèi)積可得

        進而關(guān)于|α|≤s-2求和可得式(40).這里用到了:對任意1≤i≤3,有

        事實上,由ΔG=0與?iΔ-1Δ是從Lp到Lp的有界算子[15],1<p<∞,可得上述結(jié)論.證畢.

        命題2的證明.首先定義

        其中待定系數(shù)0<ε<m3<m2<m1<1.注意到,i= 1,2,3,只要0<mi<1充分小,就有Es(U(t))≈‖U(t)‖2s.進而對式(18)、式(27)×m1、式(34)× m2,以及式(40)×m3可得

        此處用到了Cauchy-Schwarz不等式.令0<ε<,可知:存在常數(shù)γ,C>0使得

        再由條件(17)可得,存在常數(shù)γ2>0有

        由此可得估計式(7)成立.證畢.

        最后給出定理1中解的整體存在性的證明.

        3.2定理1的證明

        解的整體存在性可由命題1給出的局部存在性、命題2給出的先驗估計式(7)結(jié)合標準的連續(xù)性討論方法得到,參見文獻[16].進而由式(7)可得

        再由系統(tǒng)(10)~(13)可知

        故而有

        于是可知式(8)成立.證畢.

        4 結(jié)論

        1)借助能量方法和對稱子技巧,在初值為一個非常數(shù)平衡解的小攝動前提下,建立了周期問題光滑解的一致先驗估計,然后利用對稱雙曲組光滑解的局部解存在性理論,并結(jié)合標準的連續(xù)性討論方法,證明了該問題存在唯一整體光滑解.

        2)運用泛函分析理論,證明了當時間趨于無窮大時,該解的各個分量按不同的范數(shù)分別收斂至平衡態(tài).

        3)推廣了常數(shù)平衡解的穩(wěn)定性理論,并對等離子體物理的發(fā)展提供必要理論依據(jù).

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        (責任編輯 呂小紅)

        Well-posedness of Solutions to the Compressible Euler-Maxwell System Arising From Plasmas

        FENG Yuehong,WANG Shu,LI Xin
        (College of Applied Sciences,Beijing University of Technology,Beijing 100124,China)

        This paper is concerned with the compressible Euler-Maxwell equations arising from plasmas. By using the techniques of symmetrizer and energy method,the well-posedness of solutions to periodic problems with prepared initial values was investigated.It shows that the periodic problems have globally smooth solutions near a non-constant steady state with an asymptotic stability property.

        Euler-Maxwell system;plasmas;global smooth solution; non-constant stationary solution

        O 175.29

        A

        0254-0037(2016)02-0309-06

        10.11936/bjutxb2015040046

        2015-04-18

        國家自然科學(xué)基金資助項目(11371042);北京市自然科學(xué)基金資助項目(1132006)

        馮躍紅(1980—),男,講師,主要從事應(yīng)用偏微分方程方面的研究,E-mail:fyh@bjut.edu.cn

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