陳瑾

教學(xué)人教版五年級(jí)上冊(cè)《三角形的面積》之后，我發(fā)現(xiàn)教材中的練習(xí)題大多是利用面積計(jì)算公式，直接求面積，或者求高或底，而這些都是學(xué)生早就熟練掌握的內(nèi)容。那么，在基礎(chǔ)性學(xué)力之外，發(fā)展性學(xué)力、創(chuàng)造性學(xué)力如何兼顧？

教材安排了一道練習(xí)題，在兩條平行線中尋找面積相等的三角形（見下圖），并畫出與原三角形面積相等的三角形（見下圖）。這道題背后隱藏的“等積變形”思想是圖形與幾何領(lǐng)域的重要思想方法之一，也是初中學(xué)習(xí)幾何證明時(shí)常用的方法。因此，我充分利用這道題，在材料重組方面下功夫，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)等積變形的思想方法，培養(yǎng)空間觀念，達(dá)到提升思維品質(zhì)的目的。

一、經(jīng)歷分層探究的過程，拓寬思維的廣度

關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)能力，創(chuàng)設(shè)簡(jiǎn)潔的情境，一題多變，促使學(xué)生在靈活運(yùn)用三角形面積計(jì)算公式的基礎(chǔ)上分層探究，在直觀感受與動(dòng)手操作中進(jìn)一步理解“等底等高，面積相等”的含義，真正弄清知識(shí)的來龍去脈。

【案例1】在方格紙中分別以下面直角三角形的BC、AB、AC三條邊為底，畫出與它面積相等的三角形。（見圖1）

環(huán)節(jié)一：以直角三角形的BC邊為底，畫出與它面積相等的三角形。（見圖2）。

反饋：先選擇學(xué)生的作品展示，再引導(dǎo)學(xué)生理解：這些三角形的形狀完全不同，但是等底等高，所以面積肯定相等。

師：像這樣的三角形還能畫嗎？你能快速找到它們嗎？

生：我畫一條與BC平行的平行線，可以很快找到無數(shù)個(gè)這樣的三角形。

再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行線可以朝上畫，也可以朝下畫，所以這樣的三角形有無數(shù)個(gè)。隨后課件演示。（見圖3）

師：因?yàn)檫@些三角形等底等高，所以面積肯定相等。即使形狀千變?nèi)f化，但是面積始終不變，這就是我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中通常說到的“等積變形”。

環(huán)節(jié)二：請(qǐng)?jiān)陬^腦中想象，以直角邊AB為底，畫出與原三角形面積相等的三角形。學(xué)生先獨(dú)立思考，教師再用課件演示以AB為底的畫法。（見圖4）

環(huán)節(jié)三：出示一幅沒有方格的圖，學(xué)生以斜邊AC為底，畫出與原三角形面積相等的三角形。

先反饋學(xué)生作品，再演示課件上的畫法，接著教師再用電子白板演示在平行線上拉動(dòng)三角形頂點(diǎn)，形狀改變但面積不變的過程。（見圖5）

小結(jié)：不管平行線是橫向還是縱向，或者是斜向的，只要三角形的一條邊在平行線上，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)在另一條平行線的任意位置，所形成的無數(shù)個(gè)三角形都和原三角形面積相等，因?yàn)樗鼈兗鹊鹊子值雀摺?/p>

同一素材一變?cè)僮儯齻€(gè)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣，在充分感受“等底等高，面積相等”的基礎(chǔ)上，將思維提升到“等積變形”的高度，把剛才的探究過程整理如下表：

二、體驗(yàn)多樣的解題策略，提升思維的靈活度

“為班級(jí)學(xué)習(xí)共同體提供有一定難度的問題”是集體學(xué)習(xí)材料理想的標(biāo)準(zhǔn)，無論是蘇聯(lián)的贊科夫還是日本的佐藤學(xué)，都是同樣的觀點(diǎn)。先讓學(xué)生充分地自主嘗試，然后互相交流，互通有無，體驗(yàn)多樣的解題策略，真正學(xué)有所得，從而提升思維的靈活度。

【案例2】求出下面陰影部分的面積。

方法1：用大面積減小面積的方法做。先求大梯形的面積，再減去空白部分三角形的面積，得到的就是陰影部分的面積即32平方厘米。

方法2：因?yàn)閮蓚€(gè)陰影部分的三角形等高，所以可以把左邊陰影部分三角形變形，移動(dòng)頂點(diǎn)和右邊的三角形拼在一起，組成一個(gè)規(guī)則的大三角形，底是16厘米，高是4厘米，所以面積是32平方厘米。

然后教師引導(dǎo)一名學(xué)生用電子白板演示拉動(dòng)頂點(diǎn)等積變形的過程。學(xué)生認(rèn)真觀察，紛紛笑瞇瞇地點(diǎn)頭，表示和自己想的一樣。（見圖7）

師：還可以怎么變？

方法3：把右邊的三角形往左拉，也可以拼成一個(gè)底是16厘米、高是4厘米的大三角形，兩種方法本質(zhì)上是相同的。（見圖8）

方法4：既然可以往左拉，往右拉，那么肯定可以從兩邊同時(shí)往中間拉。平行線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，所以就有無數(shù)種拉的方法。（見圖9）

師：同學(xué)們的腦子真靈活呀，真是一點(diǎn)就通！（伸出大拇指表示贊賞）

當(dāng)學(xué)生在經(jīng)歷“山重水復(fù)疑無路”的無奈之后，在對(duì)比和碰撞中打破思維平衡，在解決具體問題的過程中體驗(yàn)策略多樣化，并感悟“等積變形”方法的便捷性，最終收獲“柳暗花明又一村”的喜悅。

【案例3】求出不規(guī)則四邊形的面積。（見下圖10）

方法1：添加幾條線，補(bǔ)出一個(gè)大長(zhǎng)方形，就能很明顯看出兩個(gè)三角形的面積之和就是這個(gè)長(zhǎng)方形面積的一半，所以直接用長(zhǎng)方形面積除以2。（見圖11）

方法2：假設(shè)上下兩個(gè)三角形的高分別是h1和h2，求總面積用6h1÷2+6h2÷2，可用乘法分配律變形為（6h1+6h2）÷2，再到6（h1+h2）÷2，最后得到6×9÷2，結(jié)果也是27平方厘米。（見圖12）

方法3：用等積變形的方法，把上面三角形的頂點(diǎn)平行拉動(dòng)到右邊，直到把兩個(gè)三角形變成一個(gè)規(guī)則的大三角形為止。求總面積仍然用6×9÷2，結(jié)果還是27平方厘米。（見圖13）

同學(xué)每介紹一種做法，老師都真誠(chéng)贊揚(yáng)，其他同學(xué)也報(bào)以熱烈的掌聲。

小結(jié)：三個(gè)同學(xué)，三種思路，都可以用算式6×9÷2來解決，相比較而言，我們通過移動(dòng)頂點(diǎn)，運(yùn)用等積變形的方法來做（見圖13），顯然更加簡(jiǎn)單。

這兩道習(xí)題的設(shè)計(jì)是經(jīng)過深思熟慮的，既可以用常規(guī)方法來做，又能利用轉(zhuǎn)化思想，用“等積變形”的方法來解決，策略選擇的多樣化能滿足不同層次的學(xué)生的需求。

三、提供富有張力的材料，挖掘思維的深度

數(shù)學(xué)教學(xué)要適當(dāng)追求學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的深刻性，教師要善于捕捉與尋找復(fù)雜的、有張力的、有豐富內(nèi)涵的關(guān)系，使教學(xué)材料呈現(xiàn)豐富的結(jié)構(gòu)，從而促使學(xué)生的思維更有深度。

【案例4】下圖是由邊長(zhǎng)分別為5厘米和4厘米的兩個(gè)正方形組成，求陰影部分的面積。

方法1：用兩個(gè)大正方形的總面積減去空白部分，也就是三個(gè)小三角形的面積，就得到陰影部分的面積。

師：同學(xué)們用常規(guī)方法——大面積減去小面積來做，很好！但是，解決這道題還有更加巧妙的方法，我們是否可以從等積變形的角度思考呢？

學(xué)生獨(dú)立思考，然后交流。

方法2：我把陰影部分看成兩個(gè)小三角形，分別等積變形，可以變成一個(gè)底和高都是4厘米的大三角形BEF，面積是8平方厘米。（見圖14）

師：非常棒，真是奇思妙想?。ù蠹壹娂姙檫@位同學(xué)獻(xiàn)上熱烈的掌聲。）

師：還有別的想法嗎？如果沒有，老師給個(gè)提示（課件出示平行線），同學(xué)們?cè)賴L試解決。

方法3：以陰影部分三角形的一條邊為底，將它對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)在這組平行線之間移動(dòng)，移到它變成一個(gè)直角三角形為止。這個(gè)直角三角CEG形恰好是小正方形面積的一半，所以面積就是4×4÷2=8平方厘米。（見圖15）

有的同學(xué)還在思考，有的同學(xué)一下就看明白了，發(fā)出一聲驚呼。老師再借助電子白板，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)在一組平行線之間移動(dòng)三角形頂點(diǎn)等積變形的過程，這時(shí)更多學(xué)生露出會(huì)心的笑容。接下來，同桌之間對(duì)這道題如何采用等積變形的方法再次討論，交流。

師：你能像剛才這樣，在這幅圖再創(chuàng)造出兩個(gè)面積相等的三角形嗎？試一試吧。（見圖16）

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教的立足點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生的學(xué)。從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，通過教材重組，提供合適難度的練習(xí)，滲透數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生思維不可或缺的要素，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)不可忽視的途徑。

（作者單位： 浙江省杭州市文海實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

責(zé)任編輯 曾維平

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