梁建青，沈云中，張興福

(1.同濟(jì)大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092；2.廣東工業(yè)大學(xué) 測(cè)繪工程系，廣東 廣州 510006)

?

基于EIGEN6C2模型的Kaula規(guī)則精化

梁建青1，沈云中1，張興福2

(1.同濟(jì)大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092；2.廣東工業(yè)大學(xué) 測(cè)繪工程系，廣東 廣州 510006)

高精度重力場(chǎng)模型精化Kaula規(guī)則其要點(diǎn)是將Kaula規(guī)則乘上一個(gè)與位系數(shù)階數(shù)項(xiàng)相關(guān)的二階有理函數(shù)，并基于EIGEN6C2重力場(chǎng)模型解算有理函數(shù)模型的系數(shù)。精化后的Kaula規(guī)則與EIGEN6C2模型和EGM2008模型的逼近誤差都只是原來(lái)Kaula規(guī)則的0.26%。因此, 精化后的Kaula規(guī)則更能正確表示各階引力位的實(shí)際能量，對(duì)于重力場(chǎng)模型的解算提供更加合理的約束。

重力場(chǎng)模型；Kaula規(guī)則；EIGEN6C2模型；EGM2008模型；精化

1966年Kaula給出重力場(chǎng)信號(hào)的Kaula階方差模型，即著名的Kaula規(guī)則，以非常簡(jiǎn)單的模型刻畫(huà)地球重力位系數(shù)的能量。Kaula規(guī)則常用于構(gòu)造正則化解[1]，當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)存在空白以及衛(wèi)星重力反演的向下延拓等原因造成解算模型病態(tài)時(shí)，Kaula規(guī)則的約束對(duì)于合理求解重力場(chǎng)位系數(shù)有非常重要的作用[2]。目前，Kaula規(guī)則約束的正則化方法已經(jīng)用于GOCE衛(wèi)星數(shù)據(jù)的重力場(chǎng)反演[3-7]。例如，歐空局已經(jīng)基于最小二乘法反演的第五代GOCE重力場(chǎng)模型中均采用Kaula規(guī)則約束。由于GOCE衛(wèi)星的極區(qū)空白導(dǎo)致采用最小二乘法求解重力場(chǎng)位模型的法方程是病態(tài)的，重力場(chǎng)位系數(shù)低次項(xiàng)受極區(qū)空白的影響比較大，因此無(wú)法更好地求解重力場(chǎng)位系數(shù)。而Kaula規(guī)則的合理約束對(duì)利用GOCE衛(wèi)星觀測(cè)數(shù)據(jù)反演更高階次的重力場(chǎng)模型具有重要意義。至今，已有許多學(xué)者研究Kaula規(guī)則構(gòu)造的正則化解在GOCE衛(wèi)星反演重力場(chǎng)中的作用[4,6-7]，或者利用Kaula規(guī)則分析幾個(gè)現(xiàn)有的重力場(chǎng)模型[8]，但是對(duì)精化Kaula規(guī)則的研究卻是比較少。

雖然Kaula規(guī)則用非常簡(jiǎn)單的模型給出了重力場(chǎng)位系數(shù)各階能量分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律[1]，但是其與采用重力衛(wèi)星觀測(cè)數(shù)據(jù)和其它數(shù)據(jù)反演的許多目前高精度地球重力場(chǎng)模型的實(shí)際階方差存在差異，尤其是高階部分，因此本文基于高精度重力場(chǎng)模型研究Kaula規(guī)則的精化，使得精化后的Kaula規(guī)則能更加正確地反映引力位的實(shí)際能量分布,從而為重力場(chǎng)位系數(shù)的解算提供更加合理的約束。本文首先分析EIGEN6C2模型的階方差與Kaula規(guī)則曲線之間的差異，然后將Kaula規(guī)則乘上一個(gè)與位系數(shù)階數(shù)項(xiàng)相關(guān)的二階有理函數(shù)，并基于EIGEN6C2重力場(chǎng)模型解算有理函數(shù)模型的系數(shù)。最后再利用GOCE衛(wèi)星2011年1～2月的軌道和梯度數(shù)據(jù)反演重力場(chǎng)來(lái)驗(yàn)證精化Kaula規(guī)則的必要性。

1　EIGEN6C2模型階方差分析

在地固坐標(biāo)系中，地球引力位算式為

(1)

(2)

1966年Kaula給出重力場(chǎng)信號(hào)的理論公式[9]，即著名的Kaula規(guī)則，其階方差算式為

(3)

根據(jù)式(2)、式(3)可得到直至1 949階次的EIGEN6C2模型和Kaula規(guī)則的階方差圖(見(jiàn)圖1)以及兩者的差異(見(jiàn)圖2)。

圖1　EIGEN6C2模型階方差(實(shí)線)和Kaula規(guī)則階方差(虛線)

圖2　EIGEN6C2模型與Kaula的階方差之差

圖1和圖2表明， Kaula規(guī)則2階系數(shù)的階方差比EIGEN6C2模型小約兩個(gè)數(shù)量級(jí)， 4～50階稍微大于EIGEN6C2模型，50～300階小于EIGEN6C2模型，300～1 949階大于EIGEN6C2模型。隨著模型階次的增大, Kaula規(guī)則階方差減小的速度小于EIGEN6C2模型，因此當(dāng)n>300時(shí)，Kaula規(guī)則的階方差與EIGEN6C2模型之間的差值不斷增大。

2　基于EIGEN6C2模型的Kaula規(guī)則精化方法

圖1和圖2表明，EIGEN6C2模型的階方差與Kaula規(guī)則之差和位系數(shù)的階有關(guān)，如果精化后的Kaula規(guī)則的階方差為

(4)

(5)

圖3　參數(shù)與位系數(shù)階的關(guān)系(n>2)

(6)

(7)

3　結(jié)果及分析

(8)

圖4　擬合參數(shù)比較結(jié)果圖(n>2)

Kaula規(guī)則與EIGEN6C2模型的符合程度可根據(jù)其逼近中誤差來(lái)衡量，其算式為

(9)

圖5　精化前、后的Kaula規(guī)則與EIGEN6C2模型階方差

圖6　精化前、后的Kaula規(guī)則與EGM2008模型的階方差

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文對(duì)Kaula規(guī)則精化的合理性，以GOCE衛(wèi)星2011年1～2月的軌道和梯度觀測(cè)數(shù)據(jù)基于直接解法反演200階次的地球重力場(chǎng)為例，分別采用精化前、后的Kaula規(guī)則構(gòu)造正則化矩陣約束GOCE衛(wèi)星反演的法方程，并基于恢復(fù)的大地水準(zhǔn)面累積誤差最小確定最優(yōu)正則化參數(shù)。其中，參考模型為EIGEN5C，截?cái)嘀?00階次，最后相對(duì)于EIGEN6C2模型評(píng)定解算結(jié)果的精度。精化前、后的Kaula規(guī)則約束后的重力場(chǎng)模型在200階大地水準(zhǔn)面累積差分別為9.36 cm，9.35 cm，表明本文反演結(jié)果是正確的。精化前、后的Kaula規(guī)則約束后的大地水準(zhǔn)面誤差如圖7所示。

圖7　精化前、后的Kaula規(guī)則約束后的大地水準(zhǔn)面誤差

由上述結(jié)果和圖可見(jiàn)，因Kaula規(guī)則在200階之前與EIGEN6C2、EGM2008模型符合較好，因此這部分改進(jìn)空間非常小，所以精化后的Kaula規(guī)則約束的大地水準(zhǔn)面誤差并沒(méi)有多大的變化(見(jiàn)圖7)。但是本文精化后的Kaula規(guī)則與EIGEN6C2和EGM2008模型在高階部分的吻合程度顯著提高，其更能準(zhǔn)確地反映引力位的實(shí)際能量分布(見(jiàn)圖5，圖6)。

4　結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)高精度的重力場(chǎng)模型對(duì)Kaula規(guī)則進(jìn)行精化，并根據(jù)EIGEN6C2模型解算精化模型的系數(shù)，精化模型的擬合優(yōu)度達(dá)到0.9775，說(shuō)明擬合度較佳。精化后的Kaula規(guī)則與EIGEN6C2模型和EGM2008模型的逼近誤差只是精化前的0.26%，說(shuō)明精化后的Kaula規(guī)則與EIGEN6C2和EGM2008模型符合較好。因此，本文精化后的Kaula規(guī)則更能正確反映出各階引力位的實(shí)際能量，這在很大程度上精化原來(lái)的Kaula階方差模型，為以后利用Kaula規(guī)則構(gòu)造正則化矩陣解算更高階次的GOCE重力場(chǎng)模型提供合理的依據(jù)。

[1]沈云中.應(yīng)用CHAMP衛(wèi)星星歷精化地球重力場(chǎng)模型的研究[D].武漢：中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所,2000.

[2]王正濤.衛(wèi)星跟蹤測(cè)量確定地球重力場(chǎng)的理論和方法[D].武漢：武漢大學(xué)，2005.

[3]徐新禹，李建成,王正濤,等.Tikhonov正則化方法在GOCE重力場(chǎng)求解中的模擬研究[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),2010,39(5):466-470.

[4]鄭偉，許厚澤,鐘敏.基于時(shí)空域混合法利用Kaula正則化精確和快速解算GOCE重力場(chǎng)[J].地球物理學(xué)報(bào),2011,54(1):14-21.

[5]METZLER B,PAIL R.GOCE Data Processing: the Spherical Cap Regularization Approach [J].Stu.Geophy.Geod,2005,49(4):441-462.

[6]KUSCHE J,KLEES R.Regularization of gravity field estimation from satellite gravity gradients[J].Journal of Geodesy,2002,76(6):359-368.

[7]YI W.The Earth’s gravity field from GOCE[D].Germany:Technische Universitat Munchen,2011.

[8]周星，甄冬松.利用Kaula準(zhǔn)則分析幾種地球重力場(chǎng)模型[J].城市建設(shè)理論研究，2012(34).

[9]KAULA W.Theory of satellite geodesy[M].Waltham,Mass.Blaisdell Pub.Co.,1966.

[10] 沈云中，陶本藻.實(shí)用測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法[M].2版.北京: 測(cè)繪出版社，2012.

[11] 唐家德.基于MATLAB的非線性擬合[J].計(jì)算機(jī)與現(xiàn)代化,2008(6):15-19.

[責(zé)任編輯：張德福]

A modified Kaula rule based on EIGEN6C2 gravity field model

LIANG Jianqing1, SHEN Yunzhong1, Zhang Xingfu2

(1.School of Surveying and Geo-informatics, Tongji University, Shanghai 200092，China；2. Department of Surveying and Mapping，Guangdong University of Technology,Guangzhou 510006，China)

The paper will modify the Kaula rule based on the EIGEN6C2 gravity field model. The key point is to multiply a degree related second order rational function to the Kaula rule. The coefficient parameters of the rational function are estimated based on the EIGEN6C2 gravity field model. The approximation error of the modified Kaula rule with respect to EIGEN6C2 and EGM2008 gravity field models are only 0.26% of that of the original Kaula rule. Therefore the modified Kaula rule can more reasonably reflect the power spectrum of the earth’s gravity field, which can be used as a constraint in computing the gravity field model.

gravity field model; Kaula rule; EIGEN6C2 model; EGM2008 model; modifying

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.12.005

2015-06-22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41474017； 41274035)

梁建青(1990-)，男，碩士研究生.

P223

A

1006-7949(2016)12-0021-04