王施施, 王文勝, 駱明旭

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

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ERV族分布下帶投資的雙險種風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率

王施施, 王文勝, 駱明旭

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

破產(chǎn)概率；雙險種風(fēng)險模型；漸近關(guān)系式；風(fēng)險投資策略

1　引言和模型

在實際生活中,保險公司業(yè)務(wù)種類日益增多,在索賠方面要考慮的因素也越來越復(fù)雜,因此經(jīng)典風(fēng)險模型中單一險種的情形已不能滿足實際需要.為了更好地描述這些不確定因素,本文引入了帶投資的雙險種風(fēng)險模型,利用此模型對破產(chǎn)概率進行深入研究.

我們假定保險公司拿出一部分盈余投資Black-Scholes型資本市場指數(shù),且假設(shè)該指數(shù)的價格過程由幾何布朗運動來表示,那么公司的盈余過程{Ui(t),t≥0}可表示為:

(1)

(2)

其中{Ni(t),t≥0,i=1,2}是第i險種到時刻t為止保單發(fā)生索賠次數(shù).假設(shè)它服從參數(shù)為λit的泊松分布,且{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0}相互獨立,而且{Xik,k=1,2,…,i=1,2},{Bi(t),i=1,2,t≥0},{Ni(t),i=1,2,t≥0}都是相互獨立的.

在有限時間T(T>0),關(guān)于雙險種情形的破產(chǎn)時刻及破產(chǎn)概率有多種定義.本文主要研究其中的3種,它們具體定義為:

1)定義破產(chǎn)時刻Tmax(x)為:

Tmax(x)=inf{t≥0:max{U1(t),U2(t)}<0|U1(0)=β1x,U2(0)=β2x},

相應(yīng)的破產(chǎn)概率為:

Ψmax(x,T)=P(Tmax(x)≤T)

(3)

2)定義破產(chǎn)時刻Tmin(x)為:

Tmin(x)=inf{t≥0:min{U1(t),U2(t)}<0|U1(0)=β1x,U2(0)=β2x},

相應(yīng)的破產(chǎn)概率為:

Ψmin(x,T)=P(Tmin(x)≤T)

(4)

3)定義破產(chǎn)時刻Tsum(x)為:

Tsum(x)=inf{t≥0:U1(t)+U2(t)}<0|U1(0)=β1x,U2(0)=β2x},

相應(yīng)的破產(chǎn)概率為:

Ψsum(x,T)=P(Tsum(x)≤T)

(5)

在保險精算的應(yīng)用中破產(chǎn)概率的研究一直是熱門的話題.迄今,國內(nèi)外很多學(xué)者研究過連續(xù)或者離散時間風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率.例如,Asmussen和H?jgaard[1],Cossette[2],Chen[3]等.然而,這些都是對單一情形的研究,難免和實際不相符合.后來,二維風(fēng)險模型逐漸被廣大學(xué)者探討和研究出來,如Avram[4],Li[5],Dang[6],Zhang和Wang[7].

本文主要集中研究帶投資的雙險種風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率,給出了破產(chǎn)概率主要結(jié)果和其他一些概率以及相應(yīng)的證明以及證明所需要的引理.

2　定義和主要結(jié)果

2.1相關(guān)概念

定義1對任意固定的實數(shù)α>0,如果分布F滿足

(6)

則稱F屬于R-α族.通常,R族是指所有R-α族關(guān)于α在其取值范圍上的并集.

定義2對任意固定的實數(shù)0<α≤β<∞,如果分布F滿足

(7)

則稱F屬于ERV-α,-β族.通常,ERV族指所有ERV{-α,-β}族關(guān)于α≤β在其取值范圍上的并集.

對于更新風(fēng)險模型(2),全文假設(shè)索賠額分布Fi∈ERV(-α,-β),1<α≤β<∞,且

(8)

假設(shè)該條件保證了公司盈余的隨機波動能被趨勢控制,否則公司將以概率1破產(chǎn).詳見文獻[8-9].

從現(xiàn)在開始除非特別指明,所有極限過程均指x→∞時情況,對于兩個正函數(shù)f(·)和g(·),如果limf(x)/g(x)=1，記為f(x)～g(x);如果liminff(x)/g(x)≥1,記為f(x)g(x);如果limsupf(x)/g(x)≤1,記為f(x)g(x);如果limsupf(x)/g(x)<∞,記為f(x)=○(g(x)).

2.2主要結(jié)果

定理1考慮更新風(fēng)險模型(2),令LN(yi;a,b2)表示參數(shù)為a和b2的對數(shù)正態(tài)分布,如果索賠額{Xik,k=1,2,…,i=1,2}是獨立同分布且非負的隨機變量,其分布Fi∈ERV(-α,-β),1<α≤β<∞,且式(8)成立.則式(3)定義的破產(chǎn)概率具有如下漸近關(guān)系式:

(9)

定理2考慮更新風(fēng)險模型(2),令LN(yi;a,b2)表示參數(shù)為a和b2的對數(shù)正態(tài)分布,如果索賠額{Xik,k=1,2,…,i=1,2}是獨立同分布且非負的隨機變量,其分布Fi∈ERV(-α,-β),1<α≤β<∞,且式(8)成立.則式(4)定義的破產(chǎn)概率具有如下漸近關(guān)系式:

(10)

定理3考慮更新風(fēng)險模型(2),令LN(yi;a,b2)表示參數(shù)為a和b2的對數(shù)正態(tài)分布,如果索賠額{Xik,k=1,2,…,i=1,2}是獨立同分布且非負的隨機變量,其分布Fi∈ERV(-α,-β),1<α≤β<∞,且式(8)成立.則式(5)定義的破產(chǎn)概率具有如下漸近關(guān)系式:

(11)

3　定理的證明

3.1引理

引理1考慮單一險種情形下,具有共同分布F的獨立索賠額序列{Xk,k=1,2,…},如果F∈ERV(-α,-β),1<α≤β<∞,則

(12)

引理2設(shè)X和Y是兩個相互獨立的非負隨機變量,X的分布F∈ERV(-α,-β),1<α≤β<∞,且存在0<δ<α,使得EYβ+δ<∞,則存在常數(shù)D>0,使得

(13)

證明參見文獻[11]中定理3.5.

(14)

證明參見文獻[11].

(15)

證明參見文獻[12]中引理3.1.

引理5對于單一險種情形下帶投資的風(fēng)險模型,

其中LN(y;a,b2)表示參數(shù)為a和b2的對數(shù)正態(tài)分布,如果索賠額分布F∈ERV(-α,-β),1<α≤β<∞,且式(8)成立,則

(16)

證明在假設(shè)條件(8)下,由引理1式(12)得

引理6對于單一險種情形下帶投資的風(fēng)險模型,

其中LN(y;a,b2)表示參數(shù)為a和b2的對數(shù)正態(tài)分布,如果索賠額分布F∈ERV(-α,-β),1<α≤β<∞,且式(8)成立,則

(17)

證明對?ε>0,

I1(x)-I2(x).

(18)

(19)

(20)

選取適當?shù)摩?0,使得β′(1-ρ)>β.根據(jù)定義2式(7)有

(21)

根據(jù)引理2,存在0<δ<α,和常數(shù)D>0,使得

(22)

易證式(22)中的積分是有限常數(shù).對于前面定義的β′,有β′(1-ρ)>β,在式(8)條件下,有

(23)

由式(22)、(23)和引理4的式(15)得

綜上所述

(24)

進一步,由式(19)(22)和引理4的式(15)得

(25)

所以由式(18)(24)(25)和ε>0的任意性得

3.2定理1的證明

首先證明式(3)定義破產(chǎn)概率的上界,由破產(chǎn)概率Ψmax(x,T)的定義及條件{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0}相互獨立,以及{Xik,k=1,2,…},(i=1,2)獨立可知

Ψmax(x,T)=P(Tmax(x)≤T)=P(Ui(t)<0,i=1,2,?0≤t≤T)=

由引理5得

Ψmax(x,T)

(26)

接著要證明破產(chǎn)概率的下界,根據(jù)其獨立性有

Ψmax(x,T)=P(Ui(t)<0,i=1,2,?0≤t≤T)=

由引理6得

Ψmax(x,T)

(27)

所以結(jié)合式(26)和(27)可知

3.3定理2的證明

根據(jù)破產(chǎn)概率Ψmin(x,T)的定義及在定理2條件下,令s(xi)=inf{t≥0,Ui(t)<0},則

3.4定理3的證明

和定理1的證明一樣,首先考慮式(5)定義破產(chǎn)概率的上界,由定理3的條件得

由引理3得

所以

(28)

下面考慮破產(chǎn)概率的下界.

由式(5)破產(chǎn)概率定義得

由引理3得

所以

Ψsum(x,T).

(29)

由式(28)和式(29)得

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Ruin Probability of Two-type-risk Insurance Risk Model under ERV Distribution

WANG Shishi, WANG Wensheng, LUO Mingxu

(College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

ruin probability; risk model for two-type-risk insurance; asymptotic relationship; venture capital strategy

2015-09-29

王文勝(1972—),男,教授,主要從事隨機過程,金融數(shù)學(xué)研究.E-mail:wswang@aliyun.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2016.05.015

O211.9MSC2010:62P20

A

1674-232X(2016)05-0533-09