羅夢(mèng)翔， 高明周， 蔡國(guó)平

(上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上?！?00240)

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機(jī)翼顫振的時(shí)滯反饋控制研究

羅夢(mèng)翔， 高明周， 蔡國(guó)平

(上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240)

采用瞬時(shí)最優(yōu)方法對(duì)二元機(jī)翼顫振的時(shí)滯反饋控制進(jìn)行研究。首先采用Lagrange方法建立機(jī)翼系統(tǒng)的顫振動(dòng)力學(xué)模型，其中考慮了機(jī)翼俯仰剛度的立方非線性，然后采用瞬時(shí)最優(yōu)控制方法進(jìn)行了非線性時(shí)滯反饋控制律的設(shè)計(jì)，最后通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)控制方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。仿真結(jié)果顯示，時(shí)滯控制律能夠有效地抑制機(jī)翼的顫振。

機(jī)翼；顫振；瞬時(shí)最優(yōu)控制；時(shí)滯

飛行器顫振是在其本身運(yùn)動(dòng)引起的氣動(dòng)力的激勵(lì)下發(fā)生的一種自激振動(dòng)。當(dāng)飛行器的飛行速度超過(guò)臨界顫振速度時(shí)，機(jī)翼會(huì)不斷地從氣流中吸取能量，導(dǎo)致振動(dòng)無(wú)法衰減下來(lái)，從而給飛行器帶來(lái)災(zāi)難性的破壞。目前機(jī)翼顫振問(wèn)題已經(jīng)得到越來(lái)越多學(xué)者的大量關(guān)注，并有許多研究成果問(wèn)世。例如，于明禮等[1-2]考慮機(jī)翼外部擾動(dòng)和建模誤差的不確定性，分別設(shè)計(jì)了H∞魯棒控制律和μ控制器，并進(jìn)行了風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證；WANG等[3]針對(duì)含未建模非線性以及外接擾動(dòng)的二元非線性氣動(dòng)彈性系統(tǒng)，采用高增益狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)自適應(yīng)輸出反饋控制器，進(jìn)而抑制結(jié)構(gòu)氣動(dòng)彈性響應(yīng)和極限環(huán)震蕩；錢(qián)文敏等[4]針對(duì)氣動(dòng)彈性系統(tǒng)中由于來(lái)流速度擾動(dòng)引起的不確定性，發(fā)展了一種新的不確定性建模方法，該方法從氣動(dòng)彈性建模的根源出發(fā)，運(yùn)用信號(hào)變換法則使系統(tǒng)的不確定維數(shù)得以降低，進(jìn)而設(shè)計(jì)出更為有效的顫振魯棒控制系統(tǒng)。

然而在主動(dòng)控制系統(tǒng)中不可避免地存在著時(shí)滯現(xiàn)象，控制回路中包含有作動(dòng)器、傳感器和控制器等電子元器件，這些電子元件的動(dòng)態(tài)特性會(huì)導(dǎo)致最終作用于結(jié)構(gòu)的控制力產(chǎn)生時(shí)滯。已有研究結(jié)果顯示，即使是小時(shí)滯量，也會(huì)導(dǎo)致在系統(tǒng)不需要能量時(shí)作動(dòng)器向系統(tǒng)輸入能量，從而有可能引起控制效率的下降或控制系統(tǒng)失穩(wěn)。對(duì)于機(jī)翼顫振主動(dòng)控制，目前已有一些學(xué)者開(kāi)始關(guān)注控制系統(tǒng)中的時(shí)滯問(wèn)題，例如，ZHAO[5]研究了在不可壓流場(chǎng)中時(shí)滯對(duì)主動(dòng)控制機(jī)翼顫振穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)在控制回路中，時(shí)滯對(duì)整個(gè)伺服氣彈系統(tǒng)有著重要的影響，同時(shí)證明了時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定的影響主要與系統(tǒng)的參數(shù)和反饋信號(hào)的類型有關(guān)；LIBRESCU等[6]運(yùn)用Pontryagin方法結(jié)合Stepan定理研究了非線性時(shí)滯對(duì)氣彈系統(tǒng)的影響，發(fā)現(xiàn)通過(guò)適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)，時(shí)滯控制比傳統(tǒng)的控制方法能夠更有效的抑制顫振；YUAN等[7]針對(duì)二維高超音速升力面設(shè)計(jì)了Pyragas型的時(shí)滯反饋控制器，分析了受控系統(tǒng)的非線性氣動(dòng)彈性行為；HUANG等[8]通過(guò)離散化狀態(tài)方程，將含輸入時(shí)滯的狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化為無(wú)時(shí)滯的狀態(tài)方程，并在此基礎(chǔ)上運(yùn)用LQG(Linear Quadratic Gaussian)控制方法和卡爾曼觀測(cè)器進(jìn)行計(jì)入時(shí)滯的機(jī)翼顫振控制。在此值得說(shuō)明的是，對(duì)于機(jī)翼顫振問(wèn)題，目前絕大多數(shù)的研究工作是集中在主動(dòng)抑制方法上，而關(guān)于其中時(shí)滯問(wèn)題的研究非常少。飛行器的飛行速度一般很高，在非常短的時(shí)間間隔里系統(tǒng)的狀態(tài)也會(huì)出現(xiàn)很大不同，因此非常小的時(shí)滯量也會(huì)對(duì)控制性能造成大的影響。可以說(shuō)，關(guān)于機(jī)翼顫振主動(dòng)控制中的時(shí)滯問(wèn)題還有許多問(wèn)題有待研究。

本文對(duì)機(jī)翼顫振的時(shí)滯反饋控制方法進(jìn)行研究，其中考慮了機(jī)翼剛度的立方非線性，控制律的設(shè)計(jì)采用瞬時(shí)最優(yōu)控制方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，最后通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)所給方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1　顫振模型建立

二元機(jī)翼的模型見(jiàn)圖1，機(jī)翼展長(zhǎng)為s，弦長(zhǎng)為c。機(jī)翼根部有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧分別提供沉浮h(向下為正)和俯仰θ(機(jī)翼前緣抬頭為正)兩個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)，它們的彈簧剛度分別為Kh和Kθ，這兩個(gè)自由度之間無(wú)剛度耦合。Q和P分別為氣動(dòng)中心和彈性軸，xf為機(jī)翼前緣到彈性軸的距離，氣動(dòng)中心和彈性軸的距離為ec，e為偏心率。操縱面還有一個(gè)偏轉(zhuǎn)自由度β(向下為正)，當(dāng)操縱面的鉸接剛度足夠大時(shí)，可以忽略操縱面慣性的影響，二元機(jī)翼退化成兩個(gè)自由度，操縱面僅作為一個(gè)激勵(lì)裝置，與機(jī)翼基本氣動(dòng)升力無(wú)關(guān)，且可以偏轉(zhuǎn)到任意期望的角度[9]。

圖1　帶操作面的二元機(jī)翼模型Fig.1　Two-dimensional airfoil model with control surface

機(jī)翼上任意一點(diǎn)在垂直方向的位移(向下為正)為：

z=h+(x-xf)θ

(1)

系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能以及耗散能分別為：

(2)

(3)

(4)

式中：m為機(jī)翼單位面積質(zhì)量，Ch和Cθ分別為沉浮和俯仰兩個(gè)自由度彈簧的阻尼。

采用片條理論得到機(jī)翼每個(gè)片條元上簡(jiǎn)化的氣動(dòng)升力和繞彈性軸氣動(dòng)力矩分別為[9-10]：

(5)

(6)

作用在翼面的氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩做的虛功為：

δW=∫[-dLδh+dMfaδθ]

(7)

因此，廣義力可表示為：

(8)

(9)

將系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能、耗散能及廣義力代入拉格朗日方程，可得二元機(jī)翼氣彈運(yùn)動(dòng)方程為：

(ρV2C+E)q(t)=0

(10)

式中：q(t)=[h(t),θ(t)]T為浮沉和俯仰自由度的廣義坐標(biāo)向量；A、B、C、D和E分別為機(jī)翼系統(tǒng)的慣性、氣動(dòng)阻尼、氣動(dòng)剛度、結(jié)構(gòu)阻尼和結(jié)構(gòu)剛度矩陣，表達(dá)如下：

操縱面偏轉(zhuǎn)角β改變會(huì)產(chǎn)生氣動(dòng)升力Lc和氣動(dòng)力矩Mc，操縱面的控制力為：

(11)

彈性機(jī)翼的大變形會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)立方非線性，也就是說(shuō)此時(shí)剛度非線性與立方硬彈簧特性具有類似的動(dòng)力學(xué)特性?？紤]俯仰剛度的立方非線性特征，即：

M(θ)=Kθθ+enlKθθ3

(12)

式中：enl為非線性剛度系數(shù)。將系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能、耗散能、考慮了俯仰剛度立方非線性以及操縱面的控制力代入拉格朗日方程中，可以得到：

f(t)=bβ

(13)

式(13)可化為：

(14)

式中：

2　瞬時(shí)最優(yōu)時(shí)滯反饋控制

式(14)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的非線性狀態(tài)方程，這里我們采用由YANG等[11]提出的瞬時(shí)最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)非線性控制律。對(duì)于時(shí)滯反饋控制律的設(shè)計(jì)方法，文獻(xiàn)[12]中有詳細(xì)地介紹。

在式(14)中考慮控制項(xiàng)的時(shí)滯，則系統(tǒng)的時(shí)滯狀態(tài)方程為：

(15)

式中：τ為時(shí)滯量。以下針對(duì)狀態(tài)方程式(15)設(shè)計(jì)時(shí)滯反饋控制律。

對(duì)式(15)進(jìn)行如下的積分變化[13]：

(16)

從而可以將式(15)轉(zhuǎn)化為如下不顯含時(shí)滯的非線性狀態(tài)方程形式：

(17)

瞬時(shí)最優(yōu)控制是一種基于四階Runge-Kutta算法的控制設(shè)計(jì)方法，它可以處理非線性系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)。對(duì)式(17)采用四階Runge-Kutta法，其解可以寫(xiě)成如下形式：

(18)

(19)

式中：A0、A1、A2及A3表達(dá)如下：

(20)

取如下性能指標(biāo)：

J(t)=HT(t)QH(t)+uT(t)Ru(t)

(21)

式中：Q為非負(fù)定對(duì)稱矩陣，R>0為任意正數(shù)。瞬時(shí)最優(yōu)控制設(shè)計(jì)是在式(18)的約束下設(shè)計(jì)控制律，使得每一步的性能指標(biāo)J取極小值。為此，定義如下Hamilton函數(shù)：

YH=HT(t)QH(t)+uT(t)Ru(t)+

(22)

式中：λ為L(zhǎng)agrange乘子列陣。通過(guò)：

(23)

可以得到瞬時(shí)最優(yōu)控制律為：

(24)

由式(24)可知，控制律u(t)是H(t)的函數(shù)，而由式(16)可知,H(t)包含有積分項(xiàng)，該積分項(xiàng)的詳細(xì)迭代計(jì)算格式可參考文獻(xiàn)[13]。

3　數(shù)值仿真

本文在此進(jìn)行數(shù)值仿真，驗(yàn)證所給方法的有效性。二元機(jī)翼結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1。首先采用V-g法[14]確定機(jī)翼的臨界顫振速度。圖2為風(fēng)速V和人工阻尼g之間的關(guān)系。V-g法中人工阻尼g的物理意義為：假如機(jī)翼的真實(shí)結(jié)構(gòu)阻尼正好等于這個(gè)g值，則在所設(shè)定的風(fēng)速V和空氣密度ρ的狀態(tài)下機(jī)翼做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。由圖2可知，當(dāng)速度達(dá)到V=509.08 m/s時(shí)，俯仰角對(duì)應(yīng)的g值穿過(guò)零點(diǎn)，由負(fù)值變?yōu)檎担蚀祟澱衽R界速度為V=509.08 m/s，機(jī)翼速度大于該值將發(fā)生顫振。

表1　二元機(jī)翼結(jié)構(gòu)參數(shù)

數(shù)值仿真中取風(fēng)速為600 m/s，該值大于臨界顫振速度。假定機(jī)翼有一個(gè)初始的沉浮位移h=0.5 m和初始俯仰角度θ=0.05°。為了顯示本文所給時(shí)滯處理方法的有效性，本文在此考慮大時(shí)滯量問(wèn)題，控制系統(tǒng)中的時(shí)滯量取值為τ=0.1 s?？刂圃O(shè)計(jì)時(shí)，取式(21)中控制增益為Q=I4×4和R=10。由于控制信號(hào)是操縱面的偏轉(zhuǎn)角度，本文中要求最大偏轉(zhuǎn)角為±5°。圖3為施加時(shí)滯反饋控制后機(jī)翼的沉浮位移、 俯仰角和操縱面偏轉(zhuǎn)角時(shí)程，不施加控制的結(jié)果也在圖中予以顯示。從圖3可知，當(dāng)對(duì)機(jī)翼不施加任何控制措施時(shí)，沉浮位移在氣動(dòng)阻尼的影響下會(huì)逐漸衰減；由于系統(tǒng)中存在立方非線性，當(dāng)風(fēng)速超過(guò)臨界顫振速度時(shí)，俯仰角響應(yīng)在原點(diǎn)附近出現(xiàn)穩(wěn)定的周期解，產(chǎn)生極限環(huán)顫振，這種情況容易使機(jī)翼產(chǎn)生疲勞斷裂。施加時(shí)滯反饋控制后，機(jī)翼的響應(yīng)能夠在很短的時(shí)間內(nèi)得到抑制。在此需要說(shuō)明：當(dāng)時(shí)滯量取小于0.1 s的任意值時(shí)，本文中的時(shí)滯處理方法都能夠有效地抑制機(jī)翼系統(tǒng)的顫振。

圖2　風(fēng)速與人工阻尼關(guān)系Fig.2　Relation of wind speed and artificial damping

圖3　控制仿真結(jié)果Fig. 3 Control simulation results

4　結(jié)　論

本文對(duì)二元機(jī)翼顫振的時(shí)滯反饋控制進(jìn)行了研究，給出了機(jī)翼顫振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，采用瞬時(shí)最優(yōu)控制方法進(jìn)行了時(shí)滯反饋控制律的設(shè)計(jì)，數(shù)值仿真中采用V-g法獲得了機(jī)翼的臨界顫振速度。仿真結(jié)果顯示出，本文所給出的時(shí)滯問(wèn)題處理方法能夠有效地處理控制系統(tǒng)中的時(shí)滯，時(shí)滯反饋控制律能夠有效地抑制機(jī)翼的顫振。

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Delayed feedback control for airfoil flutter

LUO Mengxiang, GAO Mingzhou, CAI Guoping

(School of Naval Architecture and Ocean Civil Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

The delayed feedback control for a two-dimensional airfoil flutter was investigated. The dynamic equation for airfoil flutter was established using the Lagrange equation, in which the cubic nonlinearity describing the wing pitching stiffness was taken in account. Then the instantaneous optimal control method was used to design a nonlinear delayed feedback controller. Finally, numerical simulations were carried out to demonstrate the effectiveness of the proposed controller. The simulation results indicate that the delayed feedback controller proposed can effectively suppress the airfoil flutter.

airfoil; flutter; instantaneous optimal control; time delay

國(guó)家自然科學(xué)基金(11132001;11272202;11472171);上海市教委科研重點(diǎn)項(xiàng)目(14ZZ021);上海市自然科學(xué)基金(14ZR1421000)

2015-04-17修改稿收到日期：2015-08-31

羅夢(mèng)翔 女，碩士生，1992年生

蔡國(guó)平 男，博士，教授，1956年生

V214.3

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.010