于鳳軍

(安陽師范學院 物理與電氣工程學院，河南 安陽　455000)

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二維光柵衍射圖樣的特性分析

于鳳軍

(安陽師范學院 物理與電氣工程學院，河南 安陽455000)

導出二維光柵衍射光斑的位置公式，討論其衍射圖樣的特性，并給出實驗演示效果. 提出一種通過衍射圖樣照片測量光柵常數(或波長)的方法.

二維光柵；衍射圖樣；特性；實驗演示；光柵常數

在一塊不透明的平板上鉆很多行、很多列的小圓孔，讓小孔排列成正方或長方點陣形式，構成一塊二維光柵. 市場上有一種激光玩具，它包含一個激光筆和二維光柵，用它可以演示二維光柵的衍射效果，如圖1. 對于這種衍射圖樣的特性，目前大部分教材[1-3]上定性的描述為二維點陣分布，本文推導二維光柵衍射光斑的位置公式，并定量分析其衍射圖樣的特性.

圖1

1　衍射光斑位置分布的計算

如圖2所示，用黑色小圓點表示小圓孔，取原點O在光柵平面的中心，x軸沿小孔點陣的列方向，y軸沿小孔點陣的行方向，z軸垂直于光柵平面，建立坐標系Oxyz.設在x和y方向，相鄰小孔中心的距離分別為a、b(以下稱a、b為光柵常數，).讓一束激光的中心通過原點、沿z軸正方向射向光柵，讓接收屏P與光柵平面平行地放在z=L處，并使L遠大于激光束的截面直徑或遠大于光柵表面的線度(圖1屬于這種情況).

圖2

我們采用夫瑯禾費衍射模型進行計算，理由是激光束非常接近平行光束，并且L遠大于光柵表面的線度，以致從光柵表面各點向屏P上同一點發(fā)出的衍射線方向幾乎是相同的，可以近似地把這些衍射線看作是平行的，按上述模型計算不會帶來多大的誤差.

圖1中使用的光的波長是0.532 μm，光柵常數為5.95 μm，使用的激光束的截面直徑約為1 mm，即激光光斑大小約為1 mm，它大約可以覆蓋168個光柵周期.假設激光光斑可以覆蓋到N0個小圓孔，則從每個被照射的小孔射出的光線都會按照夫瑯禾費衍射的規(guī)律沿不同的方向散開. 考慮從各個被照射小孔中心發(fā)出的、朝著同一方向射出的N0束光線，若它們相互之間的光程差都等于波長的整數倍，則光柵在該方向的出射光將達到衍射主極大. 假設光柵的出射光沿著它與x軸夾角是α、與y軸夾角是β的方向已經達到衍射主極大，則由圖2可以看出，這時從x軸上(或y軸上)任二個相鄰小孔中心射出的光線光程差都等于波長的整數倍，即

(1)

設滿足式(1)的出射光束與z軸的夾角為γ，則該光束的中心光線所對應的直線方程為

(2)其中t為參數. 令上式中z=L(即屏P的平面方程)， 則由幾何條件cos2α+cos2β+cos2γ=1和式(1)、式(2)，得到該直線與屏幕的交點——衍射光斑中心的位置坐標

(m1，m2=0，±1，±2，…)

(3)

式(3)表明，x、y都與距離L成正比，所以改變L僅使衍射圖樣的整體放大或縮小，而波長與光柵常數的比值λ/a和λ/b將決定衍射斑點分布的幾何形態(tài). 當a、b、λ、L給定后，將m1、m2的具體數值代入式(3)可以計算屏P上各光斑的中心位置.

另外，從光柵公式[1-3]dsinθ=nλ出發(fā)也可以導出式(3). 其思路是把二維光柵中各個小孔看作由很多不同方向的平行線構成，圖3中標出了其中4組，將每一組平行線等價地看作一個一維“光柵”(各“光柵”的d不相同). 先計算每個“光柵”的衍射光斑位置，然后把各個“光柵”的衍射光斑進行匯總.

圖3

2　關于衍射圖樣特性的討論

這里以圖1中使用的激光和光柵數據為例進行衍射圖樣的計算，即令λ=0.532 μm，a=b=5.95 μm， 取L=1 m，用Mathematica軟件計算式(3)，可得到各光斑的中心坐標，再用ListPlot命令作圖(見圖4). 下面作3點討論.

圖4

1) 關于衍射圖樣的形狀. 由圖4可以看出，二維光柵的衍射斑點呈現出對稱的、二維點陣分布形式，且在中心附近區(qū)域近似為方陣分布，在偏離中心較遠的區(qū)域，呈現“枕形”分布 (類似于透鏡成像的枕形失真). 換個角度講，設想把衍射圖中的某行(或某列)斑點連接成光滑曲線，可以發(fā)現：在中心附近區(qū)域，它們幾乎是直線；在偏離中心較遠的區(qū)域，它們似乎是雙曲線. 下面解釋這一現象.

設m1、m2都比較小(即在中心附近區(qū)域)，以致條件m1λ/a<<1，m2λ/b<<1得到滿足，略去式(3)中關于它們的二次項，得

(4)

上式中x和y與m1、m2分別成正比(或呈線性變化)，導致在行(或列)方向相鄰點的間隔相等 (分別是Lλ/a、Lλ/b)，故在這種情況下，亮點分布近似呈現方陣形式. 還可以看出，當λ/a和λ/b較小時，滿足上述條件的m1、m2的個數就較多，方陣中的亮點個數較多.

當m1、m2都比較大(即在偏離中心較遠的區(qū)域)，條件m1λ/a<<1，m2λ/b<<1不滿足時，式(3)中x和y與m1、m2分別呈非線性變化關系，所以點陣分布不再呈現方陣形式. 將式(3) 中m2消去，可得方程

(5)

(6)

2) 關于衍射斑的數量. 每個衍射斑點與能使式(3)分母有意義的一對整數(m1、m2)對應，即

(7)

在m1、m2組成的直角坐標系中，每一對整數(m1、m2)對應一個點 (見圖5)，滿足式(7)的點都在半長軸為a/λ、半短軸為b/λ的橢圓內. 顯然a/λ和b/λ越大，衍射斑數量越多，衍射斑點與該橢圓內的點存在映射關系， 理論上圖4中的斑點的數量等于該橢圓內的點數.

圖5

然而，實際看到的衍射光斑(見圖1)的數量比圖4中的斑點少許多.解釋如下：圖4是僅按照孔間干涉計算的，沒有考慮孔間干涉的強度分布會受到圓孔夫瑯禾費衍射因子的調制(類似于多縫夫瑯禾費衍射時，縫間干涉條紋的分布要受到單縫衍射因子的調制[1，2])問題. 但實際上存在調制作用，位于圓孔衍射的愛里斑內的光斑才是清晰可見的，所以實際看到的衍射光斑的數量比圖4中的少許多. 例如，在圖6照片中，圓形光暈部分就是圓孔衍射的愛里斑，諸多小亮點確實位于其中，愛里斑之外很難發(fā)現有小亮點. 順便補充說明，在同等條件下，如果圓孔半徑r比較大，則愛里斑比較小，人們僅能看見中心附近區(qū)域的亮點，亮點分布呈現方陣形式.

3) 關于計算圖樣與實際圖樣的對比問題. 用手機或數碼相機把實際圖樣拍成照片(例如，圖6)，然后拷貝到電腦. 使用windows系統(tǒng)自帶的畫圖軟件，把圖4的圖樣與照片進行重合度對比，發(fā)現經過適當縮放后二者基本重合. 作二點補充說明：① 為了減少照片的失真，必須讓零級衍射光束盡可能與屏幕垂直，并且盡可能地讓照相機鏡頭的光軸垂直于屏幕，對準零級衍射斑. 只有這樣，重合程度才能較高. ② 因個別衍射斑點距原點太遠，圖4 中未標出；圖6中的光斑數目比圖4中的斑點數目少許多，在進行重合度比較時僅考慮圖4中的斑點與圖6中對應的光斑是否重合.

圖6

3　光柵常數(或波長)的測量

顯而易見的測量方案是通過測量衍射角并利用式(1)來確定光柵的常數或者波長(注：已知某一個確定另一個)，其中衍射角是通過衍射主極大的位置和光柵與屏P的距離測定的. 另一種方案是通過衍射圖樣的照片. 照片與實際衍射圖相比只改變大小、而不改變光斑分布的幾何形態(tài)，而幾何形態(tài)由比值λ/a和λ/b決定，所以通過照片應該能夠測量該比值，進而確定光柵常數(或波長).

(8)

從上邊方程中解出λ/a

(9)

(10)由于式(10)右邊的分母正比于xm、xk的平方差，所以η對于m和k的差比較敏感：當m和k二者相差較大時，分母較大而η較??；當二者相差不大、但都較大時，由于非線性特性，分母同樣較大而η較??；當二者都較小時，分母較小而η較大. 這些結論可以用上邊給出的xm數據代入式(10)進行驗證. 至于m和k應該大于何值更好，從式(10)出發(fā)難以定量估計.

還有一種更基本的處理方法. 上邊的8個xm共有28種組合，λ/a共有28個計算值，采用肖維涅準則逐步刪除其中的所有異常數據，最后將剩下的非異常數據求平均值，所得結果與前面的結果在誤差范圍內是一致的.

小結：以上推導出二維光柵衍射光斑的位置公式，分析了其衍射圖樣的特性，同時給出了一種利用衍射圖樣照片測量光柵常數(或波長)的方案. 指出：在較大的范圍內衍射圖樣呈現雙曲形亮點陣列分布；當m1λ/a<<1，m2λ/b<<1時，衍射圖樣近似呈現方陣分布.

[1]趙凱華. 新概念物理教程：光學[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]姚啟均. 光學教程[M].北京：高等教育出版社，1981.

[3]母國光. 光學[M].北京：人民教育出版社，1978.

The characteristic analysis of the diffraction pattern of two-dimensional grating

YU Feng-jun

(College of Physics and Electrical Engineering， Anyang Normal University， Anyang， Henan 455000， China)

The position formula for the diffractive light-spot of two-dimensional grating is derived. The property of diffraction pattern is discussed and its experimental demonstration is given. A new method of measurement of grating constant is presented.

two-dimensional grating；diffraction pattern; property; experimental demonstration；grating constant

2015-05-07；

2016-01-12

國家自然科學基金資助項目(11475004)

于鳳軍(1959—)，男，河南安陽人，安陽師范學院物理與電氣工程學院教授，主要從事理論物理、天體力學研究和教學工作.

O 436.1

A

1000- 0712(2016)08- 0032- 04