大學(xué)生園地　

張志剛，張　希，張麗苗，陳　菁

(北京林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，北京　100083)

?

大學(xué)生園地

水波波速與其表面張力關(guān)系的實(shí)驗(yàn)研究

張志剛，張希，張麗苗，陳菁

(北京林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，北京100083)

根據(jù)水波波速與其表面張力的理論關(guān)系，自行設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)于不同溫度下測(cè)量多組數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，并分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果.實(shí)驗(yàn)中自制U型管測(cè)量液體表面張力，并通過錄制視頻的方式來記錄水波傳播過程，且創(chuàng)新地將正在計(jì)時(shí)的秒表一同錄入視頻中，提高了測(cè)量精度.在電腦上單幀播放視頻，在每幀畫面中讀出水波波峰的位置以及當(dāng)前時(shí)刻，用波峰前進(jìn)距離除以時(shí)間得到波速.該實(shí)驗(yàn)改良了傳統(tǒng)測(cè)量方法，思路清晰，設(shè)計(jì)新穎，具有操作簡單，測(cè)量精度高的優(yōu)點(diǎn).

U型管；表面張力；錄制視頻；水波波速測(cè)量

水波是生活中常見的一種物理現(xiàn)象，其性質(zhì)的研究更是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中重要的組成部分.通過研究水波的性質(zhì)，可以比較容易地觀測(cè)和研究干涉、衍射等波動(dòng)特性.但在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)操作中，由于水波的傳播速度不易測(cè)量、水波中質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)情況較為復(fù)雜，使目前對(duì)水波波速的研究相對(duì)較少，在大學(xué)物理教學(xué)中也淺嘗輒止.眾所周知，水波的傳播速度與介質(zhì)的特性有著密切的關(guān)系.對(duì)于水的表面波，主要由水的重力和表面張力為其提供回復(fù)力[1].當(dāng)波長較小時(shí)，回復(fù)力中表面張力起主要作用[2].所以水波的傳播速度與其表面張力息息相關(guān)，研究兩者的關(guān)系可以使對(duì)水波的性質(zhì)有進(jìn)一步的了解.目前大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中主要采用拉脫法測(cè)量液體表面張力，該方法測(cè)量原理簡單，測(cè)量裝置容易獲得.但測(cè)量過程中須保證玻璃管刻線、平面鏡刻線以及玻璃管刻線在平面鏡中的像線“三線合一”，同時(shí)要求在讀取水膜破裂瞬間的刻度值[3]，導(dǎo)致初試者難以把握操作要領(lǐng)，人為引入較大誤差.對(duì)于水波的傳播速度，之前有人在實(shí)驗(yàn)中利用硅光電池和激光器，通過測(cè)量激光在水中折射后光強(qiáng)的變化測(cè)量水波波速[4].但實(shí)驗(yàn)步驟較為復(fù)雜，且易受到周圍環(huán)境中光源和振動(dòng)的干擾.

針對(duì)以上問題，本文通過改進(jìn)實(shí)驗(yàn)參量的測(cè)量方法來提高測(cè)量精度.對(duì)于水的表面張力，利用自制的U型管測(cè)量表面張力系數(shù)，測(cè)量過程簡單快捷，避免了拉脫法等傳統(tǒng)方法中對(duì)拉脫瞬間的判斷和實(shí)驗(yàn)手法不夠嫻熟帶來的偶然誤差.對(duì)于水波波速，首先將水波波紋投影在紙張上，然后將投影與正在計(jì)時(shí)的秒表一同錄制成視頻，之后在電腦中單幀播放，得到波峰位置及對(duì)應(yīng)時(shí)刻，從而用波峰前進(jìn)距離和時(shí)間來計(jì)算波速.最后改變水溫，測(cè)量不同溫度下的表面張力系數(shù)和波速，得到多組數(shù)據(jù)，誤差范圍符合大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)要求，最終較好地驗(yàn)證了水波波速和表面張力系數(shù)的關(guān)系.

1　實(shí)驗(yàn)原理與方法

1.1水波波速與其表面張力的關(guān)系

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，水波實(shí)驗(yàn)所研究的多為表面波.當(dāng)波動(dòng)主要存在于液體表面時(shí)，產(chǎn)生的水波稱為表面波[5].當(dāng)理想流體的表面受到微擾動(dòng)，如滴入一滴水時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生液體表面波.此時(shí)波動(dòng)的回復(fù)力主要由重力和表面張力提供[6].當(dāng)波長大于10 mm時(shí)，重力起主要作用；當(dāng)波長小于10 mm時(shí)，表面張力起主要作用.根據(jù)流體力學(xué)中的知識(shí)，可以得到

(1)

式(1)中，h是液體深度，ρ是液體密度，g是重力加速度，k=2π/λ是波矢，α是液體表面張力系數(shù)，th是雙曲正切函數(shù).對(duì)于水的表面波，波長很小，所以kh<<1，故th(kh)趨近于1，此時(shí)表面波波速v即可寫成

(2)此式反映了波長較小時(shí)水波的表面波波速與其表面張力系數(shù)的關(guān)系[6].又因?yàn)楸砻鎻埩ο禂?shù)與溫度有密切關(guān)系，通過測(cè)量不同溫度下的波速v、波長λ和表面張力系數(shù)α，便可以通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該公式的正確性.

1.2利用U型管測(cè)量液體表面張力系數(shù)

不等徑U型玻璃管原理圖如圖1所示，其兩端為頂端開口的豎直管，內(nèi)徑分別為D1、D2.U型管中裝有待測(cè)液體，當(dāng)液體靜止時(shí)，會(huì)在兩端豎直管內(nèi)形成凹液面.由于玻璃管內(nèi)徑較小，可以將豎直管內(nèi)的凹液面可近似地看成直徑為D1、D2的半球面[7].

圖1　U型管測(cè)量表面張力系數(shù)

對(duì)于彎曲液面，由拉普拉斯公式可得

(3)

(4)

式中，p0為大氣壓強(qiáng)，pa、pb分別為凹液面下A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的壓強(qiáng)，α為液體的表面張力系數(shù)，θ為待測(cè)液體與豎直玻璃管的接觸角.實(shí)驗(yàn)中認(rèn)為所用的玻璃管和純凈水足夠潔凈，則接觸角θ近似為零，所以式(3)、式(4)可寫成

(5)

(6)

又根據(jù)流體靜力學(xué)的知識(shí)可得

pc=pb+ρgh

(7)

式中，ρ為液體的密度，g為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?，h為液體靜止時(shí)兩端豎直管內(nèi)液面的高度差，pc為液面下C點(diǎn)處的壓強(qiáng).此外，在流體靜力學(xué)中，當(dāng)液體靜止時(shí)U型管內(nèi)液面下A點(diǎn)與同水平面的C點(diǎn)壓強(qiáng)相同，即Pa=Pc.所以綜合以上各式可得

(8)

根據(jù)式(8)，只需測(cè)量兩豎直管的直徑D1、D2以及管中凹液面的高低差h，便可以計(jì)算出待測(cè)液體的表面張力系數(shù)[7].

為降低實(shí)驗(yàn)成本，使實(shí)驗(yàn)便于推廣，實(shí)驗(yàn)中利用橡膠軟管和兩根內(nèi)徑不同的玻璃管自行制作U型管.首先取兩根內(nèi)徑不等的長約20 cm的直玻璃管，一根長20 cm的橡膠軟管.用讀數(shù)顯微鏡分別測(cè)量玻璃管的內(nèi)徑，記為D1、D2.然后用蒸餾水將玻璃管和橡膠管洗凈，然后用橡膠管將兩根玻璃管連接起來，組成不等徑U型管.實(shí)物圖如圖2所示.

圖2　U型管實(shí)物圖

1.3錄制波紋光投影視頻測(cè)量水波波長和波速

當(dāng)水滴滴入水中時(shí)，會(huì)在水面產(chǎn)生一組水波，水波以同心圓的形狀傳播出去，由于振動(dòng)振幅較小，此時(shí)的水波可以認(rèn)為是水的表面波.對(duì)于這種非連續(xù)的波，可以通過測(cè)量波峰前進(jìn)距離和所經(jīng)歷的時(shí)間來計(jì)算波速，同時(shí)通過測(cè)量同一組水波相鄰波峰間的距離可以得到波長.

由于水波傳播速度較快，難以直接觀測(cè)水波的傳播情況和波峰位置.實(shí)驗(yàn)中通過錄制視頻的方式來觀測(cè)水波傳播的過程.首先將透明水槽放置在固定高度的底座上，在水槽下方放置光源.水波波動(dòng)時(shí)表面的起伏會(huì)像凸透鏡、凹透鏡一樣將光線會(huì)聚或發(fā)散[8](圖3)，此時(shí)在水面上方放置整潔的紙張作為屏幕承接光線，便可以看到明暗相間的區(qū)域，分別對(duì)應(yīng)水波的波谷和波峰.同時(shí)，若將透明的刻度尺放入水中，則可以將刻度尺一同投影到屏幕上，從而測(cè)量出水波的位置數(shù)據(jù).然后，將攝像設(shè)備(手機(jī)及手機(jī)支架)放置在屏幕上方拍攝屏幕上水波的光投影(圖4)，記錄水波傳播的過程.最后，使用電腦單幀播放錄制的視頻，從而放慢水波傳播的過程以便于準(zhǔn)確測(cè)量波峰位置.此外，由于水滴滴落時(shí)形成的是形如同心圓的一組水波，便可以在單幀畫面中測(cè)量多個(gè)相鄰波峰的位置得到波長.

在時(shí)間測(cè)量方面，考慮到視頻本身所標(biāo)定時(shí)間的可靠性難以保證，為提高時(shí)間測(cè)量精度，實(shí)驗(yàn)中將正在計(jì)時(shí)的秒表一同錄入視頻中.這樣在電腦上單幀播放視頻時(shí)，由于將秒表一同錄入視頻，每幀畫面中讀取波峰位置的同時(shí)還可以讀出當(dāng)前時(shí)刻，從而得到準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)的波峰位置和時(shí)刻.然后從多幀畫面中分別讀取波峰位置和對(duì)應(yīng)時(shí)刻，計(jì)算出波峰前進(jìn)距離和對(duì)應(yīng)時(shí)間間隔，進(jìn)而用波峰前進(jìn)的距離除以時(shí)間得到波速.

圖3　水波對(duì)光線的匯聚與發(fā)散

圖4　產(chǎn)生波紋投影的水槽(左)和錄制視頻的手機(jī)(右)

2　實(shí)驗(yàn)裝置與測(cè)量

2.1測(cè)量不等徑U型管內(nèi)徑

在組裝不等徑U型管之前，用讀數(shù)顯微鏡分別測(cè)量兩支玻璃管的內(nèi)徑，取5次測(cè)量的平均值，記為D1、D2.測(cè)量數(shù)據(jù)列于表1.

表1　U型管內(nèi)徑測(cè)量值　單位：mm

2.2測(cè)量液體溫度及當(dāng)前液位差h

實(shí)驗(yàn)需要測(cè)量不同溫度下的表面張力系數(shù)與對(duì)應(yīng)的水波波速.考慮到將水槽和U型管放到同一水浴中難以實(shí)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)中分別測(cè)量兩者在同一預(yù)定溫度下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).首先向U型管中注入一定量的蒸餾水，將裝有蒸餾水的U型管輕輕放入熱水中水浴加熱，使其整體上升到60 ℃以上.然后將U型管取出，使其溫度慢慢下降，當(dāng)溫度下降到預(yù)定的測(cè)量溫度時(shí)用讀數(shù)顯微鏡迅速測(cè)量兩管液位的高度差，記為h.液體溫度及當(dāng)前液位差h的數(shù)據(jù)列于表2.

表2　液位差h的測(cè)量數(shù)據(jù)　單位：mm

2.3計(jì)算表面張力系數(shù)

將不等徑U型管內(nèi)徑以及液位差的測(cè)量數(shù)據(jù)代入式(8)中，計(jì)算得到對(duì)應(yīng)溫度下的表面張力系數(shù)的測(cè)量值.查閱已有文獻(xiàn)[9]，可以得到不同溫度下純凈水表面張力系數(shù)的公認(rèn)值以及數(shù)據(jù)擬合出的公式α=75.45067-0.13326t-5.26468×10-4t2.實(shí)驗(yàn)測(cè)量值與公認(rèn)值對(duì)比列于表3.

表3　不同溫度下的表面張力系數(shù)　單位：×10-2N/m

2.4產(chǎn)生水波并錄制視頻

產(chǎn)生水波的裝置由水槽、輸液器、光源(手機(jī)閃光燈)、屏幕(紙張)、攝像機(jī)(手機(jī))以及支架組成.

首先將水槽水平放置在底座上，將屏幕放置在水槽上方，將光源放在水槽下方，調(diào)整光源與水槽底部的距離，使屏幕上可以看到清晰的投影.然后將輸液器固定在支架上，調(diào)節(jié)輸液器閥門使水滴可以勻速滴入水槽.之后，將刻度尺放在水槽底部，使其一端位于水滴落點(diǎn)處，亦即水波波紋的圓心處，這樣保證刻度尺與水波波紋前進(jìn)方向平行.向水槽中注入60℃度以上的純凈水，待水面平靜后打開輸液器閥門使水滴勻速滴入水槽產(chǎn)生水波.最后，錄制水波波紋傳播過程的光投影視頻.使水槽中的水自然冷卻，不斷測(cè)量水溫，當(dāng)水溫冷卻到預(yù)定溫度時(shí)開始錄制視頻，這里的預(yù)定溫度須與測(cè)量U型管液面高度差時(shí)選擇的測(cè)量溫度相同.同時(shí)，將正在計(jì)時(shí)的秒表一同錄入視頻.此時(shí)由于水仍在冷卻，所以應(yīng)迅速測(cè)量，當(dāng)水溫改變量達(dá)到1℃時(shí)立即停止測(cè)量，等待水溫降低到下一預(yù)定測(cè)量溫度時(shí)再次開始測(cè)量.

2.5單幀播放視頻計(jì)算波速和波長數(shù)據(jù)

在電腦中單幀播放所拍攝的視頻，從視頻中挑選投影清晰，易于讀數(shù)的部分讀出水波波紋的位置和時(shí)刻，如圖5、圖6所示，從而計(jì)算出水波的波長和波速.所得數(shù)據(jù)列于表4.

圖5　視頻截圖

圖6　視頻截圖

表4　不同溫度下波長和波速測(cè)量數(shù)據(jù) 單位：mm

3　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

將之前得到的多組表面張力系數(shù)和波長數(shù)據(jù)代入式(1)中計(jì)算理論波速，再與實(shí)驗(yàn)中的實(shí)測(cè)波速作比較，便可以通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證水波波速與其表面張力關(guān)系公式的的正確性.在不同溫度下，實(shí)際測(cè)得的波速、由原理公式計(jì)算出的理論波速以及兩者的相對(duì)誤差數(shù)據(jù)列于表5.

表5　不同溫度下波速對(duì)比　單位：mm

從表中可以發(fā)現(xiàn)通過公式計(jì)算得出的理論速度與實(shí)際測(cè)量得到的水波波速十分接近，相對(duì)誤差均在2%以內(nèi)，所以在允許的誤差范圍內(nèi)驗(yàn)證了波速與液體表面張力系數(shù)公式的正確性.通過實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，水的表面波波速與其表面張力具有正相關(guān)關(guān)系，而液體的表面張力隨著溫度的升高逐漸減小，所以實(shí)驗(yàn)中隨著溫度的升高實(shí)測(cè)波速與理論波速均呈減小的趨勢(shì).利用計(jì)算機(jī)繪制出表面張力系數(shù)以及波速隨溫度變化的圖像可以直觀地看到這種趨勢(shì)

圖7　水波波速與表面張力系數(shù)

實(shí)驗(yàn)中利用U型管測(cè)量液體表面張力系數(shù)，操作方便，原理簡潔，且將所得數(shù)據(jù)與已有文獻(xiàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，其誤差在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)允許范圍內(nèi)[9-11]，說明利用U型管測(cè)量液體表面張力系數(shù)具有較好的可操作性和較高的精度.

值得一提的是，為了提高測(cè)量水波波長和波速的精度，實(shí)驗(yàn)中采用了錄制視頻而后單幀播放的方法，放慢了水波傳播的過程，便于觀察和測(cè)量，有效減小了實(shí)驗(yàn)中因水波傳播較快而導(dǎo)致的測(cè)量誤差.此外，為了提高時(shí)間測(cè)量的準(zhǔn)確度，實(shí)驗(yàn)中創(chuàng)新地將正在計(jì)時(shí)的秒表一同錄入視頻.從而可以將水波波峰的位置和對(duì)應(yīng)的時(shí)刻一同讀出，使得波峰位置和時(shí)刻有了準(zhǔn)確的對(duì)應(yīng)關(guān)系，彌補(bǔ)了因視頻自身時(shí)間精度不夠而導(dǎo)致的誤差.

4　結(jié)束語

本文由水波波速與其表面張力的理論公式出發(fā)，通過測(cè)量不同溫度下水波波速與對(duì)應(yīng)表面張力系數(shù)進(jìn)而驗(yàn)證兩者關(guān)系，實(shí)驗(yàn)思路清晰，方法新穎，操作簡單，易于實(shí)現(xiàn).一方面，以錄制視頻的方法記錄水波傳播過程，又通過單幀播放的方式放慢該過程，提高了位置測(cè)量的精度；另一方面，將秒表一同錄入視頻的做法，亦有效提高了時(shí)間測(cè)量的精度.這兩方面精度的提高使實(shí)驗(yàn)在誤差允許范圍內(nèi)驗(yàn)證了水波波速與液體表面張力系數(shù)公式的正確性.這些方法使用靈活，不局限水波的測(cè)量，更可以為其他實(shí)驗(yàn)中提高測(cè)量精度提供新的思路.

此外，諸多儀器均取材生活中常見物品或自制而成，通過合理組合和使用，所得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果保證了正確性的同時(shí)亦具有較高的精度.揭示出有些物理實(shí)驗(yàn)不必局限于專業(yè)儀器或是實(shí)驗(yàn)場(chǎng)所，對(duì)于所發(fā)現(xiàn)的問題，要敢想敢做，善于利用生活中已有的資源設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)解決問題，這樣才可以使更多的人有機(jī)會(huì)通過實(shí)驗(yàn)探究問題，也反映了問題源于生活而解決于生活的物理精神.

[1]劉葵林， 安宏彬， 廖紅. 水波中質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)分析[J]. 湖南中學(xué)物理， 2013 (8)：45-46.

[2]倪宏程， 林錦達(dá)， 王思慧，等. 光衍射法研究水表面波的性質(zhì)[J]. 大學(xué)物理， 2007， 26(10):60-63.

[3]艾志偉， 吳昊， 劉傳勝. 剖析用拉脫法測(cè)量液體表面張力系數(shù)實(shí)驗(yàn)誤差的原因[J]. 科教文匯旬刊， 2014(8):100-100.

[4]童培雄， 趙在忠. 測(cè)量水的振動(dòng)頻率與水波傳播速度[J]. 物理實(shí)驗(yàn)， 2005， 25(5):6-9.

[5]郭瑞. 表面張力測(cè)量方法綜述[J]. 計(jì)量與測(cè)試技術(shù)， 2009， 36(4)：62-64.

[6]趙群. 液體表面張力系數(shù)測(cè)量方法比較研究[J]. 安徽科技學(xué)院學(xué)報(bào)， 2010， 24(2):44-47.

[7]劉竹琴， 蘇芳珍， 楊能勛. 用U型管法測(cè)定液體的表面張力系數(shù)[J]. 延安大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2007， 26(2):39-41.

[8]孫亮， 宋建勇， 陳定方. 基于特定數(shù)學(xué)模型的水波模擬研究[J]. 湖北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)， 2005， 20(3):68-70.

[9]吳義彬. 定量計(jì)算水表面張力系數(shù)及其溫度變化率[J]. 物理， 2015 (1)：103-106.

[10]婁昊楠， 丁力， 趙在忠，等. 水波聚焦的研究[J]. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)， 2005， 18(2):1-3.

[11]呂雄， 王昆林， 劉勇，等. 液體表面張力系數(shù)的實(shí)驗(yàn)研究[J]. 物理， 2015 (2)：55-57.

Experimental research on the relationship between wave velocity and surface tension

ZHANG Zhi-gang， ZHANG Xi， ZHANG Li-miao， CHEN Jing

(College of Science， Beijing Forestry University， Beijing 100083， China)

According to the theoretical relationship between wave velocity and surface tension， we design the experiment in a range of temperature and analyze the experimental results. The U-tubes we applied in the experiment are self-made ones. We measure the surface tension of the liquid and video the process of the liquid transition. The specialty of this process is the footage of the clock， which we also video during the experiment. If one displays our video on computer by each frame， one will see the peak of the wave and the exact time simultaneously. If one divides the distance of the peak movement with time， one can get the speed of the waves. An involved method is compared with the traditional ones in this experiment， the new method makes the experiment easier in process and precise in measurement.

U-shaped tube; surface tension; video recording; wave velocity measurement

2015-07-07；

2015-11-16

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(北京林業(yè)大學(xué)科技創(chuàng)新項(xiàng)目TD2014-04)資助

張志剛(1992—)，男，河北張家口人，北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院2012級(jí)本科生.

陳菁，E-mail:chenjingjing369@sina.com

O 4-34

A

1000- 0712(2016)06- 0054- 05