大學(xué)生園地　

張志剛，張　希，張麗苗，陳　菁

(北京林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，北京　100083)

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大學(xué)生園地

水波波速與其表面張力關(guān)系的實驗研究

張志剛，張希，張麗苗，陳菁

(北京林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，北京100083)

根據(jù)水波波速與其表面張力的理論關(guān)系，自行設(shè)計實驗于不同溫度下測量多組數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證，并分析實驗結(jié)果.實驗中自制U型管測量液體表面張力，并通過錄制視頻的方式來記錄水波傳播過程，且創(chuàng)新地將正在計時的秒表一同錄入視頻中，提高了測量精度.在電腦上單幀播放視頻，在每幀畫面中讀出水波波峰的位置以及當(dāng)前時刻，用波峰前進(jìn)距離除以時間得到波速.該實驗改良了傳統(tǒng)測量方法，思路清晰，設(shè)計新穎，具有操作簡單，測量精度高的優(yōu)點.

U型管；表面張力；錄制視頻；水波波速測量

水波是生活中常見的一種物理現(xiàn)象，其性質(zhì)的研究更是大學(xué)物理實驗中重要的組成部分.通過研究水波的性質(zhì)，可以比較容易地觀測和研究干涉、衍射等波動特性.但在實際的實驗操作中，由于水波的傳播速度不易測量、水波中質(zhì)元的運動情況較為復(fù)雜，使目前對水波波速的研究相對較少，在大學(xué)物理教學(xué)中也淺嘗輒止.眾所周知，水波的傳播速度與介質(zhì)的特性有著密切的關(guān)系.對于水的表面波，主要由水的重力和表面張力為其提供回復(fù)力[1].當(dāng)波長較小時，回復(fù)力中表面張力起主要作用[2].所以水波的傳播速度與其表面張力息息相關(guān)，研究兩者的關(guān)系可以使對水波的性質(zhì)有進(jìn)一步的了解.目前大學(xué)物理實驗中主要采用拉脫法測量液體表面張力，該方法測量原理簡單，測量裝置容易獲得.但測量過程中須保證玻璃管刻線、平面鏡刻線以及玻璃管刻線在平面鏡中的像線“三線合一”，同時要求在讀取水膜破裂瞬間的刻度值[3]，導(dǎo)致初試者難以把握操作要領(lǐng)，人為引入較大誤差.對于水波的傳播速度，之前有人在實驗中利用硅光電池和激光器，通過測量激光在水中折射后光強的變化測量水波波速[4].但實驗步驟較為復(fù)雜，且易受到周圍環(huán)境中光源和振動的干擾.

針對以上問題，本文通過改進(jìn)實驗參量的測量方法來提高測量精度.對于水的表面張力，利用自制的U型管測量表面張力系數(shù)，測量過程簡單快捷，避免了拉脫法等傳統(tǒng)方法中對拉脫瞬間的判斷和實驗手法不夠嫻熟帶來的偶然誤差.對于水波波速，首先將水波波紋投影在紙張上，然后將投影與正在計時的秒表一同錄制成視頻，之后在電腦中單幀播放，得到波峰位置及對應(yīng)時刻，從而用波峰前進(jìn)距離和時間來計算波速.最后改變水溫，測量不同溫度下的表面張力系數(shù)和波速，得到多組數(shù)據(jù)，誤差范圍符合大學(xué)物理實驗要求，最終較好地驗證了水波波速和表面張力系數(shù)的關(guān)系.

1　實驗原理與方法

1.1水波波速與其表面張力的關(guān)系

大學(xué)物理實驗中，水波實驗所研究的多為表面波.當(dāng)波動主要存在于液體表面時，產(chǎn)生的水波稱為表面波[5].當(dāng)理想流體的表面受到微擾動，如滴入一滴水時，就會產(chǎn)生液體表面波.此時波動的回復(fù)力主要由重力和表面張力提供[6].當(dāng)波長大于10 mm時，重力起主要作用；當(dāng)波長小于10 mm時，表面張力起主要作用.根據(jù)流體力學(xué)中的知識，可以得到

(1)

式(1)中，h是液體深度，ρ是液體密度，g是重力加速度，k=2π/λ是波矢，α是液體表面張力系數(shù)，th是雙曲正切函數(shù).對于水的表面波，波長很小，所以kh<<1，故th(kh)趨近于1，此時表面波波速v即可寫成

(2)此式反映了波長較小時水波的表面波波速與其表面張力系數(shù)的關(guān)系[6].又因為表面張力系數(shù)與溫度有密切關(guān)系，通過測量不同溫度下的波速v、波長λ和表面張力系數(shù)α，便可以通過實驗驗證該公式的正確性.

1.2利用U型管測量液體表面張力系數(shù)

不等徑U型玻璃管原理圖如圖1所示，其兩端為頂端開口的豎直管，內(nèi)徑分別為D1、D2.U型管中裝有待測液體，當(dāng)液體靜止時，會在兩端豎直管內(nèi)形成凹液面.由于玻璃管內(nèi)徑較小，可以將豎直管內(nèi)的凹液面可近似地看成直徑為D1、D2的半球面[7].

圖1　U型管測量表面張力系數(shù)

對于彎曲液面，由拉普拉斯公式可得

(3)

(4)

式中，p0為大氣壓強，pa、pb分別為凹液面下A、B兩點對應(yīng)的壓強，α為液體的表面張力系數(shù)，θ為待測液體與豎直玻璃管的接觸角.實驗中認(rèn)為所用的玻璃管和純凈水足夠潔凈，則接觸角θ近似為零，所以式(3)、式(4)可寫成

(5)

(6)

又根據(jù)流體靜力學(xué)的知識可得

pc=pb+ρgh

(7)

式中，ρ為液體的密度，g為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?，h為液體靜止時兩端豎直管內(nèi)液面的高度差，pc為液面下C點處的壓強.此外，在流體靜力學(xué)中，當(dāng)液體靜止時U型管內(nèi)液面下A點與同水平面的C點壓強相同，即Pa=Pc.所以綜合以上各式可得

(8)

根據(jù)式(8)，只需測量兩豎直管的直徑D1、D2以及管中凹液面的高低差h，便可以計算出待測液體的表面張力系數(shù)[7].

為降低實驗成本，使實驗便于推廣，實驗中利用橡膠軟管和兩根內(nèi)徑不同的玻璃管自行制作U型管.首先取兩根內(nèi)徑不等的長約20 cm的直玻璃管，一根長20 cm的橡膠軟管.用讀數(shù)顯微鏡分別測量玻璃管的內(nèi)徑，記為D1、D2.然后用蒸餾水將玻璃管和橡膠管洗凈，然后用橡膠管將兩根玻璃管連接起來，組成不等徑U型管.實物圖如圖2所示.

圖2　U型管實物圖

1.3錄制波紋光投影視頻測量水波波長和波速

當(dāng)水滴滴入水中時，會在水面產(chǎn)生一組水波，水波以同心圓的形狀傳播出去，由于振動振幅較小，此時的水波可以認(rèn)為是水的表面波.對于這種非連續(xù)的波，可以通過測量波峰前進(jìn)距離和所經(jīng)歷的時間來計算波速，同時通過測量同一組水波相鄰波峰間的距離可以得到波長.

由于水波傳播速度較快，難以直接觀測水波的傳播情況和波峰位置.實驗中通過錄制視頻的方式來觀測水波傳播的過程.首先將透明水槽放置在固定高度的底座上，在水槽下方放置光源.水波波動時表面的起伏會像凸透鏡、凹透鏡一樣將光線會聚或發(fā)散[8](圖3)，此時在水面上方放置整潔的紙張作為屏幕承接光線，便可以看到明暗相間的區(qū)域，分別對應(yīng)水波的波谷和波峰.同時，若將透明的刻度尺放入水中，則可以將刻度尺一同投影到屏幕上，從而測量出水波的位置數(shù)據(jù).然后，將攝像設(shè)備(手機及手機支架)放置在屏幕上方拍攝屏幕上水波的光投影(圖4)，記錄水波傳播的過程.最后，使用電腦單幀播放錄制的視頻，從而放慢水波傳播的過程以便于準(zhǔn)確測量波峰位置.此外，由于水滴滴落時形成的是形如同心圓的一組水波，便可以在單幀畫面中測量多個相鄰波峰的位置得到波長.

在時間測量方面，考慮到視頻本身所標(biāo)定時間的可靠性難以保證，為提高時間測量精度，實驗中將正在計時的秒表一同錄入視頻中.這樣在電腦上單幀播放視頻時，由于將秒表一同錄入視頻，每幀畫面中讀取波峰位置的同時還可以讀出當(dāng)前時刻，從而得到準(zhǔn)確對應(yīng)的波峰位置和時刻.然后從多幀畫面中分別讀取波峰位置和對應(yīng)時刻，計算出波峰前進(jìn)距離和對應(yīng)時間間隔，進(jìn)而用波峰前進(jìn)的距離除以時間得到波速.

圖3　水波對光線的匯聚與發(fā)散

圖4　產(chǎn)生波紋投影的水槽(左)和錄制視頻的手機(右)

2　實驗裝置與測量

2.1測量不等徑U型管內(nèi)徑

在組裝不等徑U型管之前，用讀數(shù)顯微鏡分別測量兩支玻璃管的內(nèi)徑，取5次測量的平均值，記為D1、D2.測量數(shù)據(jù)列于表1.

表1　U型管內(nèi)徑測量值　單位：mm

2.2測量液體溫度及當(dāng)前液位差h

實驗需要測量不同溫度下的表面張力系數(shù)與對應(yīng)的水波波速.考慮到將水槽和U型管放到同一水浴中難以實現(xiàn)，實驗中分別測量兩者在同一預(yù)定溫度下的實驗數(shù)據(jù).首先向U型管中注入一定量的蒸餾水，將裝有蒸餾水的U型管輕輕放入熱水中水浴加熱，使其整體上升到60 ℃以上.然后將U型管取出，使其溫度慢慢下降，當(dāng)溫度下降到預(yù)定的測量溫度時用讀數(shù)顯微鏡迅速測量兩管液位的高度差，記為h.液體溫度及當(dāng)前液位差h的數(shù)據(jù)列于表2.

表2　液位差h的測量數(shù)據(jù)　單位：mm

2.3計算表面張力系數(shù)

將不等徑U型管內(nèi)徑以及液位差的測量數(shù)據(jù)代入式(8)中，計算得到對應(yīng)溫度下的表面張力系數(shù)的測量值.查閱已有文獻(xiàn)[9]，可以得到不同溫度下純凈水表面張力系數(shù)的公認(rèn)值以及數(shù)據(jù)擬合出的公式α=75.45067-0.13326t-5.26468×10-4t2.實驗測量值與公認(rèn)值對比列于表3.

表3　不同溫度下的表面張力系數(shù)　單位：×10-2N/m

2.4產(chǎn)生水波并錄制視頻

產(chǎn)生水波的裝置由水槽、輸液器、光源(手機閃光燈)、屏幕(紙張)、攝像機(手機)以及支架組成.

首先將水槽水平放置在底座上，將屏幕放置在水槽上方，將光源放在水槽下方，調(diào)整光源與水槽底部的距離，使屏幕上可以看到清晰的投影.然后將輸液器固定在支架上，調(diào)節(jié)輸液器閥門使水滴可以勻速滴入水槽.之后，將刻度尺放在水槽底部，使其一端位于水滴落點處，亦即水波波紋的圓心處，這樣保證刻度尺與水波波紋前進(jìn)方向平行.向水槽中注入60℃度以上的純凈水，待水面平靜后打開輸液器閥門使水滴勻速滴入水槽產(chǎn)生水波.最后，錄制水波波紋傳播過程的光投影視頻.使水槽中的水自然冷卻，不斷測量水溫，當(dāng)水溫冷卻到預(yù)定溫度時開始錄制視頻，這里的預(yù)定溫度須與測量U型管液面高度差時選擇的測量溫度相同.同時，將正在計時的秒表一同錄入視頻.此時由于水仍在冷卻，所以應(yīng)迅速測量，當(dāng)水溫改變量達(dá)到1℃時立即停止測量，等待水溫降低到下一預(yù)定測量溫度時再次開始測量.

2.5單幀播放視頻計算波速和波長數(shù)據(jù)

在電腦中單幀播放所拍攝的視頻，從視頻中挑選投影清晰，易于讀數(shù)的部分讀出水波波紋的位置和時刻，如圖5、圖6所示，從而計算出水波的波長和波速.所得數(shù)據(jù)列于表4.

圖5　視頻截圖

圖6　視頻截圖

表4　不同溫度下波長和波速測量數(shù)據(jù) 單位：mm

3　實驗結(jié)果與討論

將之前得到的多組表面張力系數(shù)和波長數(shù)據(jù)代入式(1)中計算理論波速，再與實驗中的實測波速作比較，便可以通過實驗驗證水波波速與其表面張力關(guān)系公式的的正確性.在不同溫度下，實際測得的波速、由原理公式計算出的理論波速以及兩者的相對誤差數(shù)據(jù)列于表5.

表5　不同溫度下波速對比　單位：mm

從表中可以發(fā)現(xiàn)通過公式計算得出的理論速度與實際測量得到的水波波速十分接近，相對誤差均在2%以內(nèi)，所以在允許的誤差范圍內(nèi)驗證了波速與液體表面張力系數(shù)公式的正確性.通過實驗可以發(fā)現(xiàn)，水的表面波波速與其表面張力具有正相關(guān)關(guān)系，而液體的表面張力隨著溫度的升高逐漸減小，所以實驗中隨著溫度的升高實測波速與理論波速均呈減小的趨勢.利用計算機繪制出表面張力系數(shù)以及波速隨溫度變化的圖像可以直觀地看到這種趨勢

圖7　水波波速與表面張力系數(shù)

實驗中利用U型管測量液體表面張力系數(shù)，操作方便，原理簡潔，且將所得數(shù)據(jù)與已有文獻(xiàn)數(shù)據(jù)對比，其誤差在大學(xué)物理實驗允許范圍內(nèi)[9-11]，說明利用U型管測量液體表面張力系數(shù)具有較好的可操作性和較高的精度.

值得一提的是，為了提高測量水波波長和波速的精度，實驗中采用了錄制視頻而后單幀播放的方法，放慢了水波傳播的過程，便于觀察和測量，有效減小了實驗中因水波傳播較快而導(dǎo)致的測量誤差.此外，為了提高時間測量的準(zhǔn)確度，實驗中創(chuàng)新地將正在計時的秒表一同錄入視頻.從而可以將水波波峰的位置和對應(yīng)的時刻一同讀出，使得波峰位置和時刻有了準(zhǔn)確的對應(yīng)關(guān)系，彌補了因視頻自身時間精度不夠而導(dǎo)致的誤差.

4　結(jié)束語

本文由水波波速與其表面張力的理論公式出發(fā)，通過測量不同溫度下水波波速與對應(yīng)表面張力系數(shù)進(jìn)而驗證兩者關(guān)系，實驗思路清晰，方法新穎，操作簡單，易于實現(xiàn).一方面，以錄制視頻的方法記錄水波傳播過程，又通過單幀播放的方式放慢該過程，提高了位置測量的精度；另一方面，將秒表一同錄入視頻的做法，亦有效提高了時間測量的精度.這兩方面精度的提高使實驗在誤差允許范圍內(nèi)驗證了水波波速與液體表面張力系數(shù)公式的正確性.這些方法使用靈活，不局限水波的測量，更可以為其他實驗中提高測量精度提供新的思路.

此外，諸多儀器均取材生活中常見物品或自制而成，通過合理組合和使用，所得的實驗結(jié)果保證了正確性的同時亦具有較高的精度.揭示出有些物理實驗不必局限于專業(yè)儀器或是實驗場所，對于所發(fā)現(xiàn)的問題，要敢想敢做，善于利用生活中已有的資源設(shè)計實驗解決問題，這樣才可以使更多的人有機會通過實驗探究問題，也反映了問題源于生活而解決于生活的物理精神.

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Experimental research on the relationship between wave velocity and surface tension

ZHANG Zhi-gang， ZHANG Xi， ZHANG Li-miao， CHEN Jing

(College of Science， Beijing Forestry University， Beijing 100083， China)

According to the theoretical relationship between wave velocity and surface tension， we design the experiment in a range of temperature and analyze the experimental results. The U-tubes we applied in the experiment are self-made ones. We measure the surface tension of the liquid and video the process of the liquid transition. The specialty of this process is the footage of the clock， which we also video during the experiment. If one displays our video on computer by each frame， one will see the peak of the wave and the exact time simultaneously. If one divides the distance of the peak movement with time， one can get the speed of the waves. An involved method is compared with the traditional ones in this experiment， the new method makes the experiment easier in process and precise in measurement.

U-shaped tube; surface tension; video recording; wave velocity measurement

2015-07-07；

2015-11-16

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金(北京林業(yè)大學(xué)科技創(chuàng)新項目TD2014-04)資助

張志剛(1992—)，男，河北張家口人，北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院2012級本科生.

陳菁，E-mail:chenjingjing369@sina.com

O 4-34

A

1000- 0712(2016)06- 0054- 05