周 國 全

(武漢大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢　430072)

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正交柱面透鏡的橢圓(雙曲)型等厚干涉條紋

周 國 全

(武漢大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢430072)

運用分類和歸納的方法，本文研究討論了兩種新發(fā)現(xiàn)的正交平凸-平凸(平凹)柱面透鏡間的等厚干涉橢圓(雙曲)條紋，推導(dǎo)并分析了這兩類新的干涉結(jié)構(gòu)發(fā)生等厚干涉的條件及干涉條紋的分布規(guī)律.相較于原有的牛頓環(huán)干涉儀，本文新設(shè)計的干涉裝置既具相似性又有新穎性，擴(kuò)展了牛頓環(huán)等厚干涉學(xué)術(shù)研究的范圍，并簡述了其可能的技術(shù)應(yīng)用.

牛頓環(huán)；干涉；等厚干涉; 柱面透鏡；橢圓條紋; 雙曲條紋

牛頓環(huán)干涉屬于典型的振幅分割式雙光束等厚干涉,并存在若干等效的變異結(jié)構(gòu)[1-6].文獻(xiàn)[5]論述了切觸式牛頓環(huán)干涉裝置的若干變異結(jié)構(gòu)——平凸-平凹內(nèi)切觸牛頓環(huán)干涉結(jié)構(gòu)及平凸-平凸外切觸牛頓環(huán)干涉結(jié)構(gòu)；文獻(xiàn)[6]論述了其另外兩類變異的牛頓環(huán)干涉裝置——非接觸式牛頓環(huán)干涉結(jié)構(gòu)(包括平凸-平板型，平凸-平凹疊合型，平凸-平凸對頂型)以及淺近切割式牛頓環(huán)干涉裝置(主要論述了平凸-平板淺近切割式變異結(jié)構(gòu)，包括截頂式與嵌入式兩種). 由它們所得的干涉環(huán)紋具有與平行膜、矩形腔及大頂角等腰劈中所產(chǎn)生的等傾干涉圓環(huán)相似的分布規(guī)律[7,8]——相鄰暗環(huán)(或亮環(huán))的半徑之平方差是一個無關(guān)于干涉序的恒量，僅依賴于諸透鏡的曲率半徑、相對位置及入射光的波長.文獻(xiàn)[9]又論述了牛頓環(huán)干涉裝置的一類變異結(jié)構(gòu)——由柱面透鏡光具組構(gòu)成的牛頓型等厚直紋干涉裝置.這種變異干涉結(jié)構(gòu)的形態(tài)特點是上下兩個柱面透鏡的軸線平行、共面且是整個裝置的對稱面.相鄰暗紋(或亮紋)到中央直暗紋的距離平方差是一個無關(guān)于干涉序的恒量，僅依賴于諸柱面透鏡的曲率半徑、相對位置及入射光的波長.

本文將分析討論柱面透鏡組干涉裝置的另一大類變異的干涉結(jié)構(gòu),它們與文獻(xiàn)[9]的干涉裝置具有相同的干涉元件但有不同的干涉結(jié)構(gòu)：一類是正交平凸-平凸柱面透鏡組，在光線傍軸垂直入射時可得等厚橢圓條紋；另一類是正交平凸-平凹柱面透鏡組，在光線傍軸垂直入射時可得等厚雙曲條紋.所謂正交柱面透鏡組，即兩者的母線與軸線都對應(yīng)的相互垂直，但平面剖面相互平行的平凸-平凸(凹)柱面透鏡組.在對柱面透鏡的曲率半徑作適當(dāng)?shù)姆栆?guī)定之后,本文還將推導(dǎo)和分析兩類新的干涉結(jié)構(gòu)發(fā)生等厚干涉的統(tǒng)一的條紋分布律.

1　正交柱面透鏡間的等厚干涉

1.1平凸柱面-平板結(jié)構(gòu)在傍軸垂直入射時一個幾何公式

為便于后文討論，我們先簡要證明一個幾何公式.在平凸柱面透鏡與平板玻璃相切(柱面透鏡的平面剖面與平板平行)，且光線傍軸垂直入射時,空氣隙的厚度遠(yuǎn)小于柱面半徑，即e<

e=r2/2R

(1)

如圖1所示，在邊長分別為R、R-e、r構(gòu)成的直角三角形中運用勾股定理，可得

R2=(R-e)2+r2

(2)

2Re-e2=r2

(3)

當(dāng)光線傍軸垂直入射時,e<

2Re=r2

(4)

即得式(1).下文的討論即基于光線在傍軸垂直入射時所滿足的式(1).

圖1　傍軸垂直入射情形平凸柱面-平板結(jié)構(gòu)的軸向側(cè)視圖

1.2平凸-平凸(平凹)柱面透鏡間的等厚橢圓(雙曲)條紋及統(tǒng)一的分布律

首先制作一套如圖2所示的干涉裝具, 使上下兩個平凸柱面透鏡背靠背相切而放置，并使兩透鏡的平面剖面相互平行，對稱軸相互垂直，再以波長為λ的可見單色光沿z軸方向垂直入射，在兩個圓柱表面之間就能發(fā)生反射式等厚干涉；借助于牛頓環(huán)干涉裝具所用的讀數(shù)顯微鏡，這樣構(gòu)成的等厚干涉裝置確實能觀察到預(yù)期的橢圓形牛頓環(huán)紋.下面從光的干涉原理出發(fā)探討其干涉條件及干涉條紋的分布規(guī)律.

圖2　平凸-平凸柱面正交等厚干涉結(jié)構(gòu)

選兩柱面的切點O作為空間直角坐標(biāo)系Oxyz的原點，取下側(cè)柱面(半徑為R2)的過切點O的母線為x軸；取上側(cè)柱面(半徑為R1)的過切點O的母線為y軸，并在上下兩個柱面上分別各取一點P、Q，使PQ垂直于xOy平面，平行于z軸；點P、Q的坐標(biāo)分別為P(x,y,zp),Q(x,y,zQ). 根據(jù)傍軸垂直入射時幾何公式(1)，P、Q兩點到xOy切平面的距離分別為

其中rx=x；ry=y分別是點P到zOy平面、Q到zOx平面的距離, (x,y,zP)與(x,y,zQ)分別是P、Q兩點的坐標(biāo). 考慮反射時的半波損失，設(shè)n為柱面間介質(zhì)(如空氣)的折射率，真空波長為λ的入射光線在上下兩個柱面的反射光程差為ΔL=2n(zP-zQ)+λ/2=2n(e1+e2)+λ/2=

2n(x2/2R1+y2/2R2)+λ/2=

n(x2/R1+y2/R2)+λ/2

(6)

若PQ兩點在xOy平面的投影點(x,y)落在第k級亮(暗)紋上，則ΔL須滿足條件

ΔL=n(x2/R1+y2/R2)+λ/2=

(7)

當(dāng)k>0時，不妨假設(shè)R1>R2，由式(7)可得

(8)

這顯然是正橢圓形的第k級干涉暗環(huán)，其半長軸與半短軸分別為

(9)

并滿足如下規(guī)律：

(10)

(11)

(12)

(13)

這顯然是正橢圓形的第k級干涉亮環(huán)，其半長軸與半短軸分別為

(14)

(15)

并滿足如下規(guī)律

(16)

(17)

(18)

也是與干涉序k無關(guān)的常量.式(12)與式(18)的幾何意義是兩個相鄰亮(或暗)環(huán)橢圓具有與干涉序無關(guān)的不變的面積之差，即

ΔS=πAk+1Bk+1-πAkBk=

(19)

在這個不變量中，Ak+1、Bk+1、Ak、Bk可直接測量，n是已知折射率常量；λ、R1、R2之一是被測對象，只要知道其中兩者，即可算出剩余未知對象.

我們再分析干涉條紋的光強(qiáng)隨光程差ΔL或氣隙高度e1+e2(=zP-zQ)，及入射點位置(x,y)的變化規(guī)律. 設(shè)光線在上側(cè)柱體表面向柱體內(nèi)的反射振幅為Λ1, 它與來自下側(cè)柱體表面反射的振幅為Λ2的光線可近似認(rèn)為相遇并干涉于上側(cè)柱體表面，運用式(6)，其相位差的空間分布函數(shù)為

δ(x,y)=2πΔL/λ=2πn(x2/R1+y2/R2)/λ+π

(20)

透過讀數(shù)顯微鏡可觀看到橢圓狀干涉條紋，其光強(qiáng)I(x,y)的表達(dá)式為

(21)

舉例說明，設(shè)上、下側(cè)平凸柱面透鏡的曲率半徑分別為R1=1.85 m與R2=0.86 m，空氣折射率取為n=1.00; 按如圖2所示組裝成等厚干涉系統(tǒng). 根據(jù)

圖3　在R1=1.85 m,R2=0.86 m時，橢圓形干涉條紋示意圖，其中白色亮線為亮紋軌跡，黑色暗線為暗紋軌跡

圖4　在R1=1.85 m,R2=0.86 m,n=1.00,I1=I2=1.00,λ=589.3 nm時，橢圓型干涉條紋的相對光強(qiáng)隨空間位置(x,y)的變化的模擬圖.

從計算得到的數(shù)據(jù)分析可知, 利用光學(xué)實驗室現(xiàn)有讀數(shù)顯微鏡是可以分辨、并觀測以上條紋特征間隔的. 另一方面, 從式(14)至式(17)及以上計算可得出條紋特征間隔隨干涉序的增加而減小的規(guī)律.

相比于平行膜或矩形腔的等傾干涉條紋[3-4,7]，本文的等厚干涉條紋具有相似的分布規(guī)律: 相鄰兩環(huán)紋所圍的面積皆為無關(guān)于干涉序的常量，而前者中央部分條紋的光程差最大，因而干涉序最大，后者中央部分條紋的光程差最小，因而干涉序最小，兩者間形成鮮明對比.

另一方面，不難發(fā)現(xiàn)，只要將兩正交柱面透鏡的曲率半徑R1、R2視為代數(shù)量(因而e1、e2也為代數(shù)量)，并作統(tǒng)一的符號規(guī)定，就能將平凸-平凸與平凸-平凹兩種正交干涉結(jié)構(gòu)的干涉條件與條紋分布律表達(dá)為統(tǒng)一的形式. 具體的符號規(guī)定為：平凸柱面的曲率半徑為正；平凹柱面的曲率半徑為負(fù). 按此規(guī)定，圖2中上下兩個平凸柱面透鏡的曲率半徑R1(從而e1)、R2(從而e2) 的符號為正, 而當(dāng)下側(cè)柱面透鏡為平凹柱面時，其曲率半徑R2(從而e2) 的符號為負(fù)(此時bk,Bk為純虛數(shù))，如圖5所示，就是正交平凸-平凹柱面透鏡構(gòu)成的等厚干涉裝具.

圖5　平凸-平凹柱面正交等厚干涉結(jié)構(gòu)

在此符號規(guī)則之下，兩種干涉裝置對應(yīng)的光程差與干涉條件可分別統(tǒng)一于式(6)和(7)，暗條紋與亮條紋的軌跡方程可分別統(tǒng)一于式(8)至式(13)，尤其是暗條紋間距的分布規(guī)律可統(tǒng)一于式(10)和式(11)，而亮條紋間距的分布規(guī)律可統(tǒng)一于式(16)和式(17). 雖然不變的面積差公式(19)為平凸-平凸柱面干涉結(jié)構(gòu)所獨有，但不變的乘積差公式亦可統(tǒng)一于式(12)、(18). 與平凸-平凸干涉結(jié)構(gòu)的不同之處在于，平凸-平凹正交干涉結(jié)構(gòu)的干涉條件與條紋分布律有一個鮮明的特點, 它允許k取負(fù)整數(shù)或零, 因為此時光程差可為負(fù)值或零, 這使得其雙曲條紋擁有開口分別在x、y兩個方向的雙曲線族. 以暗紋為例, 討論當(dāng)R2的符號為負(fù)時, 平凸-平凹柱面正交等厚干涉產(chǎn)生的條紋的形狀與分布規(guī)律. 當(dāng)R1>0,R2<0,k>0時，式(8)即如下雙曲線方程

(22)

(23)

(24)

式(23)、(24)的規(guī)律與干涉序k無關(guān). 而當(dāng)R1>0,R2<0,k>0時雙曲亮紋的方程為

(25)

(26)

(27)

類似于式(12)與式(18)，還有如下不變的乘積差公式

(28)

(29)

式(26)至式(29) 的規(guī)律同樣與干涉序k無關(guān).圖6給出了雙曲型干涉條紋的示意圖. 這里要特別注意，前面討論的是R1>0,R2<0,k>0的情形, 焦點在x軸上, 對應(yīng)于開口在x方向的雙曲線族；而在R1>0,R2<0,k<0時, 式(8)描述的是焦點在y軸上, 對應(yīng)于開口在y軸方向的雙曲線族.需要特別強(qiáng)調(diào)的是: 由于R1>0,R2<0,k=0滿足式(7)中的暗條紋條件，它對應(yīng)于兩個雙曲線族共有的兩條漸近線暗直紋. 圖7則給出了根據(jù)式(20)和式(21)繪制的雙曲型條紋的相對光強(qiáng)隨空間(x,y)而變化的模擬圖

圖6　在R1=1.85 m,R2=-0.86 m時，雙曲型干涉條紋的示意圖，其中白色亮線為亮紋軌跡，黑色暗線為暗紋軌跡

圖7　在R1=1.85 m,R2=0.86 m,n=1.00,I1=I2=1.00,λ=589.3 nm時，雙曲型干涉條紋的相對光強(qiáng)隨空間位置(x,y)的變化的模擬圖.

2　結(jié)語

無論哪一種牛頓型于等厚干涉干涉裝置，入射光在上、下兩個光學(xué)表面反射點之間的高度差決定了上、下兩表面反射線之間的光程差，從而決定了干涉場的光強(qiáng)；因此光學(xué)表面上等高差點(即等厚點)的軌跡即決定了條紋的形狀. 于是干涉裝置的結(jié)構(gòu)對稱性，決定了條紋分布的對稱性. 平凸-平凸(平凹)正交柱面透鏡組干涉裝置, 關(guān)于各自的對稱軸均具有左右鏡像對稱性，正好導(dǎo)致相應(yīng)的等厚環(huán)紋具有縱橫兩個鏡像對稱軸. 具體而言，在單色光傍軸垂直入射情形，平凸-平凸正交柱面透鏡組干涉裝置,將產(chǎn)生等厚橢圓干涉條紋；而平凸-平凹正交柱面透鏡組干涉裝置，將產(chǎn)生等厚雙曲干涉條紋, 且條紋分布從內(nèi)向外，由稀變密, 但遵守相鄰亮(暗)條紋的特征間隔平方差不變的分布規(guī)律. 在對柱面曲率半徑作適當(dāng)?shù)姆栆?guī)定之后, 兩類干涉結(jié)構(gòu)的等厚條紋滿足統(tǒng)一代數(shù)分布規(guī)律.

本文結(jié)果可用于測定待測平凸柱面工件的曲率半徑；亦可用于測定未知入射光的波長；通過分光計測量平凸-平凹正交柱面透鏡組的兩漸近線暗直紋之間的夾角, 可以計算梁柱面的半徑之比，這為測量未知柱面透鏡的曲率半徑提供一種簡單而可靠的途徑.尤其是觀測漸近線暗直紋之是否準(zhǔn)直，在光學(xué)柱面工件的表面加工質(zhì)量的檢測方面會有重要應(yīng)用; 還可用于判定兩平凸柱面工件是否處于嚴(yán)格正交(母線正交，對稱面正交，對稱軸也正交). 另一方面，本文所述的干涉裝置，壯大了等厚干涉尤其是牛頓環(huán)干涉技術(shù)的大家族，有望豐富和充實等厚干涉的教學(xué)內(nèi)容，尤其為牛頓環(huán)干涉技術(shù)的教學(xué)研究注入了新的活力.

[1]Born M, Wolf E.Principles of Optics[M].6th ed.New York: Pergamon Press，1981：291.

[2]Miles V.Klein . Optics [M] .New York:John Wiley & Sons Inc，1981：199-200.

[3]趙凱華, 鐘錫華. 光學(xué)[M]. 北京：北京大學(xué)出版社, 1984：291-293.

[4]鐘錫華. 現(xiàn)代光學(xué)基礎(chǔ)[M]. 北京：北京大學(xué)出版社, 2003：167-170.

[5]周國全. 牛頓環(huán)干涉裝置的若干變異結(jié)構(gòu)[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版), 2000, 33(5)：110-112.

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The equal-thickness elliptic (hyperbola) fringes for two crossed column lens

ZHOU Guo-quan

(School of Physics and Technology, Wuhan University, Wuhan, Hubei 430072, China)

By means of classification and induction, some new variant structures of Newton-type interference apparatus for two crossed convex (or concave) column lens are found and studied, which can generate equal-thickness elliptical (or hyperbola) fringes. The interference conditions and distribution laws of the fringes are derived, analyzed, and formulized in a unified form. Compared with the original interferometer for Newton’s rings, our new designed interferometers are of not only similarity but also novelty. Thus, the academic research scope for the interferometry of Newton’s rings has been extended, and their possible technique applications are concisely indicated.

Newton’s rings; interference; equal-thickness interference; column lens; elliptic fringes; hyperbolic fringes

2015-02 -27；

2015-12-07

國家級教學(xué)團(tuán)隊基金資助項目(202276003).

周國全，(1965—)男，湖北漢川人, 博士，武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院副教授, 主要從事普物與理論物理教學(xué), 及場論與非線性可積方程研究工作.

教學(xué)討論

O 436.1

A

1000- 0712(2016)07- 0006- 06