龍俊波 汪海濱

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基于基于SαS過程的分數(shù)低階時頻自回歸滑動平均模型參數(shù)估計及時頻分布

龍俊波*①汪海濱②

①(九江學院電子工程學院 九江 332005),②(九江學院信息科學與技術(shù)學院 九江 332005)

針對過程下時頻自回歸滑動平均(TFARMA)模型分析方法的退化，該文用分數(shù)低階共變?nèi)〈A相關(guān)提出了分數(shù)低階時頻自回歸滑動平均(FLO-TFARMA)模型的概念，并推導了模型參數(shù)的求解方法。在此基礎(chǔ)上，給出了FLO-TFARMA模型時頻譜估計算法，和已有的TFARMA模型時頻譜算法進行了詳細的比較。計算機仿真結(jié)果表明，在過程環(huán)境下，所提出的FLO-TFARMA時頻譜明顯優(yōu)于TFARMA時頻譜，尤其是當參數(shù)較小時，F(xiàn)LO-TFARMA時頻譜優(yōu)勢更明顯。

信號處理；穩(wěn)定分布；非平穩(wěn)信號；時頻分布；自回歸滑動平均；尤拉沃克方程

1 引言

非平穩(wěn)隨機過程廣泛存在于實際各領(lǐng)域中，如生物醫(yī)學工程、通信、雷達、股票價格數(shù)據(jù)、水聲信號等領(lǐng)域。非平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計量隨時間變化而變化，是一種時變的信號，而常用的分析方法是時頻分析。時頻分析方法主要包括有線性的短時傅里葉變換(STFT)和小波變換(WT)、雙線性的Wigner-Ville分布(WVD)、合成類Cohen類時頻分析以及Hilbert-Huang變換(HHT)。最近，一種新的模型類時頻分布被提出，模型類時頻分布包括時頻自回歸(TFAR)模型、時頻滑動平均(TFMA)模型[4]和時變自回歸滑動平均(TVARMA)[5,6]，模型類時頻分布是一種具有較高分辨率和精度的新的時頻方法，分析過程主要包括模型的參數(shù)估計、階數(shù)估計和模型時頻分布。在TFAR模型和TFMA模型的基礎(chǔ)上，文獻[7]總結(jié)了各種經(jīng)典的ARMA模型、TVARMA和TFARMA模型分析方法，提出了一種擴展的TFARMA模型非平穩(wěn)信號表示方法，并將其應(yīng)用到時變譜分析中，文獻[8]將TFARMA模型用于機械故障信號的分析，較好地實現(xiàn)了對軸承故障信號的提取。

在上述非平穩(wěn)隨機過程一些特殊場合中，隨機信號或噪聲過程可能具有強脈沖特性，這種過程沒有有限的方差，有比較嚴重的的拖尾，這種過程可以用穩(wěn)定分布來描述。針對穩(wěn)定分布過程，2維模型譜譜估計是一種很好的估計信號頻譜的方法，利用分數(shù)低階統(tǒng)計量協(xié)方差，文獻[14]提出了一種AR模型譜譜估計方法，隨后在此基礎(chǔ)上又提出了ARMA模型譜譜估計，可以在穩(wěn)定分布環(huán)境下，實現(xiàn)高精度，高分辨率的信號頻率估計[15]。但是，譜譜估計只能體現(xiàn)頻率和幅度的變換，只能在2維層面，而針對時變的過程，不能從3維的層面去分析，為此，我們需要對信號進行時頻分析。文獻[16]提出了幾種基于分數(shù)低階矩的FLO-PWVD, FLO-Cohen類時頻分布等時頻分析方法，相比二階時頻分布方法，體現(xiàn)了一定的優(yōu)勢，而分數(shù)低階自適應(yīng)核Cohen類時頻分布則具有更好的適應(yīng)性，可以根據(jù)信號的具體情況改變窗函數(shù)(核)[17]。而在分數(shù)低階環(huán)境下，文獻[7]所提出的基于二階統(tǒng)計量的TFARMA模型時頻譜算法可能會產(chǎn)生較大的誤差甚至失效。

本文對已有的TFARMA模型算法進行了改進，我們用分數(shù)低階共變代替了二階相關(guān)，提出了FLO- TFARMA模型的概念。針對其中的FLO-TFAR模型參數(shù)的求解，提出了一種廣義的TF-Yule-Walker方程，并介紹了方程的矩陣求解方法，針對FLO- TFMA模型參數(shù)的求解則使用分數(shù)低階復時頻倒譜(FLO-CTFC)進行遞歸求解，我們也提出了一種分數(shù)低階時頻自回歸滑動平均 (FLO-TFARMA) 時頻譜，總結(jié)了時頻譜估計的步驟，并和已有的TFARMA時頻譜進行了詳細的算法比較。計算機仿真表明，針對穩(wěn)定分布過程，本文所提出的FLO- TFARMA時頻譜明顯優(yōu)于TFARMA時頻譜，尤其是當參數(shù)較小時，F(xiàn)LO-TFARMA時頻譜優(yōu)勢更明顯。

在本文的第2節(jié)中，簡單地介紹了已有的TFARMA模型，并以此定義了FLO-TFARMA模型參數(shù)表達式；第3節(jié)提出了廣義的FLO-TFARMA模型的參數(shù)時頻分布，并分析了它與已有的譜的關(guān)系；第4節(jié)定義了FLO-TFARMA模型的廣義TF-Yule-Walker方程，并推導了參數(shù)和的求解過程；第5節(jié)詳細比較了TFARMA模型算法和FLO-TFARMA模型算法的性能，包括參數(shù)的誤差分析，時頻分布；第6節(jié)是本文的結(jié)論部分。

2 FLO-TFARMA模型

3 FLO-TFARMA時頻譜估計

對式(3)兩邊進行Z變換并變形后得

式(10)中的FLO-TFARMA模型時頻譜包含了TFARMA模型時頻譜和ARMA模型譜，我們可以稱FLO-TFARMA為一種廣義的TFARMA模型。

4 FLO-TFARMA參數(shù)估計

互共變。式對(14)兩邊做點的離散傅里葉變換(DFT)后得

即

接下來我們將把式(16)寫成Toeplitz結(jié)構(gòu)形式，為此，我們令Toeplitz矩陣

我們稱式(20)方程組為廣義TF-Yule-Walker方程組，因為其式中階共變?nèi)绻敲磳⑼嘶癁榉瞧椒€(wěn)高斯過程TF-Yule-Walker方程，如果=0，那么將退化為傳統(tǒng)的Yule-Walker方程。式(20)中包括有個獨立方程，而要求的參數(shù)也剛好是個，和的長度為，那么，只要解式(19)Toeplitz方程就可以得到向量，從而得到FLO-TFAR模型的參數(shù)。

根據(jù)4.2節(jié)同樣的求解方法，我們可以把式(23)廣義的TF-Yule-Walker方程寫成Toeplitz塊矩陣的形式，然后求解就可以得到模型參數(shù)。

4.3 FLO-TFARMA時頻分布計算步驟

5 計算機仿真

5.1 TFARMA模型和FLO-TFARMA模型參數(shù)估計比較

圖1 不同的下TFARMA模型和FLO-TFARMA模型參數(shù)估計均方誤差比較

圖2 不同的N下TFARMA模型和FLO-TFARMA模型參數(shù)估計均方誤差比較

5.2 TFARMA模型和FLO-TFARMA模型時頻譜估計比較

圖3 無噪聲信號和帶穩(wěn)定分布噪聲信號的時域圖

我們分別用已有的TFAR模型時頻算法，TFMA模型時頻算法和TFARMA模型時頻算法，所提出的FLO-PWVD時頻，F(xiàn)LO-TFAR模型算法，F(xiàn)LO-TFMA模型算法和FLO-TFARMA模型算法對含有穩(wěn)定分布噪聲的信號進行時頻譜估計，取=256。圖4是TFAR(5,1)模型時頻譜估計仿真結(jié)果，圖5是TFMA(2,2)模型時頻譜估計仿真結(jié)果，圖6是TFARMA(2,2,1,2)模型算法得到的時頻譜估計，從仿真結(jié)果可以看出，在噪聲環(huán)境下，已有的TFAR模型時頻算法，TFMA算法時頻算法，TFARMA模型算法時頻估計失效，完全不能估計出信號的時頻譜圖。

圖4 帶穩(wěn)定分布噪聲信號的TFAR(5,1)時頻譜

圖5 帶穩(wěn)定分布噪聲信號的TFMA(2,2)時頻譜

圖6 帶穩(wěn)定分布噪聲信號的TFARMA(2,2,1,2)時頻譜

圖7 帶穩(wěn)定分布噪聲信號的FLO-PWVD

圖8 帶穩(wěn)定分布噪聲信號的FLO-TFAR時頻譜

圖9 帶穩(wěn)定分布噪聲信號的FLO-TFMA(2,2)時頻譜

圖10 帶穩(wěn)定分布噪聲信號的FLO-TFARMA(2,2,1,2)是頻譜

已有的TFARMA模型算法是基于二階統(tǒng)計量自相關(guān)定義的，參數(shù)和求解是用傳統(tǒng)的TF- Yule-Walker方程進行計算。所以，TFARMA算法只能適用于高斯分布噪聲環(huán)境()，當應(yīng)用在穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下時，參數(shù)估計會產(chǎn)生較大的誤差，算法性能嚴重退化。而本文提出的FLO- TFARMA算法是基于分數(shù)低階統(tǒng)計量提出的，參數(shù)和求解是基于改進的廣義TF-Yule-Walker方程，所以，參數(shù)估計更接近實際值，且能適用于高斯環(huán)境()，具有良好的韌性。

6 結(jié)論

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Parameter Estimation and Time-frequency Distribution of Fractional Lower Order Time-frequency Auto-regressive Moving Average Model Algorithm Based onProcess

LONG Junbo①WANG Haibin②

①(,,332005,),②(,,332005,)

The performances of Time-Frequency Auto-Regressive Moving Average (TFARMA) model method degenerate underdistribution environment. Hence, Fractional Lower Order Time-Frequency Auto- Regressive Moving Average (FLO-TFARMA) model algorithm based on fractional lower order covariant is proposed, the parameters estimation of FLO-TFARMA model is introduced, time-frequency distribution based on FLO-TFARMA model is given, FLO-TFARMA model algorithm are compared with the existing TFARMA algorithm in detail. The simulation results show that FLO-TFARMA model method have better performance than TFARMA model method underdistribution environment, and the time-frequency spectrum of FLO- TFARMA method is more obvious when the parameteris smaller.

Signal processing;stable distribution; Non-stationary signal; Time-frequency distribution; Auto- Regressive Moving Average (ARMA); Yule-Walker equations

TN911.7

A

1009-5896(2016)07-1710-07

10.11999/JEIT151066

2015-09-21；改回日期：2016-04-28；網(wǎng)絡(luò)出版：2016-06-03

龍俊波 18488870@qq.com

國家自然科學基金(61261046, 61362038)，江西省自然科學基金(20142BAB207006)，江西省教育廳科技基金(GJJ14738, GJJ14739)

The National Natural Science Foundation of China (61261046, 61362038), The Natural Science Foundation of Jiangxi Province (20142BAB207006), The Research Foundation of Education Bureau of Jiangxi Province (GJJ14738, GJJ14739)

龍俊波： 男，1979年生，講師，主要研究方向為分數(shù)低階信號理論及應(yīng)用、時頻信號分析及應(yīng)用.

汪海濱： 女，1980年生，講師，主要研究方向為分數(shù)低階信號理論及應(yīng)用、圖像信號分析及應(yīng)用.