杜洪越 李春雙 公利濱

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兩個帶有已知或未知參數(shù)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的改進函數(shù)投影同步

杜洪越*李春雙 公利濱

(哈爾濱理工大學(xué)自動化學(xué)院 哈爾濱 150080)

近年來復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在科學(xué)與工程各個領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注，其中復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問題是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的熱點之一。該文研究兩個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)改進函數(shù)投影同步的方法。分別基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)已知和未知兩種情況，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和自適應(yīng)控制技術(shù)，設(shè)計自適應(yīng)同步控制器，使兩個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)達到改進函數(shù)投影同步。最后分別基于這兩種情況利用數(shù)值仿真驗證所提方法的有效性。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；改進函數(shù)投影同步；自適應(yīng)控制；未知參數(shù)

1 引言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是一個多學(xué)科交叉的熱點研究領(lǐng)域，其可描述自然界和人類社會中的很多復(fù)雜系統(tǒng)，如萬維網(wǎng)、生態(tài)網(wǎng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，電力網(wǎng)絡(luò)、城市交通網(wǎng)、社會關(guān)系網(wǎng)絡(luò)等等，因此其研究引起學(xué)者們的廣泛關(guān)注[1,2]。網(wǎng)絡(luò)同步機制能解釋很多自然現(xiàn)象，如在Internet和WWW上信息的同步交換，通信網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)字或模擬信號的同步交換等，所以復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的熱點之一。文獻[3]研究了一類具有時變時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問題。文獻[4]研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步態(tài)與孤立節(jié)點解的關(guān)系。文獻[5]利用牽制控制法研究了非時延和時變耦合時延的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步問題。文獻[6]進一步利用間歇控制法研究非時延和耦合時延的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題。文獻[7]研究了帶有時延的有向復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)簇同步問題。文獻[8]研究帶有未知參數(shù)和未知拓撲結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)辨識問題。文獻[9]研究了不同分數(shù)階節(jié)點的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的投影同步問題。文獻[10]研究了有向復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)牽制控制問題。文獻[11]研究了帶未知參數(shù)的分數(shù)階驅(qū)動-響應(yīng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步問題。

目前已有的關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的理論成果，主要集中在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)各結(jié)點的動力學(xué)行為恒同的完全同步上，部分少數(shù)文獻研究了具有常數(shù)尺度因子的投影同步問題[9]。本文研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的一種新的同步方式，即改進函數(shù)投影同步。由于改進函數(shù)投影同步在同步的混沌系統(tǒng)中引入了尺度函數(shù)矩陣，其使同步后的混沌系統(tǒng)的復(fù)雜程度及混沌程度增加，根據(jù)密碼學(xué)原理，復(fù)雜度越大，系統(tǒng)越難破譯，因此利用改進函數(shù)投影同步進行保密通信可進一步增加信息的安全性?？紤]到網(wǎng)絡(luò)信息安全是現(xiàn)代信息化社會的一個難題，而利用改進函數(shù)投影同步進行保密通信可進一步增加信息的安全性，因此在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中研究改進函數(shù)投影同步理論具有重要的理論意義和實際應(yīng)用價值。文獻[17]首次基于部分線性化的驅(qū)動-響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了函數(shù)投影同步。文獻[18]研究具有不同混沌節(jié)點的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)函數(shù)投影同步問題，文獻[19]進一步研究了帶有時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)函數(shù)投影同步的方法。文獻[20]利用魯棒控制法研究驅(qū)動-響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中的改進函數(shù)投影同步問題。文獻[21]利用自適應(yīng)開環(huán)加閉環(huán)控制法，研究驅(qū)動-響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中的改進函數(shù)投影同步問題。文獻[22]研究帶時變耦合時延的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間函數(shù)投影同步問題。文獻[23]研究帶轉(zhuǎn)換拓撲結(jié)構(gòu)和隨機影響的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)投影同步問題。

本文的內(nèi)容安排如下：第2節(jié)給出模型描述和改進函數(shù)投影同步的定義；第3節(jié)分別在系統(tǒng)模型參數(shù)已知和未知兩種條件下，給出兩個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)改進函數(shù)投影同步的控制器設(shè)計方法；第4節(jié)給出兩組仿真實例驗證所提控制方法的有效性；第5節(jié)給出結(jié)論。

2 改進函數(shù)投影同步定義

考慮兩個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型描述如下：

取式(1)為驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)，帶有非線性控制器的響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)按式(2)選取。

定義1 對于驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)式(1)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)式(2)，如果存在一個尺度函數(shù)矩陣，其中，是連續(xù)可微的函數(shù)，使式(3)成立：

本文研究的是在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型中系統(tǒng)參數(shù)已知和未知兩種條件下，如何設(shè)計控制器使驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)達到改進函數(shù)投影同步。

3 控制器設(shè)計

3.1 兩個確定復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的改進函數(shù)投影同步法

本節(jié)研究在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)已知的條件下，驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)式(1)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)式(2)實現(xiàn)改進函數(shù)投影同步的控制器設(shè)計方法。

定理1 對于任意給定的尺度函數(shù)矩陣和初始條件，驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)式(1)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)式(2)在式(4)所示控制器作用下可實現(xiàn)改進函數(shù)投影同步。

證明 定義每一個節(jié)點的誤差向量為

將式(1)和式(2)代入式(7)有

將式(4)代入式(8)有

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

將式(5)和式(9)代入式(11)有

證畢

注1 本文所設(shè)計的同步控制器是在兩個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的所有狀態(tài)變量全部已知的條件下獲得的，若狀態(tài)變量不可直接獲取時，無法直接利用本文所提的控制器設(shè)計方法，此時可先構(gòu)造狀態(tài)觀測器重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)信息，之后再利用本文所提的控制器的設(shè)計思想設(shè)計所需的控制器。

3.2 兩個帶有未知參數(shù)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的改進函數(shù)投影同步法

本節(jié)研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型存在未知參數(shù)的條件下，驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)改進函數(shù)投影同步的控制器設(shè)計方法。帶有未知參數(shù)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型描述為

取式(15)作為驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)，帶有非線性控制器及未知參數(shù)估計器的響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)按式(16)選取。

定理2 對于任意給定的尺度函數(shù)矩陣和初始條件，帶未知參數(shù)的驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)式(15)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)式(16)在式(17)所示控制器和式(18)所示參數(shù)估計器的作用下可實現(xiàn)改進函數(shù)投影同步。

證明 把式(15)和式(16)代入式(7)有

定義系統(tǒng)參數(shù)誤差為

把式(17)和式(21)代入式(20)有

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

把式(18)，式(19)和式(22)代入式(24)有

4 數(shù)值仿真

在本節(jié)中，以由混沌Lorenz系統(tǒng)組成的兩個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為例證實所提定理的有效性，其數(shù)學(xué)描述為

圖1 Lorenz系統(tǒng)混沌吸引子

4.1 確定模型的同步仿真例子

本節(jié)以兩個由3個節(jié)點組成的全局耦合網(wǎng)絡(luò)為例，證實所提定理1的有效性，其中網(wǎng)絡(luò)節(jié)點由混沌Lorenz系統(tǒng)式(29)組成。

驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)的模型被描述為

相應(yīng)的響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型取為

圖2 3節(jié)點復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步誤差隨時間變化圖

由圖2我們可以看到所有誤差分量隨著時間的變化而漸近趨近于零，因此驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)式(30)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)式(32)在我們所設(shè)計的控制器的作用下達到改進函數(shù)投影同步。另外，通過大量的仿真實驗，我們發(fā)現(xiàn)越大，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的速度越快，相反越小，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的速度越慢。因此獲得結(jié)論：的取值影響復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)達到同步的速度。

4.2 帶未知參數(shù)模型的同步仿真例子

本節(jié)以兩個由10個節(jié)點組成的全局耦合網(wǎng)絡(luò)為例證實所提定理2的有效性，其中網(wǎng)絡(luò)節(jié)點仍由混沌Lorenz系統(tǒng)組成。驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型為

相應(yīng)的響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型按式(35)選取。

圖3 10節(jié)點復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步誤差隨時間變化圖

圖4 10節(jié)點復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)參數(shù)估值隨時間變化圖

由以上兩個仿真結(jié)果可得通過所提定理對響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)進行控制時，響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)變量從任意初始條件出發(fā)能很快地與驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)達到改進函數(shù)投影同步。同時，只需修改尺度函數(shù)矩陣，便可得到其他的同步方式，如當(dāng)修改所有尺度函數(shù)為1時可獲得完全同步[6,7]，修改所有尺度函數(shù)為其他常數(shù)時可獲得投影同步[8,9]。與研究外同步的文獻[24-27]相比，本文方法不僅可以實現(xiàn)完全同步或投影同步，還可以實現(xiàn)更為一般的改進函數(shù)投影同步。

5 結(jié)束語

本文研究在兩個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中實現(xiàn)改進函數(shù)投影同步的控制器設(shè)計方法。基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和自適應(yīng)控制技術(shù)，給出在模型參數(shù)已知和未知兩種情況下，如何設(shè)計自適應(yīng)同步控制器使兩個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)達到改進函數(shù)投影同步。并在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)未知時，給出了未知參數(shù)的估計方法。最后利用兩組數(shù)值仿真例子驗證了所提方法的有效性。

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Modified Function Projective Synchronization Between Two Complex Networks with Known or Unknown Parameters

DU Hongyue LI Chunshuang GONG Libin

(,,150080,)

Recently, the complex networks have been more and more popular in various areas of science and engineering. Synchronization is one of the hot topics in the investigation of complex networks. This paper focuses on modified function projective synchronization of two complex networks with known or unknown parameters. Based on Lyapunov stability theory and the adaptive control technique, an adaptive synchronization controller is developed to realize modified function projective synchronization in two complex networks. Numerical examples are provided to show the effectiveness of the proposed method.

Complex network; Modified function projective synchronization; Adaptive control; Unknown parameter

TP273

A

1009-5896(2016)07-1816-07

10.11999/JEIT150864

2015-07-20；改回日期：2016-04-22；網(wǎng)絡(luò)出版：2016-05-31

杜洪越 du_hong_yue@163.com

黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目(12541106)

The Scientific Research Fund of Heilongjiang Provincial Education Department of China (12541106)

杜洪越： 女，1975年生，教授，研究方向為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步、混沌同步、非線性控制等.

李春雙： 女，1990年生，碩士生，研究方向為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步.

公利濱： 男，1965年生，高級工程師，研究方向為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步、非線性控制等.