錢(qián) 偉，蔣鵬沖，車(chē) 凱

?

基于Wirtinger不等式的時(shí)變時(shí)滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

錢(qián) 偉，蔣鵬沖，車(chē) 凱

(河南理工大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，河南 焦作 454000)

針對(duì)廣域電力系統(tǒng)中量測(cè)時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行產(chǎn)生的嚴(yán)重影響，研究此類(lèi)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題?；贚yapunov穩(wěn)定性理論，構(gòu)造新型的泛函。在導(dǎo)數(shù)解析過(guò)程中對(duì)積分項(xiàng)進(jìn)行分段處理，避免了縮放性誤差，再采用Wirtinger不等式來(lái)減小系統(tǒng)保守性。同時(shí)考慮了系統(tǒng)狀態(tài)變量積分的影響，得到了保守性較低的保證時(shí)滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定的判據(jù)，并進(jìn)一步推廣到電力系統(tǒng)受到擾動(dòng)時(shí)的情形。通過(guò)典型二階系統(tǒng)、單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)與四機(jī)十一節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證了該方法的有效性。

電力系統(tǒng)；時(shí)變時(shí)滯；線性矩陣不等式；時(shí)滯裕度；Wirtinger不等式；穩(wěn)定性判據(jù)

0 引言

隨著基于相量測(cè)量單元(PMU)的廣域測(cè)量技術(shù)在電力系統(tǒng)中的迅速發(fā)展，大規(guī)模的電力系統(tǒng)并網(wǎng)連接逐漸成為趨勢(shì)[1]。并網(wǎng)電力系統(tǒng)在實(shí)現(xiàn)電力的區(qū)域間輸送、推動(dòng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的同時(shí)，由于其網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、運(yùn)行方式頻繁變換，使系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行問(wèn)題更為突出[2-4]。

廣域電力系統(tǒng)中，在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行全面監(jiān)測(cè)時(shí)需要進(jìn)行實(shí)時(shí)的數(shù)據(jù)交換。特別是傳輸距離較遠(yuǎn)的系統(tǒng)在數(shù)據(jù)傳輸過(guò)程中產(chǎn)生不可忽略的通信時(shí)滯，其對(duì)電網(wǎng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生嚴(yán)重影響。因此研究時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)和尋求有效的穩(wěn)定控制手段具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義[5-6]。

目前對(duì)于電力系統(tǒng)時(shí)滯穩(wěn)定性研究方法主要有頻域分析法與時(shí)域分析法[7]。頻域法雖然可以在理論上得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，但計(jì)算較為復(fù)雜，在多機(jī)復(fù)雜系統(tǒng)中求解速度較慢[8]，而且難以處理如文獻(xiàn)[9]考慮電力系統(tǒng)中的運(yùn)行狀態(tài)及參數(shù)發(fā)生跳變時(shí)的問(wèn)題。時(shí)域法在處理含有不確定項(xiàng)、參數(shù)變動(dòng)和時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)具有優(yōu)勢(shì)，目前已成為電力系統(tǒng)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的主流方法[10-11]。其中L-K泛函法為一種的主要方法，但該方法本身具有一定的保守性，如何降低時(shí)滯穩(wěn)定判據(jù)的保守性成為近年來(lái)研究的焦點(diǎn)[12]。文獻(xiàn)[10]構(gòu)造一種L-K泛函，在泛函推導(dǎo)過(guò)程中引入一些必要的松散項(xiàng)來(lái)減少判據(jù)的保守性，并推廣到含有擾動(dòng)的電力系統(tǒng)中。文獻(xiàn)[11]采用改進(jìn)自由權(quán)矩陣方法進(jìn)行穩(wěn)定性判據(jù)，結(jié)果降低保守性的同時(shí)由于自由變量的引入降低了計(jì)算效率。文獻(xiàn)[8]在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上利用gevp方法計(jì)算出時(shí)滯穩(wěn)定上限。文獻(xiàn)[12]引入較少的自由變量提高了運(yùn)算效率，卻忽略了時(shí)變時(shí)滯可微性及時(shí)滯導(dǎo)數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

基于以上分析，本文采用L-K泛函法進(jìn)一步研究時(shí)滯影響下電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造新型泛函，考慮電力系統(tǒng)狀態(tài)變量積分的影響。并且在對(duì)泛函求導(dǎo)產(chǎn)生積分項(xiàng)的處理中，先進(jìn)行分段處理，再運(yùn)用Wirtinger不等式，降低了判據(jù)的保守性。并在此基礎(chǔ)上運(yùn)用Schur補(bǔ)定理給出在不確定擾動(dòng)下時(shí)滯電力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)。最后，通過(guò)仿真分析驗(yàn)證本文方法的有效性。

1 時(shí)滯電力系統(tǒng)模型

在電力系統(tǒng)模型中，對(duì)發(fā)電機(jī)的動(dòng)態(tài)模型采用三階微分方程可表示為

其中：

式中各參數(shù)意義見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。

為維護(hù)電力系統(tǒng)的可靠性，采用AVR勵(lì)磁控制時(shí)，由于時(shí)滯環(huán)節(jié)的存在其勵(lì)磁系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

由式(1)、式(2)可以得到含時(shí)滯電力系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

(3)

對(duì)于式(3)在平衡點(diǎn)線性化可以得到

在實(shí)際電力系統(tǒng)中，系統(tǒng)參數(shù)存在很多不確定擾動(dòng)，故以上模型難以滿足實(shí)際的應(yīng)用需要。以下為含有參數(shù)擾動(dòng)的電力系統(tǒng)模型：

下面是本文推導(dǎo)中運(yùn)用的一些引理：

引理1[14]：對(duì)于任意的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣和標(biāo)量且及相量值函數(shù)，使下面積分有意義，則有下述矩陣不等式成立：

引理2[15]：存在任意正整數(shù)，變量，，矩陣，，對(duì)于

2 時(shí)滯電力系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)

首先對(duì)于無(wú)擾動(dòng)電力系統(tǒng)(4)構(gòu)造如下泛函。

(7)

(8)

在此先對(duì)式(9)、式(10)中非積分項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)可得

(11)

其中：

(12)

式中：

因此，由式(11)與式(13)可以得到

注2：判據(jù)的推導(dǎo)過(guò)程中對(duì)于積分項(xiàng)的處理運(yùn)用引理1 Wirtinger不等式進(jìn)行變換，得出的穩(wěn)定性判據(jù)不僅與狀態(tài)變量和有關(guān)，還考慮了的影響，降低了判據(jù)的保守性。

注3：Wirtinger不等式與文獻(xiàn)[16]引用的Jensen不等式相比較為在不等式右側(cè)多一正定項(xiàng)，其放縮程度更小，減小了判據(jù)推導(dǎo)中因不等式的引用而產(chǎn)生的保守性。

其中：

對(duì)于含有擾動(dòng)的電力系統(tǒng)模型(5)時(shí)，與無(wú)擾動(dòng)的情況比較只需讓與分別用和替換可得

式中：

運(yùn)用引理3 可得

其他參數(shù)與定理一等同。

3 算例分析

3.1 典型二階系統(tǒng)

為驗(yàn)證本文方法在保守性上的優(yōu)越性，首先我們?cè)诘湫投A系統(tǒng)進(jìn)行比較分析，其中：

由于定理一為由線性矩陣不等式形式給出的，可通過(guò)線性矩陣不等式工具箱進(jìn)行求解。如表1給出了不同大小下的運(yùn)算結(jié)果，從中可以看出，本文方法所計(jì)算的最大時(shí)滯高于其他文獻(xiàn)。在=0時(shí)，文獻(xiàn)[17]的結(jié)果與本文方法一樣，但該方法僅對(duì)定時(shí)滯有效。

表1對(duì)于不同值所求的最大時(shí)滯值

Table 1 Maximal time delay for different m

3.2 單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)

驗(yàn)證本文方法在電力系統(tǒng)中的有效性，選用單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)如圖1，具體參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)[20]，其中矩陣參數(shù),具體數(shù)值如下：

BMI、TG、FBG、FCP 是 T2DM 并發(fā) NAFLD 的高危因素（OR＞1），HDL-C、AST、ALT、GGT、2 hCP 與 T2DM并發(fā)NAFLD無(wú)明確相關(guān)性（OR＜1）。見(jiàn)表2。

圖1單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)

借助Matlab中的線性矩陣不等式(LMI)工具箱，可以得到系統(tǒng)在無(wú)擾動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定裕度為65.4 ms，如圖2 給出了當(dāng)時(shí)滯為66 ms時(shí)發(fā)電機(jī)功角與角速度變化情況。從圖中可以看出此時(shí)單機(jī)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

圖2 h=66 ms時(shí)系統(tǒng)的仿真結(jié)果

對(duì)于電機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)存在擾動(dòng)時(shí)，假設(shè)勵(lì)磁放大系數(shù)擾動(dòng)為隨機(jī)的，則考慮擾動(dòng)影響后的實(shí)際放大系數(shù)為

當(dāng)研究勵(lì)磁擾動(dòng)對(duì)單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響時(shí)，矩陣的取值為

借助Matlab中的線性矩陣不等式(LMI)工具箱，求出不同勵(lì)磁擾動(dòng)下的系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，并與文獻(xiàn)[10]與文獻(xiàn)[12]的結(jié)果進(jìn)行比較分析。

從表2中的數(shù)據(jù)及圖3中可以得到，隨著勵(lì)磁放大系數(shù)中擾動(dòng)項(xiàng)的增大，單機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度有所減小。但與文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[12]相比，在相同擾動(dòng)大小時(shí)，本文采用的方法所得到的時(shí)滯裕度更大，證明了本文采用的穩(wěn)定性判據(jù)的保守性較小。

表2不同值的時(shí)滯穩(wěn)定裕度

Table 2 Comparison of stability with different r

圖3 3種方法穩(wěn)定運(yùn)行裕度

3.3 4機(jī)11節(jié)點(diǎn)算例分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性，采用如圖4的4機(jī)11節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行分析。

圖4 4機(jī)11節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

由表3可以看出，本文所采用的方法求得的最大時(shí)滯均大于其他文獻(xiàn)，即驗(yàn)證了本文方法的有效性，也說(shuō)明了該方法在多機(jī)系統(tǒng)中的可行性。

表3 不同方法求得的時(shí)滯上界

4 結(jié)論

針對(duì)時(shí)滯對(duì)電力系統(tǒng)的嚴(yán)重影響，本文研究了時(shí)變時(shí)滯電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題?；贚yapunov理論，通過(guò)構(gòu)造新的L-K泛函，在泛函導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)過(guò)程中引用Wirtinger不等式，得到了保守性較小的時(shí)滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)。通過(guò)算例分析驗(yàn)證了本文方法的有效性和優(yōu)越性。然而采用Lyapunov理論在泛函構(gòu)造與導(dǎo)數(shù)解析過(guò)程中不可避免的存在一定的保守性，如何降低判據(jù)保守性的問(wèn)題今后還需進(jìn)一步研究。

[1] 程云峰, 張欣然, 陸超. 廣域測(cè)量技術(shù)在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用研究進(jìn)展[J]. 電力系統(tǒng)保護(hù)與控制, 2014, 42(4): 145-153.

CHENG Yunfeng, ZHANG Xinran, LU Chao. Research progress of the application of wide area measurement technology in power system[J]. Power System Protection and Control, 2014, 42(4): 145-153.

[2] 張子泳, 胡志堅(jiān), 劉宇凱. 計(jì)及廣域信號(hào)時(shí)變時(shí)滯影響的大型雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)附加魯棒阻尼控制[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2014, 29(4): 246-255.

ZHANG Ziyong, HU Zhijian, LIU Yukai. Additional robust damping control of large scale DFIG-based wind power generation system with wide-area signals’ time- varying delay influence[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2014, 29(4): 246-255.

[3] 李婷, 吳敏, 何勇. 計(jì)及廣域測(cè)量系統(tǒng)時(shí)滯影響的靈活交流輸電系統(tǒng)阻尼控制器多目標(biāo)設(shè)計(jì)[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2014, 29(8): 227-234.

LI Ting, WU Min, HE Yong. Multi-objective design of FACTS damping controller based on WAMS with signal transmission delay[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2014, 29(8): 227-234.

[4] 姚致清, 張茜, 劉喜梅. 基于PSCAD/EMTDC的三相光伏并網(wǎng)發(fā)電系統(tǒng)仿真研究[J]. 電力系統(tǒng)保護(hù)與控制, 2010, 38(17): 76-81.

YAO Zhiqing, ZHANG Qian, LIU Ximei. Research on simulation of a three-phase grid-connected photovoltaic generation system based on PSCAD/EMTDC[J]. Power System Protection and Control, 2010, 38(17): 76-81.

[5] YANG Bo, SUN Yuanzhang. A new wide area damping controller design method considering signal transmission delay to damp interarea oscillations in power system[J]. Journal of Central South University, 2014, 21(11): 4193-4198.

[6] 古麗扎提·海拉提, 王杰. 多時(shí)滯廣域測(cè)量電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析與協(xié)調(diào)控制器設(shè)計(jì)[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào),2014, 29(2): 279-289.

GULIZHATI Hailati, WANG Jie. Multiple time delays analysis and coordinated stability control for power system widearea measurement[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2014, 29(2): 279-289.

[7] 吳敏, 何勇. 時(shí)滯系統(tǒng)魯棒控制--自由權(quán)矩陣方法[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2007.

[8] 馬靜, 李俊臣, 李益楠, 等. 基于改進(jìn)自由權(quán)矩陣與廣義特征值的時(shí)滯穩(wěn)定上限計(jì)算方法研究[J]. 電力系統(tǒng)保護(hù)與控制, 2014, 42(18): 1-8.

MA Jing, LI Junchen, LI Yinan, et al. Research on time-delay upper-bound of power system wide-area damping controllers based on improved free-weighting matrices and generalized eigenvalue problem[J]. Power System Protection and Control, 2014, 42(18): 1-8.

[9] 馬靜, 李益楠, 李俊臣,等. 考慮電力系統(tǒng)跳變特性的時(shí)滯穩(wěn)定控制策略[J]. 電網(wǎng)技術(shù), 2015, 39(4): 1033-1038.

MA Jing, LI Yinan, LI Junchen, et al. A time-delay stability control strategy considering jump characteristic of power system[J]. Power System Technology, 2015, 39(4): 1033-1038.

[10] 賈宏杰, 安海云, 余曉丹. 電力系統(tǒng)時(shí)滯依賴(lài)型魯棒穩(wěn)定判據(jù)及其應(yīng)用[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化, 2010, 34(3): 6-11.

JIA Hongjie, AN Haiyun, YU Xiaodan. A delay- dependent robust stability criterion for power system and its application[J]. Automation of Electric Power Systems, 2010, 34(3): 6-11.

[11] 安海云. 基于自由權(quán)矩陣?yán)碚摰碾娏ο到y(tǒng)時(shí)滯穩(wěn)定性研究[D]. 天津: 天津大學(xué), 2011.

AN Haiyun. The research of time delay stability for power system based on free-weighing matrices theory[D]. Tianjin: Tianjin University, 2011.

[12] 孫國(guó)強(qiáng), 屠越, 孫永輝, 等. 時(shí)變時(shí)滯電力系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的改進(jìn)型判據(jù)[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化, 2015, 39(3): 59-62.

SUN Guoqiang, TU Yue, SUN Yonghui, et al. An improved robust stability criterion for power systems with time-varying delay[J]. Automation of Electric Power Systems, 2015, 39(3): 59-62.

[13] 厲文秀. 隨機(jī)時(shí)滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析[J]. 電力與能源, 2015, 36(1): 10-15.

LI Wenxiu. Stability analysis for stochastic time delay power system[J]. Power and Energy, 2015, 36(1): 10-15.

[14] SEURET A, GOUAISBAUT F. Wirtinger-based integral inequality: Application to time-delay systems[J].Automatica, 2013, 49(9): 2860-2866.

[15] PARK PG,KO JW,JEONG C. Reciprocally convex approach to stability of systems with time-varying delays[J]. Automatica, 2011, 47(1): 235-238.

[16] 錢(qián)偉, 高超. 基于凸組合方法的變時(shí)滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)[J]. 電力系統(tǒng)保護(hù)與控制, 2015, 43(19): 37-42.

QIAN Wei, GAO Chao. A stability criterion for power system with time-varying delay based on convex combination[J]. Power System Protection and Control, 2015, 43(19): 37-42.

[17] GU K,KHARITONOV VL,CHEN J. Stability of time-delay systems[M]. Berlin: Birkhauser, 2003.

[18] SUN J,LIU GP , CHEN J, et al. Improve delay-range dependent stability criteria for linear systems with time- varying delays[J]. Automatica, 2010, 46(2): 466-470.

[19] FRIDMAN E,SHAKED U. Input-output approach to stability and L2-gain analysis of systems with time- varying delays[J]. Systems and Control Letters, 2006, 55(12): 1041-1053.

[20] 賈宏杰, 尚蕊, 張寶貴. 電力系統(tǒng)時(shí)滯穩(wěn)定裕度求解方法[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化, 2007, 31(2): 5-11.

JIA Hongjie, SHANG Rui, ZHANG Baogui. Computation of delay stability margin of electric power systems[J]. Automation of Electric Power Systems, 2007, 31(2): 5-11.

[21] CHAIBI N, TISSIR E H. Delay dependent robust stability of singular systems with time-varying delay[J]. International Journal of Control, Automation and Systems, 2012, 10(3): 632-638.

(編輯 周金梅)

Stability analysis for power system with time-delay based on Wirtinger inequality

QIAN Wei, JIANG Pengchong, CHE Kai

(School of Electrical Engineering and Automation, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454000, China)

In view of the effect of time-delay to the system operation in the Wide Area Power System (WAPS), the stability of WAPS with time-delay is studied. Firstly, the new functional is constructed based on the Lyapunov stability theory. Secondly, this paper splits the integral into two integrals to avoid the scaling error and uses Wirtinger inequality to reduce conservative in the derivation, then considers the integration impact of the system state. The stability criterion with less conservative for time-delay power system is obtained and extended to the system with parameter changes. Finally, the effectiveness of the method is verified by simulation of the typical second-order system, the single machine system and two-area four-generator power system.

This work is supported by National Natural Science Foundation of China (No. 61573130 and No. 61104119) and Program for Science & Technology Innovation Talents in Universities of Henan Province (No. 13HASTIT044).

power system; time-varying delay; linear matrix inequality (LMI); delay matrix; Wirtinger inequality; stability criterion

10.7667/PSPC152019

2015-11-18；

2016-01-09

錢(qián) 偉(1978-)，男，通信作者，博士，教授，研究方向?yàn)轸敯艨刂啤⒅悄芸刂频?；E-mail:qwei@hpu.edu.cn

蔣鵬沖(1991-)，男，碩士研究生，主要從事電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與控制方面的研究；E-mail: jiangpengchongaaa@ 163.com

車(chē) 凱(1992-)，男，碩士研究生，主要從事信息處理與網(wǎng)絡(luò)控制的研究。E-mail: ck15239008609@163.com

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61573130，61104119)；河南省高校科技創(chuàng)新人才支持計(jì)劃(13HASTIT044)；河南省高校青年骨干教師資助計(jì)劃(2011GGJS-054)