胡紹宗

（阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 安徽　阜陽(yáng)　236037）

有限覆蓋定理的一般形式及其逆

胡紹宗

（阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 安徽阜陽(yáng)236037）

先將數(shù)學(xué)分析中的有限覆蓋定理逐步拓廣到一般度量空間，再予證明。

有限覆蓋；有界閉集；緊集。

數(shù)學(xué)分析中所論述的Heine-Borel有限覆蓋定理［1］為：

設(shè)F=［a，b］是一個(gè)閉區(qū)間，G是一個(gè)開(kāi)區(qū)間族，它覆蓋了F，則從G中可選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋F。

若將F換成直線上有界閉集，G換成開(kāi)集族，則定理可推廣為：

設(shè)F是直線上有界閉集，G是開(kāi)集族，它覆蓋了F，則從G中可選出有限個(gè)開(kāi)集來(lái)覆蓋F。

若將F換成n維閉區(qū)間，G換成開(kāi)區(qū)間族，則定理可推廣為：

設(shè)F=｛（x1，x2，…，xn）|ai≤xi≤bi，i=1，2，…，n｝是一個(gè)n維閉區(qū)間，G是一個(gè)n維開(kāi)區(qū)間族，它覆蓋了F，則從G中可選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋F。

若將F換成n維有界閉集，G換成n維開(kāi)集族，則定理可推廣為：

設(shè)F?Rn是一個(gè)有界閉集，G?Rn是一個(gè)開(kāi)集族，它覆蓋了F，則從G中可選出有限個(gè)開(kāi)集來(lái)覆蓋F。

定義1設(shè)X為度量空間，F(xiàn)?X，如果F中的任何點(diǎn)列必有在X中收斂的子點(diǎn)列，則稱F為X中的致密集。

注 度量空間中致密集是有界集［2］ 88-89。

定義2度量空間中致密閉集稱為緊集。

若將F換成一般度量空間X中的緊集，G換成X中開(kāi)集族，則可得定理的一般形式為：

有限覆蓋定理設(shè)X是一般度量空間，F(xiàn)?X是一個(gè)非空緊集，G?X是一個(gè)開(kāi)集族，它覆蓋了F，則從G中可選出有限個(gè)開(kāi)集來(lái)覆蓋F。

為了證明這個(gè)一般形式的有限覆蓋定理，先證如下的緊集套定理。

緊集套定理設(shè)｛Fk｝是度量空間X中的非空緊集列，且滿足：

（?。〧1?F2?…?Fk?…，

（ⅱ）Fk的直徑δ（）Fk→0（k→∞），則存在唯一的點(diǎn)x∈Fk（k=1，2，…）。

證 不妨假定對(duì)一切k，F(xiàn)k+1是Fk的真子集，

即

再證唯一性。設(shè)另有一點(diǎn)x′∈Fk（k=1，2，… ），則，由題設(shè)，于是d（x，x′）=0，從而x=x′。

有限覆蓋定理的證明：用反證法。假定定理的結(jié)論不成立，即F不能被G中任意有限個(gè)開(kāi)集所覆蓋，因F為緊集，即致密閉集，從而為有界閉集，故可設(shè)F?閉集S｝為X中某個(gè)定點(diǎn)，x∈X ，二等分線段R0R1，設(shè)分點(diǎn)為R2，則相應(yīng)地將S分成兩個(gè)閉集：｛x|R0≤d（x0，x）≤R2｝與，其中必有一個(gè)閉集與F的交非空且不能被G中有限個(gè)開(kāi)集所覆蓋，記這個(gè)閉集為S1，F(xiàn)1=F?S1是一個(gè)非空緊集，F(xiàn)1?S1。

再等分線段R0R2或R2R1，設(shè)分點(diǎn)為R3，則相應(yīng)地將S1分成兩個(gè)閉集：，或。

其中必有一個(gè)閉集與F1的交非空且不能被G中有限個(gè)開(kāi)集所覆蓋，記這個(gè)閉集為S2，F(xiàn)2=F1?S2是一個(gè)非空緊集，F(xiàn)2?S2，重復(fù)這個(gè)步驟并不斷地進(jìn)行下去，我們就可以得到一列緊集：

F?F1?F2?…?Fk?…，它們分別包含在S?S1?S2?…?Sk?…中

而Fk=Fk-1?Sk（k=1，2，…）不能被G中有限個(gè)開(kāi)集所覆蓋。

據(jù)Sk的作法可知，其直徑，又因，故有。由緊集套定理，存在唯一點(diǎn)x-∈Fk（k=1，2，… ），當(dāng)然更有x-∈F。

因?yàn)镚覆蓋F，所以存在開(kāi)集G0∈G，使x-∈G0，當(dāng)k充分大時(shí)，有Sk?G0，從而

這說(shuō)明Fk只須用G中一個(gè)開(kāi)集G0就能覆蓋，這與挑選Fk時(shí)的假設(shè)“不能用G中有限個(gè)開(kāi)集來(lái)覆蓋”相矛盾，從而證得G中必有有限個(gè)開(kāi)集覆蓋F。

要指出的是：由前面已知，緊集即致密閉集，也是有界閉集。試問(wèn)上述定理的條件中緊集可不可以改為有界閉集？我們的回答是否定的，因?yàn)樵谝话愕亩攘靠臻g中有界集未必是致密集，從而有界閉集，不一定是致密閉集，即未必是緊集。例如

在閉區(qū)間［0，1］上作連續(xù)函數(shù)列

0，1中不是致密集。

這里還要指出的是：在n維歐幾里得空間中，有界集和致密集是等價(jià)的［］2 96-98，從而有界閉集和致密閉集是等價(jià)的，即有界閉集和緊集是等價(jià)的。這正說(shuō)明數(shù)學(xué)分析中所講的有限覆蓋定理是上述定理的特殊情形。

因此給出緊集的下面這種定義，即

定義3設(shè)X是度量空間，F(xiàn)?X，如果X中每個(gè)覆蓋F的開(kāi)集族中都有有限個(gè)開(kāi)集覆蓋F，則稱F是緊集。

The general form of the finite covering theorem and its inverse

HU Shao-zong

（School of Mathematics and Satistics，F(xiàn)uyang Normal University，F(xiàn)uyang Anhui 236037，China）

First，the finite covering theorem in mathematical analysis was gradually extended to general metric space.And then it was proved.

finite covering；bounded closed set；compact set

O177

A

1004-4329（2016）01-016-02

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）01-016-02

2015-09-08

國(guó)家特色專業(yè)（TS1496）；安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目（2013zy167，2014zy138，2015jxtd121）資助。

胡紹宗（1929-），男，副教授，研究方向：實(shí)分析。

［1］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）［M］.3版.北京：高等教育出版社，2001：165-166.

［2］ 夏道行，吳卓人，嚴(yán)紹宗等.實(shí)變函數(shù)論與泛函分析（下冊(cè)）［M］.北京：人民教育出版社，1979：88-89，96-98.