朱章根，簡(jiǎn)國(guó)明

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Dirichlet積分的５種計(jì)算方法

朱章根[1]1，簡(jiǎn)國(guó)明2

（韶關(guān)學(xué)院，1. 物理與機(jī)電工程學(xué)院，2. 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 韶關(guān) 512005）

研究Dirichlet積分，給出5種不同的Dirichlet積分值計(jì)算方法．

Dirichlet積分；含參量積分法；積分計(jì)算

廣義積分是理工科類高等數(shù)學(xué)計(jì)算中的一個(gè)重要內(nèi)容，一般的計(jì)算法是先求出原函數(shù)，而后采用Newton-Leibniz公式計(jì)算[1-5]．但是Dirichlet積分的計(jì)算需要一些技巧與方法．本文研究Dirichlet積分并給出5種不同的計(jì)算方法．這幾種計(jì)算方法都是理工科類學(xué)生利用經(jīng)常接觸的數(shù)學(xué)知識(shí)可以解答的．

1Dirichlet積分收斂性的證明

引理1（Dirichlet判別法）[1]257設(shè)為上的函數(shù)，若在上為有界函數(shù)，單調(diào)趨于零，則收斂．

2 Dirichlet積分的計(jì)算

2.1解析函數(shù)法

引理2（Cauchy-Goursat定理）[6]55設(shè)解析函數(shù)在單連通區(qū)域以及該單連通區(qū)域的邊界上解析，則．

要求出Dirichlet積分的值，只需要令即可．由于，因而（2）

2.2留數(shù)定理求解

引理3[6]88設(shè)函數(shù)在實(shí)軸上的奇點(diǎn)為，都是一階極點(diǎn)，且滿足Jordan引理的條件，為函數(shù)在上半平面的奇點(diǎn)，則有

2.3利用含參變量的廣義積分計(jì)算

引理4（Weierstrass-M判別法）[2]195設(shè)有函數(shù)，使得，，，若收斂，則在上一致收斂．

2.4利用含參變量的積分計(jì)算

2.5利用Laplace變換計(jì)算

換[7-8]．對(duì)Dirichlet積分進(jìn)行Laplace變換可得，故．

Dirichlet積分在阻尼振動(dòng)中是很常見(jiàn)的積分，對(duì)于物理類專業(yè)的學(xué)生是必須掌握的內(nèi)容．文中給出的５種計(jì)算方法都是基于理工類基礎(chǔ)數(shù)學(xué)可求解的，適合理工類學(xué)生參考借鑒．

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M]．6版．北京：高等教育出版社，2007

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析（下冊(cè)）[M]．3版．北京：高等教育出版社，2006

[3] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析[M]．北京：人民教育出版社，1961

[4] 李忠，周建瑩．高等數(shù)學(xué)[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2009

[5] 孫本旺．?dāng)?shù)學(xué)分析中的典型例題與解題方法[M]．長(zhǎng)沙：湖南科技出版社，1984

[6] 上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系．復(fù)變函數(shù)與積分變換[M]．上海：上海交通大學(xué)出版社，2012

[7] 王高雄．常微分方程[M]．2版．北京：高等教育出版社，2006

[8] 西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室．復(fù)變函數(shù)[M]．4版．北京：高等教育出版社，2014

Five calculation methods of Dirichlet integral

ZHU Zhang-gen1，JIAN Guo-ming2

（1. School of Physics and Electrical Engineering，2. School of Mathematics and Statistics，Shaoguan University，Shaoguan 512005，China）

Researched the Dirichlet integral，gave five different calculation method of the Dirichlet integral．

Dirichlet integral；parametric integral method；integral calculation

O172∶G642.0

A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.01.021

2015-08-20

朱章根（1991-），男，廣東仁化人，在讀本科生．E-mail：1723739170@qq.com

簡(jiǎn)國(guó)明（1958－），男，江西南昌人，教授，碩士，從事代數(shù)圖論及數(shù)學(xué)模型研究．E-mail：527775876@qq.com