陳丹

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利用對稱性求解初等概率問題

陳丹[1]

（遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116000）

在初等概率領(lǐng)域，對稱性問題較多．重視其研究，不僅能夠提高解題技巧和速度，而且對理解中學(xué)概率部分的教學(xué)思路十分有益．通過圍繞初等概率解題的方法，有意識地比較出利用對稱性解決初等概率問題的簡便性，從而能應(yīng)用到中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中．

對稱性；概率；中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

在中學(xué)概率領(lǐng)域，對稱性問題較多，重視其研究，不僅能夠提高解題技巧和速度，而且對中學(xué)概率部分教學(xué)的理解十分有益．本文給出古典概型和幾何概型概率問題的實(shí)例[1-3]，指出它們都具有對稱性，利用對稱性可解決初等概率問題，其方法與一般解法相比，具有初等性和簡明性．而中學(xué)部分的概率問題也主要研究古典概型和幾何概型，所以利用對稱性解決中學(xué)概率問題就顯得尤為重要，對稱性的解題方法可廣泛應(yīng)用到中學(xué)概率的教學(xué)中．

1利用數(shù)學(xué)期望計算古典概型概率

對中學(xué)概率中古典概型的理解和計算不可避免地會應(yīng)用到隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望這一數(shù)學(xué)特征．

引理[4-5]袋子中共裝有只球，設(shè)其中紅球數(shù)為隨機(jī)變量，若紅球數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，那么從這個袋子中摸出一球是紅球的概率為．

2利用對稱性計算古典概型及幾何概型概率

對稱事件其發(fā)生的可能性相等．所以對兩個結(jié)構(gòu)相同、完全處于對稱位置的平等事件，其發(fā)生的概率也應(yīng)該是相同[7]．而古典概型和幾何概型基本事件發(fā)生的概率都是等可能的，因此，在古典概型和幾何概型中，應(yīng)用對稱性可以簡化解題思路，提高解題速度．

對每一組同桌而言，要么男學(xué)生在前要么其女同桌在前，只有這２種可能，而且兩者是等可能的．那么由事件的對稱性可知，．由于每一組同桌排列的事件是相互獨(dú)立的，即是相互獨(dú)立的．所以，由概率計算法則可知，．

與例2解法1相比，應(yīng)用事件對稱性的解法2解題方法思路更簡單，計算更簡便．

例3解法2設(shè)想把球一個個都取出，把全部的球看作全排列[8]．那么３個白球把整個排列分割成４段，設(shè)第1個白球之前的球數(shù)為，第1個白球與第２個白球之間的球數(shù)為，第２個白球與第３個白球之間的球數(shù)為，第３個白球之后的球數(shù)為．由于每種排列的可能性相同，３個白球的分布又是均勻的，所以隨機(jī)變量具有相同的分布列，因而有相同的期望，且．

由于幾何概型概率問題具有類似的對稱性[6]，因此對稱性也可以應(yīng)用到幾何概率問題的求解中．

3結(jié)論

在求解古典概型問題時，例1、例2解法1、例3解法1是通過隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望來求解；例2解法2、例3解法2、例4是通過概率的對稱性求解，因此對稱性可以應(yīng)用到幾何概率問題的求解中．當(dāng)然，不論是利用對稱性計算古典概型概率，還是利用數(shù)學(xué)期望計算古典概型概率，在具體解題的過程中都要注意構(gòu)造恰當(dāng)樣本空間，而且在構(gòu)造的樣本空間中，每個基本事件出現(xiàn)或發(fā)生的可能性必須相同．

比較例2解法1與例2解法2，其結(jié)果完全相同，但例2解法2充分利用了對稱性，思路簡單，簡化計算過程，提高解題速度．由于幾何概型也有類似的對稱性，因此由例4可以看出，對稱性解題也簡化了計算過程．

由于中學(xué)概率問題研究中最重要的是古典概型和幾何概型．因此，在求解初等概率問題時，對稱性的應(yīng)用可以簡化思路，便于計算，提高解題速度．

[1] 魏宗舒．概率與數(shù)理統(tǒng)計[M]．北京：高等教育出版社，1997：32-79

[2] 周概容．概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]．北京：高等教育出版社，1984：61-75

[3] 毛用才．概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M]．西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2000：10-31

[4] 王擇．初等數(shù)學(xué)中的對稱性及其應(yīng)用[J]．蒙自師專學(xué)報，1995（12）：64-69

[5] 李賢平．概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2003：80-97

[6] 宋建儒．高等數(shù)學(xué)解題方法與技巧[M]．西安：陜西教育出版社，2003：20-51

[7] 陳運(yùn)新．對稱性在積分中的應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2000（4）：7-28

[8] 陳希孺．概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]．合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1992：7-27

Solving elementary probability problem with symmetry

CHEN Dan

（School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian 116000，China）

In the field of elementary probability，the symmetry problem is more．Attention to its research，not only to improve the problem-solving skills and speed，but also the probability of the secondary school teaching is very useful．By means of the method of solving the problem of elementary probability，makes a comparison of the simple and convenient，which can be applied to the teaching of middle school mathematics．

symmetry；probability；middle school mathematics teaching

O211∶G642.0

A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.01.019

2015-09-22

陳丹（1990-），女，遼寧興城人，在讀碩士研究生，從事應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)研究．E-mail：1049468612@qq.com