魏炎炎，楊淑菊

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一個超混沌糾纏系統(tǒng)的動力學分析

魏炎炎，楊淑菊

(云南經(jīng)濟管理學院 工程學院，云南 昆明 650304)

采用正弦函數(shù)混沌糾纏的方法構(gòu)造出一個新超Rabinovich混沌系統(tǒng)，繪制出其超混沌的吸引子，并對其進行動力學分析以驗證這個系統(tǒng)是超混沌的．

超混沌系統(tǒng)；混沌糾纏；混沌吸引子；動力學分析

混沌系統(tǒng)作為非線性動力學與控制論等重要的交叉學科，在Lorenz系統(tǒng)的基礎上，提取該混沌系統(tǒng)的機理及其復雜的動力學特征，進而衍生出眾多類似Lorenz系統(tǒng)，如超混沌系統(tǒng)對Lorenz系統(tǒng)及其衍生的Lorenz族系統(tǒng)的新分支的研究，具有重要的實際意義.

目前，建構(gòu)新的人工混沌系統(tǒng)這個活躍的話題[1-7]成為趨勢. 文獻[3]提出一個新的名詞——混沌糾纏，基本原理是通過糾纏函數(shù)糾纏兩個或多個穩(wěn)定的線性子系統(tǒng)來產(chǎn)生一個人造的混沌系統(tǒng)，本文利用混沌糾纏的方法建構(gòu)出一個新的超混沌系統(tǒng)，并驗證該系統(tǒng)是混沌的.

1 超混沌系統(tǒng)提出

采用一些非線性函數(shù)對系統(tǒng)糾纏，如果兩個或及其以上的線性子系統(tǒng)能產(chǎn)生混沌行為，就叫混沌糾纏．其中糾纏函數(shù)就是上述的非線性函數(shù)．

現(xiàn)考慮兩個線性子系統(tǒng)，一個是三維系統(tǒng)，另一個是一維系統(tǒng)，如下：

現(xiàn)采用正弦函數(shù)來糾纏(1) 及線性化，再和(2)系統(tǒng)組合起來，得到如下的系統(tǒng)

其中，,,,,,是糾纏系數(shù)，且均大于零；sin()，sin()，sin()是糾纏函數(shù). 當=2,=4,=4,=4,=1,=1時，有一個超混沌吸引子出現(xiàn)，相圖如圖1，相圖如圖2所示.

圖1 xyz相圖圖2 wyz相圖

2 系統(tǒng)混沌性

2.1對稱性和不變性

現(xiàn)分析系統(tǒng)(3)，系統(tǒng)(3)具有自然對稱性，對系統(tǒng)(3)做如下變換：

()?()

即在變換()?()下，對所有的參數(shù),,,,,具有不變性，若+()是系統(tǒng)(3)的平衡點，則()一定也是系統(tǒng)(3)的平衡點；如果()是系統(tǒng)(3)的一條軌道線，那么()也是系統(tǒng)(3)的軌道線.

2.2 耗散性和吸引子的存在性

現(xiàn)作系統(tǒng)(3)的向量場散度

當+++>0時，系統(tǒng)(3)具有耗散性，且收斂到． 即一個為0的初始體積元，在時間時收斂為，當?￥時. 包含系統(tǒng)軌線的每個體積元都收縮到0．所有軌線限制在一個體積為零的極限子集上，系統(tǒng)的漸近行為會被固定到一個吸引子上，從而存在吸引子．

2.3 有界性

以上述對四維超Rabinovich糾纏系統(tǒng)的生成為基礎，對系統(tǒng)(3)有界性的分析．

定理1 當,,,>0，系統(tǒng)(3)是有界的.

2.4 平衡點的穩(wěn)定性

在所,,,,,均大于零的狀態(tài)下，原點是(3)系統(tǒng)的平衡點，且是唯一的．系統(tǒng)(3)在0=(0, 0, 0, 0)處的Jacobian矩陣，其特征值方程為

由于存在=-，.

則得到其羅斯-霍維茲判別行列式為

則在平衡點0=(0, 0, 0, 0)是漸進穩(wěn)定.

3 結(jié)論

本文是采用正弦函數(shù)混沌糾纏的方法，衍生出一個新超Rabinovich混沌系統(tǒng)，并利用Matlab軟件繪制超混沌的一個吸引子，分析該超混沌系統(tǒng)的對稱性、不變性、耗散性、吸引子的存在性、有界性、平衡點的穩(wěn)定性等混沌特征，從而驗證了這個系統(tǒng)是超混沌的. 對于混沌系統(tǒng)衍生模型，其動力特征的多樣性及其復雜性，有待進一步深化.

[1] 劉秉正, 彭建華. 非線性動力學[M]. 北京: 高等教育出版, 2004: 120-131.

[2] 陳關榮, 金 虎. Lorenz系統(tǒng)族的動力學分析、控制與同步[M]. 北京: 科學出版社, 2003: 9-25.

[3] 熊詩波. 機械工程測試技術基礎[M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 2008: 60-62.

[4] 張曉蓉, 吳成茂, 李文學. 基于多渦卷 Jerk-Chua 混沌和自編碼的擴頻碼構(gòu)造方法[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術, 2015, 37(4): 936-941.

[5] 劉龍生, 康云蓮, 趙俊玲. 廣義符號動力系統(tǒng)中的Li-Yorke混沌集和ω-混沌集[J]. 廣西師范大學學報:自然科學版, 2014, 32(2): 75-81.

[6] 魏炎炎. 超Rabinovich系統(tǒng)混沌現(xiàn)象及混沌同步的研究[D]. 西安: 西安建筑科技大學理學院, 2012.

[7]. Feedback and adaptive control and synchronization of a set of chaotic and hyperchaotic systems[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2007, 32(4): 1572-1582.

(責任編輯：饒 超)

Dynamical Analysis of a Hyper Chaos Entanglement System

WEI Yanyan, YANG Shuju

(School of Engineering, Yunnan College of Business Management , Kunming 650304, China)

A new hyper Rabinovich chaotic systems is proposed in this paper ,which adopts the method of sine function chaos entanglement. Then, it draws one attractor of the hyper system and analyzes the dynamical phenomena to finish the studies of phenomena of hyper chaos.

Super chaotic systems; Chaos entanglement; Chaotic attractor; Dynamical analysis

O415.5

A

2095-4476(2016)02-0019-03

2015-10-12

魏炎炎(1984— ), 女, 湖北隨州人, 云南經(jīng)濟管理學院工程學院講師.