徐斌，陶莉莉，程武山

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一種自適應(yīng)多策略差分進(jìn)化算法及其應(yīng)用

徐斌1，陶莉莉2，程武山1

（1上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海201620；2上海第二工業(yè)大學(xué)工學(xué)部，上海 201209）

針對(duì)差分進(jìn)化算法由于固定參數(shù)設(shè)置而易早熟或陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題，提出了一種自適應(yīng)多策略差分進(jìn)化算法（SMDE）。該方法以基本差分進(jìn)化為框架，首先引入一個(gè)變異策略候選集合，一個(gè)縮放因子候選集合和一個(gè)交叉參數(shù)候選集合，然后在搜索過(guò)程中，以過(guò)去的搜索信息為基礎(chǔ)，自適應(yīng)地為下一時(shí)刻進(jìn)化群體中的每個(gè)個(gè)體從候選集合中選擇一組合適的變異策略和控制參數(shù)，以便在不同的進(jìn)化時(shí)刻設(shè)置合適的變異策略和控制參數(shù)。對(duì)10個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，并與其他算法的結(jié)果進(jìn)行了比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，SMDE具有較好的搜索精度和更快的收斂速度。將SMDE用于化工過(guò)程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不確定參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法能較好地處理實(shí)際工程優(yōu)化問(wèn)題。

差分進(jìn)化算法；自適應(yīng)；多策略；動(dòng)態(tài)系統(tǒng)；參數(shù)估計(jì)

引 言

差分進(jìn)化算法（differential evolution，DE）是由Storn等[1]提出的新型啟發(fā)式搜索算法，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、可調(diào)參數(shù)少、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)，在求解各類復(fù)雜數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題以及實(shí)際工程優(yōu)化問(wèn)題方面取得了滿意的效果。但是，Pan等[2]認(rèn)為，DE的搜索性能很大程度上取決于其子代生產(chǎn)策略（變異策略和交叉策略）以及對(duì)應(yīng)的控制參數(shù)（種群規(guī)模，縮放因子和交叉參數(shù)CR），所以在使用DE求解問(wèn)題時(shí)，首先需要選擇合適的進(jìn)化策略，然后確定對(duì)應(yīng)的控制參數(shù)，才能使得算法效果較優(yōu)[3]。因此，如何為DE設(shè)置有效的進(jìn)化策略以及對(duì)應(yīng)的控制參數(shù)，在提高算法收斂速度和求解精度的同時(shí)，防止陷入局部最優(yōu)解，已經(jīng)成為當(dāng)前DE研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)。

在差分進(jìn)化算法參數(shù)配置方面，研究者們總結(jié)了一系列有效的設(shè)置經(jīng)驗(yàn)[4]，其中最為直接和有效的方案就是設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)調(diào)整方案，如Liu等[5]根據(jù)模糊原理，提出關(guān)于參數(shù)和CR的模糊適應(yīng)性推理規(guī)則。Brest等[6]將控制參數(shù)編碼到個(gè)體染色體中，然后根據(jù)搜索過(guò)程的反饋信息，自適應(yīng)地調(diào)整參數(shù)和CR，提出了jDE算法。Zhang等[7]根據(jù)子代與父代之間的競(jìng)爭(zhēng)情況、歷史進(jìn)化記錄以及統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)規(guī)則提出自動(dòng)調(diào)整和CR的JADE方法。Mallipeddi等[8]將變異策略和控制參數(shù)看成整體，提出一種集成學(xué)習(xí)方法。除了研究和CR之外，研究者們對(duì)種群規(guī)模也感興趣。Teo[9]使用絕對(duì)和相對(duì)的編碼方法，提出了能自動(dòng)調(diào)整、和CR的DESAP算法。Zhu等[10]根據(jù)搜索狀態(tài)，提出能自動(dòng)調(diào)整進(jìn)化種群的APTS策略。楊衛(wèi)東等[11]提出根據(jù)種群平均適應(yīng)度方差非線性改變交叉概率因子的方法，在種群多樣性不同時(shí)分別采用不同的調(diào)整策略。

最近，研究者們對(duì)DE進(jìn)化策略的自適應(yīng)調(diào)整產(chǎn)生了興趣。因?yàn)檫@類策略能夠在不同的進(jìn)化時(shí)刻采用不同的個(gè)體重組策略。Qin等[12]根據(jù)先前的成功搜索經(jīng)驗(yàn)自適應(yīng)地調(diào)整當(dāng)前的子代個(gè)體生成策略及其對(duì)應(yīng)的參數(shù)和CR，提出了SaDE算法。Wang等[13]提出了結(jié)合幾種有效的子代產(chǎn)生策略和合適的進(jìn)化參數(shù)來(lái)提高DE性能的思想。Gong等[14]提出一種能自動(dòng)為個(gè)體選擇合適的變異策略的策略選擇機(jī)制，并將其結(jié)合到JADE算法中，效果明顯。向萬(wàn)里等[15]設(shè)計(jì)交叉概率控制參數(shù)庫(kù)、變異尺度參數(shù)庫(kù)及差分變異策略庫(kù)，并采用不同的機(jī)制產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。Wu等[16]將進(jìn)化種群分為indicator種群和reward種群兩種類型，并采用3種不同的變異策略和類似JADE中自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整策略。為了提高計(jì)算效率，Gong等[17]將多策略模型和代理模型相結(jié)合，提出一種基于較為實(shí)用的多算子進(jìn)化算法模型，在求解復(fù)雜單目標(biāo)問(wèn)題方面具有優(yōu)勢(shì)。

結(jié)合控制參數(shù)和進(jìn)化策略自適應(yīng)調(diào)整這兩方面的優(yōu)勢(shì)，本文提出一種自適應(yīng)多策略差分進(jìn)化算法（self-adaptive differential evolution algorithm with multiple strategies，SMDE）。本方法以經(jīng)典DE算法為框架，為了充分利用進(jìn)化群體在迭代過(guò)程中的有用信息，增強(qiáng)算法搜索能力，引入一個(gè)變異策略集合、一個(gè)縮放因子集合以及一個(gè)交叉參數(shù)集合。然后在迭代計(jì)算過(guò)程中，根據(jù)過(guò)去的搜索信息，動(dòng)態(tài)自適應(yīng)地為種群中每個(gè)個(gè)體從這3個(gè)集合中選擇合適的變異策略以及控制參數(shù)和CR，在保證搜索效率的同時(shí)提高搜索精度，防止陷入局部最優(yōu)。

1 基本DE算法

rand/1

best/1

current-to-best/1

rand/2

best/1

其中，1、2、3、4、5是區(qū)間[1]內(nèi)與不等的隨機(jī)整數(shù)，且滿足兩兩互不相等?？s放因子是一個(gè)正常數(shù)，通常被限定在區(qū)間[0 1]之內(nèi)。變異之后得到的新個(gè)體與父代個(gè)體進(jìn)行交叉操作，交叉操作過(guò)程為

2 改進(jìn)差分進(jìn)化算法

本文提出的SMDE算法的一個(gè)重要特點(diǎn)是以過(guò)去成功的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，引入一個(gè)變異策略集合、一個(gè)縮放因子集合以及一個(gè)交叉參數(shù)集合。然后在迭代計(jì)算過(guò)程中，根據(jù)搜索信息自適應(yīng)地從集合中選擇參數(shù)參與計(jì)算。

2.1 變異策略自適應(yīng)調(diào)整策略

隨著DE的不斷發(fā)展，研究者們提出了許多不同類型的變異策略，但是，至今仍然沒(méi)有一種理論上的變異策略選擇方案，因此，在DE中采用多變異策略得到許多研究者們的青睞[12-15]。為了平衡SMDE算法在不同階段的探索和開(kāi)發(fā)能力，選擇rand/1、rand/2、current-to-best/1和best/2這4種不同類型的變異策略構(gòu)成一個(gè)變異策略候選集合（SS）。在進(jìn)化過(guò)程中，為種群中每個(gè)個(gè)體從集合SS中動(dòng)態(tài)選擇合適的變異策略，其自適應(yīng)調(diào)整方式為

2.2 控制參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略

在確定變異策略之后，需要確定一組合適的控制參數(shù)和CR。SMDE參數(shù)控制策略基本思想就是以這些經(jīng)驗(yàn)區(qū)間為基礎(chǔ)，在區(qū)間中選擇一些具有代表性的離散值構(gòu)成候選參數(shù)集合，然后在不同的進(jìn)化時(shí)刻，從參數(shù)集合中選擇合適的值參與計(jì)算。

對(duì)于參數(shù)，在區(qū)間[0.4 1.2]中，以0.1為步長(zhǎng)選擇9個(gè)值構(gòu)成候選集合FS，然后在進(jìn)化過(guò)程中，根據(jù)搜索信息為種群中每個(gè)個(gè)體動(dòng)態(tài)選擇合適的值，其自適應(yīng)調(diào)整方式為

對(duì)于參數(shù)CR，在區(qū)間[0.0 1.0]中，以0.2為步長(zhǎng)選擇6個(gè)值構(gòu)成CR候選集合CRS，然后在進(jìn)化過(guò)程中，根據(jù)搜索信息為種群中每個(gè)個(gè)體動(dòng)態(tài)選擇合適的CR值，其自適應(yīng)調(diào)整方式為

從上面的參數(shù)調(diào)整策略可以看出，該調(diào)整策略類似于jDE算法的調(diào)整策略[7]，但是，它們是不一樣的。首先，在SMDE中有變異策略的調(diào)整方案，而jDE中沒(méi)有；其次，SMDE從有限集合中選擇潛在參數(shù)，而jDE從給定的連續(xù)區(qū)間中隨機(jī)生成控制參數(shù)。

2.3 算法基本流程

結(jié)合基本DE算法的框架以及上述介紹的變異策略和控制參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略，提出自適應(yīng)多策略差分進(jìn)化算法（SMDE），具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下。

（1）算法初始化。設(shè)定種群規(guī)模為，算法停止條件max_nfes，變異策略候選集合SS，縮放因子候選集合FS，交叉參數(shù)候選集合CRS。

（2）種群初始化。設(shè)初始迭代步數(shù)=0，在搜索范圍內(nèi)隨機(jī)初始化初始種群，，并為種群中每個(gè)個(gè)體從3個(gè)候選集合中分別隨機(jī)選擇一個(gè)變異策略S，F和CR。

（4）按照式（7）執(zhí)行選擇操作。

（5）根據(jù)式（8）～式（10）調(diào)整和更新每個(gè)個(gè)體下一進(jìn)化時(shí)刻對(duì)應(yīng)的變異策略，和。

（6）判斷算法是否滿足終止條件。若滿足，則算法結(jié)束，輸出當(dāng)前最優(yōu)值為最終結(jié)果；若不滿足，令，并轉(zhuǎn)至步驟（3）。

3 實(shí)驗(yàn)設(shè)置與分析

3.1 SMDE算法性能測(cè)試

為了驗(yàn)證SMDE算法的有效性，選擇10個(gè)常用的基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真[18]。這10個(gè)測(cè)試函數(shù)中，有單峰函數(shù)，也有多峰函數(shù)，有的函數(shù)最優(yōu)值附近有大量局部極小值，因此具有代表性。為了方便對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行通知，選擇最小誤差、取得固定誤差值所需要的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)、成功率以及收斂曲線圖4個(gè)常用的技術(shù)指標(biāo)進(jìn)行結(jié)果分析[14]。

為了方便進(jìn)行結(jié)果比較和分析，選擇兩種具有代表性的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法（jDE[6]和SaDE[12]）進(jìn)行比較。對(duì)于SMDE，取種群規(guī)模，對(duì)于jDE與SaDE，其參數(shù)分別選擇對(duì)應(yīng)文獻(xiàn)建議值，算法停止條件為函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)max_nfes3×105次。3種算法獨(dú)立運(yùn)行25次后，統(tǒng)計(jì)誤差平均值與標(biāo)準(zhǔn)方差，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1。

從表1可以看出，對(duì)于問(wèn)題sph、ros和wht問(wèn)題，SMDE結(jié)果優(yōu)于jDE和SaDE，對(duì)于問(wèn)題ack和sal，SMDE表現(xiàn)較弱，對(duì)于其他問(wèn)題，3種算法都能取得較好的優(yōu)化結(jié)果。

表2給出了優(yōu)化過(guò)程中最小誤差值小于10-8時(shí)，25次獨(dú)立運(yùn)行所需要的平均目標(biāo)函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)以及成功率。從表格中可以看出，對(duì)于大多數(shù)問(wèn)題，如問(wèn)題sph、ack、ras、pn1以及pn1等，雖然3種算法都能在最大迭代次數(shù)范圍內(nèi)讓誤差值達(dá)到10-8，但是，SMDE所需要的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)更少，收斂速度更快。

表1 各算法運(yùn)行25次統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表2 成功率與平均迭代次數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

為了更加直觀地展示算法求解過(guò)程，圖1給出了10個(gè)測(cè)試函數(shù)收斂曲線。從圖1可以看出，對(duì)于問(wèn)題sph、ros、grw和wht，SMDE算法表現(xiàn)較好，對(duì)于問(wèn)題ras和sch，SMDE差于jDE，但收斂速度好于SaDE，而對(duì)于其他問(wèn)題，3種算法收斂性能相當(dāng)。

圖1 函數(shù)目標(biāo)函數(shù)收斂曲線

從上面的結(jié)果分析可知，SMDE算法相比jDE和SaDE具有優(yōu)勢(shì)，是一種有效的求解全局?jǐn)?shù)值優(yōu)化問(wèn)題的方法。

3.2 參數(shù)自適應(yīng)策略分析

為了分析SMDE算法中參數(shù)自適應(yīng)策略的有效性，選擇ros和wht這兩個(gè)代表性函數(shù)，對(duì)其參數(shù)自適應(yīng)搜索過(guò)程進(jìn)行具體分析。

圖2給出了在求解ros函數(shù)過(guò)程中，最優(yōu)結(jié)果為平均值對(duì)應(yīng)的那次運(yùn)行過(guò)程變異策略、縮放因子以及交叉參數(shù)概率變化曲線。從圖可以看出，在求解該函數(shù)時(shí)，變異策略current-to-best/1，縮放因子0.4以及交叉參數(shù)1.0使用概率較高，使用這種組合求解效率較高。

圖3給出了在求解wht函數(shù)過(guò)程中，變異策略、縮放因子以及交叉參數(shù)概率變化曲線。從圖3可以看出，在進(jìn)化前期，變異策略rand/1占優(yōu)勢(shì)，但是到后期，current-to-best/1策略占優(yōu)勢(shì)。對(duì)于縮放因子，進(jìn)化前期多個(gè)參數(shù)使用概率相差不大，但是到了后期，參數(shù)0.4使用較多。對(duì)于交叉參數(shù)，進(jìn)化前期參數(shù)0.0使用概率較大，但是后期參數(shù)1.0使用較多。

圖2 函數(shù)Fros求解過(guò)程參數(shù)概率變化曲線

圖3 函數(shù)Fwht求解過(guò)程參數(shù)概率變化曲線

從上面的結(jié)果分析可知，本文提出的參數(shù)自適應(yīng)策略是一種參數(shù)調(diào)整方案，使用該方案可以使算法能夠在不同的進(jìn)化時(shí)刻，根據(jù)前期搜索信息，選擇最為合適的進(jìn)化策略及其對(duì)應(yīng)的控制參數(shù)。

3.3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)及結(jié)果分析

通過(guò)求解10個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)，證明了SMDE的優(yōu)化性能，為了進(jìn)一步驗(yàn)證其在處理工程優(yōu)化問(wèn)題時(shí)的有效性，將其用于甲醇轉(zhuǎn)化為烴類物質(zhì)的反應(yīng)模型不確定參數(shù)最優(yōu)估計(jì)。甲醇轉(zhuǎn)化為各不同烴類的反應(yīng)模型表示形式為[19-20]

式中，A為氧化劑，B為甲醇，C為烴類物質(zhì)，P為鏈烷烴、芳香族化合物以及其他產(chǎn)品。假定上述所有反應(yīng)均為絕熱條件下的一階反應(yīng)，碳烯濃度為常數(shù)，總的反應(yīng)模型表示為

式中，1、2、3為A、C和P的濃度；是待辨識(shí)的模型參數(shù)。為了求解擬合模型，表3給出了實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程產(chǎn)物A、C和P的17組濃度測(cè)量值。

表3 不同時(shí)刻y的測(cè)量值

在系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)已知情況下，根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程觀測(cè)數(shù)據(jù)，取系統(tǒng)誤差平方和為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

表4給出了過(guò)程產(chǎn)物A、C和P模型輸出值與觀測(cè)值之間的誤差值（模型輸出值-測(cè)量值）。從表4中數(shù)值可以看出，大多數(shù)時(shí)刻濃度誤差值都比較小，最小可達(dá)1.19×10-4，最大值為3.98×10-2。圖4給出了系統(tǒng)模型輸出數(shù)值與觀測(cè)值擬合結(jié)果。表5給出了rSQP[20]，CPEMR[21]，PNSGA[19]，APSO[22]和SMDE 5種算法求解該動(dòng)態(tài)模型的結(jié)果。從結(jié)果可以看出，SMDE算法得到的目標(biāo)函數(shù)值較好，雖然對(duì)于某些成分值，如相對(duì)于APSO算法，A和P產(chǎn)物誤差值較大，但是C物質(zhì)誤差值較低，總體目標(biāo)函數(shù)值較好?？梢钥闯?，本文提出的SMDE算法是一種有效求解動(dòng)態(tài)系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的方法。

表4 3種產(chǎn)物不同時(shí)刻誤差值

圖4 擬合結(jié)果與觀測(cè)值比較

表5 5種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

4 結(jié) 論

提出一種新的基于多進(jìn)化策略的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法并用于求解化工過(guò)程動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題，結(jié)論如下。

（1）本文引入變異策略、縮放因子和交叉參數(shù)的候選集合，算法能針對(duì)不同的優(yōu)化問(wèn)題在不同的求解階段，根據(jù)過(guò)去的搜索信息從候選集合中選擇有效的變異策略及其對(duì)應(yīng)的控制參數(shù)。

（2）將SMDE算法用于求解復(fù)雜標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，結(jié)果表明，與代表性自適應(yīng)差分進(jìn)化算法相比，SMDE算法能有效提高算法搜索速度和解精度，防止陷入局部最優(yōu)值。

（3）將SMDE算法應(yīng)用于甲醇反應(yīng)動(dòng)態(tài)模型不確定參數(shù)估計(jì)，結(jié)果表明，SMDE算法在求解化工過(guò)程動(dòng)態(tài)模型系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題具有較高的求解精度和較好的應(yīng)用前景。

（4）本文SMDE算法未對(duì)交叉策略進(jìn)行深入研究，都是采用最基本的二項(xiàng)交叉算子，未來(lái)研究工作將關(guān)注交叉策略的自適應(yīng)調(diào)整策略，進(jìn)一步增強(qiáng)算法的魯棒性。

符 號(hào) 說(shuō) 明

A——氧化劑 B——甲醇 C——烴類物質(zhì) CR——交叉參數(shù) CRS——交叉參數(shù)候選集合 F——縮放因子 FS——縮放因子候選集合 max_nfes——算法最大迭代次數(shù) N——種群規(guī)模 n——優(yōu)化問(wèn)題維度 P——鏈烷烴、芳香族化合物以及其他產(chǎn)品 rand[0,1]——[0,1]之間的隨機(jī)數(shù) randi(·)——隨機(jī)整數(shù)選擇函數(shù) S——變異策略 SS——變異策略候選集合 u——交叉后個(gè)體 v——變異后個(gè)體 x——種群個(gè)體 y1——氧化劑濃度 y2——烴類物質(zhì)濃度 y3——鏈烷烴、芳香族化合物以及其他產(chǎn)品濃度 θ——待辨識(shí)模型參數(shù)

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A self-adaptive differential evolution algorithm with multiple strategies and its application

XU Bin1, TAO Lili2, CHENG Wushan1

(1School of Mechanical Engineering, Shanghai University of Engineering Science, Shanghai 201620, China;2College of Engineering, Shanghai Second Polytechnic University, Shanghai 201209, China)

A self-adaptive differential evolution algorithm with multiple strategies (SMDE) was proposed to overcome premature or localized optimization of differential evolution (DE) as a result of fixed parameter settings. Based on basic framework of classical DE, the first step in SMDE was to create a candidate set of mutation strategy, scale factor () and crossover rate (CR). In the followed searching process, mutation strategy,andCR for each individual variable in next evolutionary generation were determined self-adaptively from the corresponding candidate set according to knowledge learnt from previous searches, so that proper mutation strategies and control parameters could be set at various evolution stages. Compared to other famous DE variants on optimizing 10 routine standard testing problems, SMDE had better search precision and faster convergence rate. Moreover, study on estimation of uncertain parameters in dynamic process systems of chemical engineering showed that SMDE could effectively solve engineering optimization challenges.

differential evolution algorithm; self-adaptive; multiple strategies; dynamic system; parameter estimation

date: 2016-09-09.

XU Bin, xubin@mail.ecust.edu.cn

10.11949/j.issn.0438-1157.20161273

TP 301

A

0438—1157（2016）12—5190—09

上海高校青年教師培養(yǎng)資助計(jì)劃項(xiàng)目（ZZgcd14002）；上海市科委地方高校能力建設(shè)項(xiàng)目（14110501200）。

supported by the Young College Teachers Program of Shanghai Education Committee (ZZgcd14002) and the Local Colleges and Universities Capacity Construction Project of Shanghai Science and Technology Commission (14110501200).

2016-09-09收到初稿，2016-09-16收到修改稿。

聯(lián)系人及第一作者：徐斌（1984—），男，博士，講師。