謝運(yùn)華，趙慶生，郭賀宏，張學(xué)軍

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基于高精度測頻的修正DFT相量及功率測量算法

謝運(yùn)華1，趙慶生1，郭賀宏2，張學(xué)軍3

(1.太原理工大學(xué)電力系統(tǒng)運(yùn)行與控制山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030024；2.國網(wǎng)臨汾供電公司，山西 臨汾 041000；3.山西大學(xué), 山西 太原 030006)

為了提高頻率偏移時(shí)電力系統(tǒng)相量及功率測量精度，提出了一種基于改進(jìn)擴(kuò)展卡爾曼濾波(IEKF)頻率測量的修正離散傅里葉變換(DFT)相量及功率測量算法。分析了頻率發(fā)生偏移時(shí)非同步采樣下DFT的測量誤差，建立了相角、幅值與頻率偏移量和初相角之間的函數(shù)關(guān)系式。由IEKF得到頻率偏移量，然后對DFT計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正即可得到輸入信號的真實(shí)相量和功率。仿真結(jié)果表明：該算法相比較于傳統(tǒng)自適應(yīng)DFT算法能有效消除或減弱諧波、噪聲以及頻率偏移對相量同步測量的影響，提高了相量及功率測量精度。

離散傅里葉變換(DFT)；IEKF；非同步采樣；相量測量；功率測量

0 引言

近年來，電能質(zhì)量的監(jiān)測問題得到了廣泛的討論，電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。為了保證電力系統(tǒng)安全、穩(wěn)定和高效的運(yùn)行，有必要對電能質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測分析，尤其是對基波信號的幅值、相角和頻率的精確測量。這樣，同步相量測量技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生，而作為同步相量測量技術(shù)核心的同步相量測量算法，其精度直接影響到電力系統(tǒng)穩(wěn)定控制、故障分析及繼電保護(hù)等高級應(yīng)用的準(zhǔn)確性[1]。目前，常用的相量測量算法有卡爾曼濾波[2]、離散傅里葉變換(DFT)[3]、dq變換法[4]等等。

由于傳統(tǒng)DFT算法易受頻率波動(dòng)和噪聲的影響，造成非同步采樣而導(dǎo)致頻譜泄露和柵欄效應(yīng)嚴(yán)重影響了其測量精度[5]。文獻(xiàn)[6]提出了一種改進(jìn)相位差的相量測量算法，該算法在頻率偏移量計(jì)算上容易受低頻振蕩和諧波的干擾，從而限制了其應(yīng)用。電力系統(tǒng)基頻測量是相量和功率測量的基礎(chǔ)，許多學(xué)者也提出了各種基頻算法，像Prony算法[7]、牛頓類算法[8]等等。由于具有良好的濾波性能，各種線性、非線性的卡爾曼濾波方法得到越來越多的關(guān)注[9]。本文在傳統(tǒng)EKF的基礎(chǔ)上提出對模型噪聲協(xié)方差矩陣進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整的改進(jìn)EKF基頻測量方法；分析了頻率發(fā)生偏移時(shí)非同采樣下DFT的測量誤差，并建立了各個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系式，提出了對DFT計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正的幅值、相角和功率測量算法。最后，通過仿真驗(yàn)證了算法的有效性。

1 ?IEKF基頻測量原理

電力系統(tǒng)中離散電壓信號表示為

由文獻(xiàn)[9]可知基波信號三個(gè)連續(xù)采樣點(diǎn)滿足：

根據(jù)式(3)建立如下狀態(tài)方程和觀測方程：

由擴(kuò)展卡爾曼理論得狀態(tài)預(yù)測、更新過程：

其中：

由式(4)可得頻率值的計(jì)算公式為

根據(jù)文獻(xiàn)[10]的思想，本文在頻率計(jì)算迭代過程中對模型噪聲協(xié)方差矩陣進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整：

那么有：

2 ?非同步采樣下DFT誤差分析

由歐拉公式[11]，式(18)可以寫成如式(20)所示。

圖中：

圖1系數(shù)分析

Fig. 1 Coefficient analysis

為了便于對幅值關(guān)系式的推導(dǎo)，可將式(28)進(jìn)一步簡化為

由正弦函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式可得：

DFT算法的幅值和相角計(jì)算式為

3 ?功率誤差分析

假設(shè)輸入電壓電流信號為

由功率計(jì)算公式可得有功功率、無功功率：

根據(jù)式(28)、式(32)同理可得電流相角和幅值的真值與DFT測量值的關(guān)系式；在得到電壓、電流幅值和相角的真實(shí)值與誤差值關(guān)系的基礎(chǔ)上，根據(jù)式(36)計(jì)算真實(shí)有功功率和無功功率值。為減少計(jì)算量，需對有功、無功計(jì)算進(jìn)行必要簡化。

3.1有功率測量

不修正時(shí)，由DFT測量值直接計(jì)算有功功率：

3.2無功功率測量

同理可得DFT算法的無功功率計(jì)算式：

結(jié)合式(28)、式(32)，同理可將式(39)簡化為

4 算法性能仿真結(jié)果及分析

本文所采用的仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境為：Matlab 2010a，32-bit win7系統(tǒng)，Pentium(R) Dual-Core 3.00 GHz。對信號的采樣頻率統(tǒng)一為2?000 Hz。

4.1 算例1

假設(shè)測試電壓和電流信號數(shù)學(xué)模型如下所示。

4.1.1基波頻率追蹤效果

信號基波頻率由48 Hz以0.1 Hz的步長變化到52 Hz。IEKF基波頻率追蹤結(jié)果如圖2~圖4所示。

圖2頻率追蹤的收斂過程

Fig. 2Convergence process of frequency tracking

圖3誤差結(jié)果

圖4 50 Hz的頻率追蹤結(jié)果

(1)?圖2為48?Hz、50?Hz、52 Hz的三種頻率追蹤結(jié)果隨時(shí)間變化的情況。由圖可知，當(dāng)算法收斂時(shí)，頻率測量曲線與真實(shí)值曲線幾乎重合，說明IEKF頻率算法能有效地追蹤到基波頻率的變化。

(2)?圖3為算法穩(wěn)定后，對48~52?Hz的頻率跟蹤誤差，由圖可知結(jié)果誤差非常小，均小于0.002 Hz，可以滿足電力系統(tǒng)的相關(guān)實(shí)際應(yīng)用要求。

(3)?圖4為算法收斂后，頻率50 Hz追蹤的局部放大圖，由圖可知頻率跟蹤精度非常高，誤差小于0.001 Hz；大概在0.07?s的時(shí)候，頻率的誤差就被限制在了內(nèi)，頻率追蹤速度非?？?。

4.1.2修正非同步DFT相量測量算法

當(dāng)頻率取48~52 Hz不同值時(shí)，分別從幅值、相角誤差對本文算法與文獻(xiàn)[12]中自適應(yīng)DFT算法進(jìn)行對比，為避免重復(fù)，本文只對電壓進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖5~圖8所示；圖9和圖10為兩種算法所得到的有功功率和無功功率誤差率的對比圖。

相角、幅值誤差的定義如下：

相角誤差=測量值—真實(shí)值 (43)

幅值誤差=(測量值—真實(shí)值)×100%/真實(shí)值 (44)

式中，真實(shí)值均指基波信號的相角、幅值真實(shí)值。

(1)?圖5為信號基波頻率由48~52?Hz變化時(shí)，兩種算法的相角誤差圖；由圖可知，相角誤差在50 Hz附近最小，隨著頻率偏移量的增大誤差值有所增大；自適應(yīng)DFT算法的誤差曲線更為陡峭，最大誤差絕對值接近0.4o，而本文算法不到0.1o。

(2)?圖6為基波頻率變化時(shí)的電壓幅值誤差，同樣自適應(yīng)DFT算法的誤差曲線較為陡峭，其最大誤差絕對值接近4%，而本文小于0.5%；

(3)?圖7為基波頻率50.5 Hz下幅值測量結(jié)果圖；由圖可知兩種算法的幅值誤差都比較小，自適應(yīng)DFT算法相對而言較大，其幅值誤差最大處接近0.005；而本文算法的幅值誤差不超過0.002。

(4)?圖8為基波頻率50.5?Hz下相角誤差結(jié)果圖；由圖可知本文算法誤差非常小，小于0.015o；而自適應(yīng)DFT算法相角誤差大于0.07o。

圖7 50.5?Hz時(shí)電壓幅值

圖8 50.5Hz時(shí)電壓相角

圖9有功功率誤差率

圖10 無功功率誤差率

(5)?圖9為基波頻率在48~52 Hz時(shí)有功功率誤差率圖；由圖可知本文算法有功功率誤差率曲線接近原點(diǎn)線，誤差非常?。欢赃m應(yīng)DFT算法的誤差率隨頻率偏移量的增大，其最大值超過了0.02。

(6)?圖10為基波頻率在48~52 Hz時(shí)無功功率誤差圖；由圖可知本文算法無功功率誤差率很小，絕對值不超過0.001；而自適應(yīng)DFT算法的誤差率隨頻率偏移量的增大，最大絕對值超過了0.004。

4.2 算例2

假設(shè)電壓、電流信號數(shù)學(xué)模型同式(41)、式(42)；式中為50.5 Hz，隨時(shí)間在之間變化；實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果如圖11~圖13所示。

(1)?圖11和圖12為兩種算法有功功率、無功功率誤差率結(jié)果圖；橫坐標(biāo)為信號電壓、電流基波分量的相角差；由圖11可知，本文算法所得誤差率幾乎與原點(diǎn)線重合，非常??；而自適應(yīng)DFT算法的誤差率超過了0.02；與有功功率誤差率結(jié)果類似，由圖12可知本文算法無功功率誤差率幾乎與原點(diǎn)線重合；自適應(yīng)DFT算法誤差絕對值超過了0.002。

(2)?圖13為基波電壓電流相角差變化時(shí)兩種算法幅值誤差百分比結(jié)果圖；因本文算法精度非常高，故其誤差曲線幾乎與原點(diǎn)線重合，誤差非常??；而自適應(yīng)DFT算法的誤差百分比的絕對值則超過了1%；由以上幾點(diǎn)即可驗(yàn)證本文算法的有效性。

圖11有功功率誤差率

Fig. 11 Active power error rate

圖12無功功率誤差率

圖13電壓幅值誤差

5 ?結(jié)論

在信號頻率發(fā)生隨機(jī)變化，且信號中含有諧波和噪聲干擾時(shí)，本文所提出的基于IEKF頻率精確跟蹤的修正DFT算法原理簡單，能對信號的同步相量和功率進(jìn)行有效的測量，收斂速度快，雖然增加了一些有限的計(jì)算量，卻在很大的程度上提高了傳統(tǒng)的各種DFT算法所難以達(dá)到的精度，能滿足電力系統(tǒng)的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)要求。

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(編輯 姜新麗)

A modified DFT of phasor and power measurement algorithm based on high precision frequency measurement

XIE Yunhua1, ZHAO Qingsheng1, GUO Hehong2, ZHANG Xuejun3

(1. Shanxi Key Laboratory of Power System Operation and Control, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China;2. State Grid Linfen Power Supply Company, Linfen 041000, China; 3. Shanxi University, Taiyuan 030006, China)

In order to improve the power system phase and power measurement accuracy when frequency offset, this paper presents a modified DFT of phasor and power algorithm based on improved expansion Kalman filter (IEKF) frequency measurement, the measurement error of DFT under nonsynchronous sampling caused by frequency offset is analyzed, and the function relationship between the phase, amplitude and frequency offset and initial phase angle is established. The frequency offset is obtained by IEKF, and then the DFT calculation results can be corrected to obtain the real phase and power of the signal. The simulation results show that theproposed method compared with the traditional adaptive DFT algorithmcan effectively eliminate or weaken the influence of harmonics, noise and frequency offset on the synchronized phasor measurement, and improve the precision of phasor and power measurement.

This work is supported by National Natural Science Foundation of China (No. 51505317) and Natural Science Foundation of Shanxi Province (No. 2015011057).

discrete Fourier transformation (DFT); improved extended Kalman filter; non-synchronous sampling; phasor measurement; power measurement

10.7667/PSPC151000

2015-06-15；

2015-08-17

謝運(yùn)華(1990-)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)建模與仿真；E-mail：dadizizi@163.com

趙慶生(1969-)，男，通信作者，博士，副教授，主要研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)運(yùn)行與控制和電力系統(tǒng)建模與仿真。E-mail: zhaoqs1996@163.com

國家自然科學(xué)青年基金項(xiàng)目(51505317)；山西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2015011057)