李天勻，王露，郭文杰，楊國棟，朱翔

華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北武漢430074

有限長半充液圓柱殼振動特性分析

李天勻，王露，郭文杰，楊國棟，朱翔

華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北武漢430074

基于能量泛函變分原理，研究有限長半充液圓柱殼自由振動特性和受迫振動特性。殼體各向位移采用三角級數(shù)與傅立葉級數(shù)的組合形式，利用三角級數(shù)與傅立葉級數(shù)的正交性，在變分后可消去其他2個方向的位移，只保留徑向位移。通過對固液耦合接觸面連續(xù)條件的正交化處理以及自由液面邊界條件，可建立流體載荷幅值與徑向位移幅值的關(guān)系，最終得到流固耦合控制方程。結(jié)果對比表明，能量泛函變分方法正確、有效，可為求解半充液圓柱殼固液耦合振動問題提供新的思路。

能量泛函變分；圓柱殼；振動特性；正交性

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20160317.1056.028.html期刊網(wǎng)址：www.ship-research.com

引用格式：李天勻，王露，郭文杰，等.有限長半充液圓柱殼振動特性分析［J］.中國艦船研究，2016，11（2）：106-110.

LI Tianyun，WANG Lu，GUO Wenjie，et al.Vibration characteristics analysis of finite cylindrical shells semi-filled

with liquid［J］.Chinese Journal of Ship Research，2016，11（2）：106-110.

0　引　言

圓柱殼結(jié)構(gòu)在船舶工程中應(yīng)用十分廣泛，例如，水下潛艇就可以近似等效為浸沒圓柱殼結(jié)構(gòu)，可以將各類船舶管路看成充液圓柱殼結(jié)構(gòu)。通常，都是在無限域中研究此類結(jié)構(gòu)，但在許多工況下，結(jié)構(gòu)往往處于部分充液或部分浸沒情況，比如，在碼頭系泊情況下的潛艇，或者部分充液的管路。因此，研究此類工況下結(jié)構(gòu)固液耦合振動特性就顯得尤為重要。

國內(nèi)外大量的學(xué)者曾做過有關(guān)全充液（浸沒）圓柱殼的研究工作。Lee和Lu［1］以有限長簡支充液圓柱殼為研究對象，提出了求解固有頻率的一種簡便算法。Zhang等［2］運用波傳播法分析了充液圓柱殼的自由振動特性。Liu等［3］研究了靜水壓力下圓柱殼的聲輻射特性。陳忱等［4-5］提出了水下圓柱殼的臨界載荷預(yù)報方法。

而有關(guān)部分充液（浸沒）圓柱殼的研究工作則較少。Selmane和Lakis［6］研究了圓柱殼部分充液時的自振特性，但并未計及自由液面的影響。王斌和湯謂霖［7］研究了半潛狀態(tài)無限長圓柱殼的聲輻射特性。葉文兵等［8-9］基于波傳播方法，對潛浮狀態(tài)下的無限長圓柱殼聲振特性進行了研究，得出高頻激勵時遠場聲壓近似于解析表達式。Amabili［10-11］基于瑞利—李茲法，求解了部分充液圓柱殼的固有頻率和模態(tài)振型。Ergin等［12］利用鏡像原理，結(jié)合邊界元處理半無限域流體，對部分充液圓柱殼自振特性展開了分析。

本文將基于能量泛函變分原理，分析有限長半充液簡支圓柱殼的振動特性。由于部分充液情況下的流體載荷解析表達式不易得到，故本文擬從特例出發(fā)來研究半充液情況，此時的流體載荷解析表達式就較易得到。利用結(jié)構(gòu)和流體交界處速度連續(xù)條件，可以采用位移幅值表示流體載荷，根據(jù)三角級數(shù)和傅立葉級數(shù)的正交性最終得到總能量的簡易表達式。最后，根據(jù)變分后三向幅值之間的線性關(guān)系，將控制方程簡化為只與徑向幅值相關(guān)的矩陣形式，以使求解受迫響應(yīng)更為簡便。

1　理論分析

半充液圓柱殼的長度為L，厚度為h，半徑為R，周向角為θ，殼體兩端簡支，處于半充液狀態(tài)。軸向x、周向θ和徑向r的位移分別為u，v，w，點諧激勵力為 fr，如圖1所示。

圖1　半充液圓柱殼模型圖Fig.1　Cylindrical shells model semi-filled with liquid

由于殼體兩端簡支，位移場如下所示：

式中：m和n分別為軸向、周向波數(shù)；km=mπx/L；Umn，Vmn和Wmn分別為軸向、周向、徑向位移幅值。

本文采用能量變分的方法研究有限長半充液圓柱殼的振動特性，首先，需得到各能量分量的表達式。殼體勢能可以表示為

式中：ε為應(yīng)變分量；σ為應(yīng)力分量；V為體積。

根據(jù)正交性，也可以寫成

式中：ξmn=｛Umn，Vmn，Wmn｝；Kmn為三階Hermite矩陣。

殼體動能為

式中：ρ為結(jié)構(gòu)密度；ω為角頻率。

同理，根據(jù)正交性，上式可以表示為

式中，Mmn為三階對角矩陣。

流體做功為

式中，Pf為結(jié)構(gòu)表面流體載荷，分布區(qū)域位于角度-π～0處。

點激勵力做功為

式中，F(xiàn)0為激勵力幅值，其激勵力位置位于（x0，θ0）處，激勵力頻率為 f0。

由上述各能量分量，可得到能量泛函表達式

在流固耦合的求解過程中，通常是將液體看作不可壓縮的理想流體。由此，可以引入速度勢函數(shù)?（x，r，θ，t），柱坐標系下流體的拉普拉斯方程為

這里采用分離變量法求解拉普拉斯方程，考慮自由液面速度勢為0：

對于充液圓柱殼，滿足在軸心處徑向位移為0：

滿足條件的速度勢函數(shù)的表達式為

式中，Ik（）為第1類修正貝塞爾函數(shù)。

在流體與殼體的接觸面上，流體的徑向位移必須等于殼體的徑向位移，即

經(jīng)正交化處理，得

由伯努利方程，可得壁面處的流體動壓力為

根據(jù)變分原理，滿足

由對幅值Umn，Vmn的偏導(dǎo)為0，可以得到其與幅值Wmn的線性關(guān)系，簡寫為

式中，a1，b1，c1和a2，b2，c2均為關(guān)于角頻率ω、剛度矩陣Kmn和質(zhì)量矩陣Mmn的系數(shù)，即Umn和Vmn可以由Wmn進行代換，最終根據(jù)對幅值Wmn的偏導(dǎo)為0，可以得到方程

式中，Amn為關(guān)于角頻率ω、剛度矩陣Kmn和質(zhì)量矩陣Mmn的系數(shù)。

當(dāng)n的截斷數(shù)為-N～N，m的截斷數(shù)為M，k的截斷數(shù)為K時，上式可以寫成矩陣形式，給定某一m值，方程可簡寫為

式中，Tm為2N+1階方陣。當(dāng)激勵力頻率 f0給定時，將Tm矩陣中的所有ω替換為2πf0便可求出Wmn；當(dāng)求解自由振動時，可令Tm的行列式為0，以解得各階固有頻率。

2　數(shù)值計算

2.1半充液圓柱殼自由振動分析

模型參數(shù)取自文獻［10］：殼長L=0.664 m，半徑R=0.175 m，厚度h=0.001 m，殼體密度 ρ= 7 680 kg/m3，楊氏模量E=206 GPa，泊松比μ=0.3，流體密度 ρf=1 000 kg/m3。因采用本文的方法固有頻率收斂較快，故取截斷項數(shù)N=10，K=10；在固有頻率已收斂，m=1時，取前4階固有頻率，數(shù)值仿真采用有限元軟件Patran。頻率及周向振型如表1和表2所示。

表1　前4階固有頻率Tab.1　First four order natural frequencies

表2　理論與數(shù)值仿真振型對比Tab.2　Comparison of vibration modes between theoretical method and numerical simulation

由表1和表2可以看出，采用本文方法計算自由振動固有頻率準確、有效。相對于全浸沒（充液）或者真空中的情況，從振型可以看出，并沒有出現(xiàn)規(guī)則的周向波，實際上，每一階模態(tài)振型都是由許多規(guī)則周向波按一定權(quán)重進行的疊加，這是區(qū)別于全浸沒（充液）圓柱殼或者光殼的地方。

2.2半充液圓柱殼受迫振動分析

模型保持不變，點激勵力幅值 F0=1，位于x0=L/2，θ0=-π/2處，激勵力頻率范圍為2～200 Hz，掃頻間隔為2 Hz。在殼體表面取4個測點，點1的坐標x1=L/2，θ1=-π/2；點2的坐標 x2=L/2，θ2=0；點3的坐標x3=L/4，θ3=-π/2；點4的坐標x4=L/4，θ4=0。定義位移響應(yīng)級LW=20 log10（wa/w0），其中wa為測點徑向位移絕對值，w0=10-12m。計算程序取截斷項數(shù)N=10，K=10，M=8，此時，位移響應(yīng)級收斂較好。由此，可以得到本文理論方法和數(shù)值仿真的測點位移響應(yīng)級，如圖2所示。

由圖2可以明顯看出，采用本文方法所得結(jié)果與數(shù)值仿真軟件計算的各點位移響應(yīng)級吻合較好，表明采用本文方法計算受迫響應(yīng)正確、可行。同時還可看到，4個峰值點均位于100，130和 180 Hz附近，這些頻率均為結(jié)構(gòu)的前幾階固有頻率，當(dāng)激勵力頻率在此附近時，會引起結(jié)構(gòu)共振，位移出現(xiàn)峰值。

圖2　各點位移響應(yīng)級Fig.2　The displacement response level of each point

3　結(jié)　論

本文基于能量泛函變分原理，分析了有限長半充液簡支圓柱殼的自由振動和受迫振動特性，得到以下幾點結(jié)論：

1）相比于全充液或者不充液的情況，半充液簡支圓柱殼的周向會產(chǎn)生不規(guī)則波，而非規(guī)則的周向波，這是因為部分存在的流體會引起周向模態(tài)的交互耦合，從而產(chǎn)生不規(guī)則的疊加波。

2）本文的位移在周向采用的是傅立葉復(fù)指數(shù)級數(shù)的展開形式，相比于傅立葉三角級數(shù)，這樣可以避免因既有正弦又有余弦而帶來積分方面形式的不統(tǒng)一，剛度矩陣和質(zhì)量矩陣處理起來也更為便捷。

3）本文基于級數(shù)正交性，將三向位移幅值變換成徑向位移幅值簡化了算法，取得了較好的效果。

本文從部分充液的特例，即半充液情況出發(fā)，研究了圓柱殼的流固耦合振動特性。今后，還將就部分充液（浸沒）情況開展更為深入的研究。

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Vibration characteristics analysis of finite cylindrical shells semi-filled with liquid

LI Tianyun，WANG Lu，GUO Wenjie，YANG Guodong，ZHU Xiang
School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China

Free vibration and forced vibration characteristics of finite cylindrical shells semi?filled with liq?uid are studied in this paper，based on the energy functional variational principle.The combined form of the triangular series and the Fourier series is used to represent the displacement of the cylindrical shell，and the orthogonality is then used to eliminate the displacement on the other two directions after the varia?tion，where only the radial displacement is kept.The relationship between the amplitudes of fluid load and the amplitudes of the radial displacement is established with the orthogonal processing of the continuous conditions of the solid-liquid coupling contact surface and the boundary conditions of the free liquid sur?face.Finally，the fluid structure coupling control equation is obtained.The results show that the proposed method is both correct and effective；in addition，it provides a new thought for solving similar problems.

energy functional variation；cylindrical shells；vibration characteristics；orthogonality

U661.44

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2016.02.014

2015-05-29網(wǎng)絡(luò)出版時間：2016-3-17 10:56

國家自然科學(xué)基金資助項目（51379083）

李天勻（通信作者），男，1969年生，博士，教授。研究方向：船舶結(jié)構(gòu)振動與噪聲控制。

E-mail：ltyz801@hust.edu.cn

朱翔，男，1980年生，博士，副教授。研究方向：船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)力學(xué)，振動與噪聲控制。

E-mail：zhuxiang@hust.edu.cn