武海浪，陳徐均，黃亞新，劉俊誼

(解放軍理工大學 野戰(zhàn)工程學院，江蘇 南京 210007)

水下樁腿長度變化對浮式結(jié)構(gòu)固有頻率的影響研究

武海浪，陳徐均，黃亞新，劉俊誼

(解放軍理工大學 野戰(zhàn)工程學院，江蘇 南京 210007)

為了分析帶支腿浮式結(jié)構(gòu)水下樁腿處于不同的長度時振動固有頻率的變化情況，采用有限元方法和三維線性水彈性理論對一理想的帶支腿浮式結(jié)構(gòu)進行研究，分工況計算了3種彈性模態(tài)的干、濕固有頻率。結(jié)果表明對于同一階彈性模態(tài)來說，結(jié)構(gòu)主體平臺振型是決定水動力系數(shù)大小的主要因素，樁腿水下長度是次要因素，而振型又受到樁腿長度的制約；樁腿水下長度的改變對帶支腿浮式結(jié)構(gòu)的干模態(tài)固有頻率以及濕固有頻率都有較明顯地調(diào)制作用。對于干模態(tài)固有頻率來說，樁腿關于船身越趨于對稱分布時結(jié)構(gòu)的共振頻率越高；對于濕固有頻率來說，水下樁腿長度地增加有迫使共振頻率趨向低頻方向移動趨勢。

海洋工程；水彈性力學；帶支腿浮式結(jié)構(gòu)；固有頻率；模態(tài)分析；樁腿長度

Abstract:To analyze the dry and wet natural frequencies of the floating structure with legs,the hydrodynamic coefficients and the stiffness coefficients of the floating structure with legs are calculated by utilizing the Finite Element Method and the 3 D linear hydroelasticity theory.The results show the main factor that determines the hydrodynamic coefficients of the identical elastic mode is the mode shape of the main platform,and the length of the legs is the secondary factor,however,the mode shape of the main platform is restricted by the legs.The variation of the leg's length underwater can prominently modulate both the dry natural frequencies and the wetted natural frequencies of the floating structure with legs.In the dry condition,with the legs turning to the symmetrical distribution about the main body,the natural frequency of the structure tends to move to the high frequency domain.In the wet condition,the modulation effects of the legs on the natural frequencies are manifested by adjusting the added mass.With the legs stretching out from the bottom of the main body,the wetted frequencies have the tendency to move to the low frequency domain.

Keywords:ocean engineering; hydroelasticity; floating structure with legs; natural frequency; model analysis; length of the legs

帶支腿浮式結(jié)構(gòu)是指在浮式平臺的基礎上設計加裝一定數(shù)量的可升降支腿而形成的新型工程結(jié)構(gòu)。該工程結(jié)構(gòu)通過升降裝置的動作，平臺主體或樁腿可垂直升降。如自升式石油鉆井平臺和自升(自航)式風電安裝船就是典型的帶支腿浮式結(jié)構(gòu)。國內(nèi)外學者對這種工程結(jié)構(gòu)有較多的研究[1-10]，這些研究主要是針對該結(jié)構(gòu)處于支承狀態(tài)時所展開的。

帶支腿浮式結(jié)構(gòu)在放/提樁過程中，樁腿既未觸及海底也未完全收起，結(jié)構(gòu)始終處于漂浮狀態(tài)，樁腿的存在將導致浮式結(jié)構(gòu)的水彈性性質(zhì)與普通浮式結(jié)構(gòu)不同。一方面，樁腿的收放會導致結(jié)構(gòu)質(zhì)量分布發(fā)生變化，這必然使結(jié)構(gòu)同一種干模態(tài)的振型和固有頻率也會發(fā)生變化；另一方面，水下樁腿的伸長或者縮短會使得船體的重心位置、轉(zhuǎn)動慣量，濕面積等船體自身物理屬性隨時發(fā)生改變，這樣流場中速度勢的定解問題中的物面條件會發(fā)生改變導致其解會發(fā)生改變。最終會引起三維線性水彈性方程中的每一個參數(shù)發(fā)生相應地調(diào)整和變化。在這個過程中，帶支腿浮式結(jié)構(gòu)的濕固有頻率必然會發(fā)生相應地調(diào)整。

固有頻率是浮式結(jié)構(gòu)重要的屬性，一直受到關注。殷玉梅等[11]推導了船舶上層建筑整體縱向振動固有頻率預報公式，將上層建筑縱向振動固有頻率視為由上層建筑根部剛性固定在船體上的剪彎振動固有頻率和上層建筑根部彈性固定在主船體上的剛體回轉(zhuǎn)振動固有頻率兩部分串聯(lián)合成。為了使船舶在固有頻率變化時也有好的減搖效果，金鴻章等[12]研究了雙水艙減搖系統(tǒng)。劉文璽等[13]對系泊浮體的固有頻率、各種工況下大幅非線性運動、纜索張力等進行了計算，并進行了對比研究。王顯正等[14]用一維梁有限元方法和三維有限元方法計算3艘實船總振動固有頻率，對計算結(jié)果進行統(tǒng)計分析，提出對一維梁有限元方法計算結(jié)果地修正，該方法能有效改進一維梁有限元計算方法，可快速準確地預報船舶總振動固有頻率。

樁腿在水下長度的改變而引起浮體濕固有頻率變化的研究尚不多見[15-17]，這里采用有限元方法和線性三維水彈性理論對一理想化的帶支腿浮式結(jié)構(gòu)進行分析，計算了該浮式結(jié)構(gòu)水下樁腿處于不同的長度時二節(jié)點垂彎振動、三節(jié)點垂彎振動、一節(jié)點扭轉(zhuǎn)振動時固有頻率，重點分析了引起浮式結(jié)構(gòu)固有頻率變化的機理和原因。

1 帶支腿浮式結(jié)構(gòu)固有頻率分析原理

1.1干固有頻率計算

用有限元方法，任意形式結(jié)構(gòu)的運動方程可表示為[18]：

式中：M、C、K分別為浮體總質(zhì)量矩陣、總阻尼矩陣和總剛度矩陣；U為節(jié)點位移向量；P為結(jié)構(gòu)分布力。

忽略外部荷載以及阻尼得到系統(tǒng)的自由振動方程：

假設式(2)中的自由振動為頻率為ω的簡諧振動，這樣便得到：

每一個特征值都有一個特征向量與之相對應Dr，代表第r階模態(tài)：

1.2濕固有頻率計算

假定船體結(jié)構(gòu)周圍的流體為理想、不可壓縮流體，波浪振幅值為小量，可得自由狀態(tài)下浮體的線性水彈性方程[19]：

若令廣義輻射力有如下表達式：

式中：n是物體濕表面上的單位法向量；ur為該點第r階位移振型；φk(x,y,z)表示輻射波速度勢的空間分量，它表示當浮體在平衡位置附近以入射波圓頻率ω，以第k階干模態(tài)振型作單位主坐標幅值振蕩時所誘導的流場周圍的流體運動速度勢；pk表示結(jié)構(gòu)動力學控制方程中的主坐標響應復數(shù)幅值；ρ為流體密度；i是虛數(shù)單位。這樣，廣義輻射力可以表示為：

式中：Trk表示浮體以頻率ω、第k階模態(tài)作單位幅值的簡諧運動時，浮體所受到的第r階輻射力。它可以表示為：

其中，

式中：Re，Im分別表示取復數(shù)的實部和虛部，系數(shù)Ark與加速度同相位，Brk與速度同相位，所以它們分別稱為附加質(zhì)量和附加阻尼系數(shù)。

恢復力系數(shù)的表達式：

式中:Crk表示廣義恢復力系數(shù)。當r≤6以及k≤6時，上式即退化為剛體運動的恢復力系數(shù)矩陣，其余情況則為彈性變形模態(tài)和剛體運動的耦合交叉項。

當帶支腿浮式結(jié)構(gòu)處于波浪中，對于其垂蕩、橫搖、縱搖以及每一階彈性模態(tài)，當其作給定頻率ω的運動時都對應有其本身的濕固有頻率ωwr，該頻率可由如下特征方程求解：

其中，arr和crr為結(jié)構(gòu)廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣對角元素；Arr(ω)為浮體以頻率ω作振蕩運動的附加質(zhì)量矩陣對角元素；Crr為靜水恢復力矩陣對角元素。

2 帶支腿浮式結(jié)構(gòu)特性分析

2.1有限元建模及工況劃分

圖1 梁單元帶支腿浮式結(jié)構(gòu)Fig.1 The floating structure with legs formed by beam

將船身簡化為水平三維梁是水彈性分析的常用方法[20-26]。文中將主體平臺簡化為水平梁的組合，同時，將船身上攜帶的樁腿簡化為垂直三維梁。為了將樁腿合理的加裝到主體平臺上，具體方法及相關參數(shù)：選取某型帶支腿浮式結(jié)構(gòu)為研究對象，結(jié)構(gòu)長度約為130 m，寬38 m，型深8 m。6個升降腿分布于全船兩側(cè)，每個樁腿高68 m，截面為4 m×4 m方形。如圖1，將船身簡化為水平梁組合，采用有限元分析軟件建模。將代表主體平臺的梁單元放置于水平面之上，若不考慮樁腿的存在，主體平臺重心始終位于靜水面上，平衡坐標系的原點位置。

按樁腿長度對所建立的模型分為5種工況，如表1所示。將工況5設定為工況1的對稱形式，其上部樁腿的長度恰好為工況1上部樁腿的長度，而工況5下部樁腿的長度為工況1上部樁腿的長度，這樣重心的位置就與工況1的重心位置關于靜水面相對稱。而轉(zhuǎn)動慣量和工況1的情況完全一致。工況2和工況4也是一組對稱工況，工況3獨立于工況1、5和工況2、4自成一類。

表1 帶支腿浮式結(jié)構(gòu)工況設置Tab.1 The set of the cases

算例只是一個理想的帶支腿浮式結(jié)構(gòu)，實際帶支腿浮式結(jié)構(gòu)的配重分布未必能滿足上述要求。但本文著重于帶支腿浮式結(jié)構(gòu)濕固有頻率變化的機理解釋，故選擇了這樣的一種建模方法來進行分析。按照上面兩兩一組的劃分工況好處在于，當進行干模態(tài)分析的時候，由于工況相對稱，真空中帶支腿浮式結(jié)構(gòu)的相同的模態(tài)，其振型和固有頻率必定一致。當對兩種結(jié)果相同的干模態(tài)結(jié)果放到波浪中進行水彈性分析時，由于同一組中的兩種工況的水下樁腿長度是不一樣的，可能會導致結(jié)果的差異。對比這種差異性結(jié)果就可以有針對性的分析樁腿對帶支腿浮式結(jié)構(gòu)濕固有頻率的影響。增強了結(jié)果的可對比性，有利于對水彈性理論中濕固有頻率計算機制的認識。

2.2模態(tài)分析

主要考察樁腿的存在對主體平臺振型和頻率的影響，暫時不考慮樁腿本身振動而產(chǎn)生的彈性模態(tài)，故認為樁腿的剛度遠遠大于船身剛度。分別提取了帶支腿浮式結(jié)構(gòu)三種振動：二節(jié)點垂直彎曲；三節(jié)點垂直彎曲；一節(jié)點扭轉(zhuǎn)振動。如表2所示，分別給出了樁腿處于5種工況下的振型和固有頻率。

表2 帶支腿浮式結(jié)構(gòu)干模態(tài)振型及固有頻率Tab.2 The mode shape and natural frequencies of the floating structure with legs

在一個模態(tài)振型下，當樁腿向下伸長，由工況1轉(zhuǎn)為工況5，浮式結(jié)構(gòu)干模態(tài)固有頻率有先增大后減小的趨勢。如在二節(jié)點垂彎時，工況1的固有頻率為1.459 41 Hz，工況2時為1.529 52 Hz，到工況3時固有頻率最大，為1.554 20 Hz，工況4時為1.529 52 Hz，工況5為1.459 41 Hz。三節(jié)點垂彎和一節(jié)點扭轉(zhuǎn)振動也有類似的規(guī)律，這表明樁腿的存在對帶支腿浮式結(jié)構(gòu)的垂彎振動固有頻率確實存在著影響，且樁腿越是關于主體平臺對稱分布，上述三種振動的固有頻率就會越大，這反應了樁腿對帶支腿浮式結(jié)構(gòu)干模態(tài)固有頻率地調(diào)制作用。

工況1和工況5，工況2和工況4的垂彎模態(tài)振型是相互對稱的，固有頻率相一致，振型的幅度也是一致的。這樣將工況1、工況2和工況3的垂彎歸一化振型提出來，放在一張圖中進行對比，如圖2所示，每一幅圖中都有三種工況的帶支腿浮式結(jié)構(gòu)的振型。

對于二節(jié)點垂彎，如圖2(a)，對比三種工況主體平臺振型可知，工況3主體平臺的垂彎程度明顯比工況2和工況1的振幅更大，工況1的垂彎振幅為這三種振型中最小的工況?？梢姸?jié)點垂彎振動中，樁腿越是趨于對稱，不僅固有頻率越大，而且主體平臺的歸一化振幅也越大。同樣的規(guī)律也存在于一節(jié)點扭轉(zhuǎn)振動和三節(jié)點垂彎振動當中，如圖2(b)和圖2(c)所示。

圖2 模態(tài)振型對比圖Fig.2 Comparison of the mode shapes

3 水動力建模及結(jié)果分析

3.1濕面網(wǎng)格劃分

已有的三維線性水彈性計算程序采用了單對稱復合勢的方法對水動力參數(shù)進行求解。如果所研究的浮式結(jié)構(gòu)是關于x或者y軸的對稱結(jié)構(gòu)，那么只需要定義一半濕面單元即可。

對帶支腿浮式結(jié)構(gòu)5種工況下的濕面進行了網(wǎng)格劃分，如圖3所示。將靜水面作為濕面元劃分的起算點，由于樁腿的升降而帶來的水線面的改變在此被忽略。因此，平衡坐標系中零刻度線以下的面積均被認為是浮式結(jié)構(gòu)的濕面。結(jié)構(gòu)主體平臺的型深為8 m，定吃水為4 m，為型深的一半，與上部分面積形成對稱。

5種工況中，帶支腿浮式結(jié)構(gòu)的主體船身上濕面單元的劃分是相同的，共有面元540個，各種工況之間，濕面的主要差距體現(xiàn)在樁腿上。工況1有648個面元。以此類推，工況2時結(jié)構(gòu)上共劃分了744個面元；工況3為840個面元；工況4為936個面元；工況5為1 032個面元。圖3給出了工況1和工況5的面元劃分示意圖。

圖3 各種工況濕面元劃分Fig.3 The set of the wetted panels

3.2水動力系數(shù)分析

利用三維線性水彈性理論，通過數(shù)值方法，可求得帶支腿浮式全梁式結(jié)構(gòu)在波浪中運動的附加質(zhì)量和附加阻尼，即水動力系數(shù)。這里重點討論二節(jié)點垂彎、一節(jié)點扭振和三節(jié)點垂彎這幾個模態(tài)的濕固有頻率，因此，圖4至圖6給出了這三個運動模態(tài)的水動力系數(shù)對角線元素隨無因次頻率的關系曲線。圖中橫坐標與縱坐標所代表的物量均進行了無量綱化處理。A為附加質(zhì)量，B為附加阻尼，ρ為流體密度，L為結(jié)構(gòu)長度，Vol為浮式結(jié)構(gòu)排水體積，g為重力加速度，ω為圓頻率。

對于二節(jié)點垂彎來說，如圖4(a)，工況3所代表的曲線高于其余幾種工況，而其余工況的水動力系數(shù)也沒有按照水下樁腿的長短進行排列。這和剛體模態(tài)的特性表現(xiàn)出了差異[15]。剛體模態(tài)的分析中，通常是工況5所獲得的附加質(zhì)量最大，附加質(zhì)量與水下樁腿長度有很好的正相關性。而此時，樁腿最長的工況5所獲得的附加質(zhì)量還略低于水下樁腿長度遠低于它的工況4。由圖4(b)也可知，工況3的附加阻尼系數(shù)峰值是所有工況中最大。出現(xiàn)以上現(xiàn)象的原因在于，盡管工況3在五種工況中可積分的濕表面不是最大的，但經(jīng)過對比可知，樁腿處于工況3時，帶支腿浮式結(jié)構(gòu)主體平臺的歸一化振型的振幅最大，樁腿的濕表面積和主體平臺濕表面相比較是一個小量。因此，水動力系數(shù)計算公式中，主體平臺的模態(tài)振型這一項就成為了影響水動力系數(shù)大小的主要因素，而樁腿長度變化導致的濕表面稱為次要因素，因此二節(jié)點垂彎模態(tài)中工況3的附加質(zhì)量和附加阻尼系數(shù)最大。而工況1和工況5主體平臺歸一化振型的振幅最小，因此，在二節(jié)點垂彎水動力系數(shù)的計算中，這一組值相對來說偏低。

圖4 二節(jié)點垂彎水動力系數(shù)Fig.4 Hydrodynamic coefficients of 2-node VB

圖5 一節(jié)點扭轉(zhuǎn)振動水動力系數(shù)Fig.5 Hydrodynamic coefficients of 1-node tortion

圖6 三節(jié)點垂彎水動力系數(shù)Fig.6 Hydrodynamic coefficients of 3-node VB

同時，盡管工況1和工況5主體平臺的模態(tài)振型相一致，但對比工況1和工況5的附加質(zhì)量發(fā)現(xiàn)，前者要低于后者。原因在于，工況1和工況5主體平臺的模態(tài)振型相同后，積分面積就成了水動力系數(shù)積分當中的主要因素，工況1水下的樁腿短于工況5，附加質(zhì)量系數(shù)自然略低于工況5的情況。因此當振型一致時，樁腿水下長短又成了影響水動力系數(shù)的主要因素。工況2和工況4的附加質(zhì)量關系同樣可以用上述原理進行解釋。一節(jié)點扭轉(zhuǎn)振動和三節(jié)點垂彎振動也有相類似的規(guī)律。

從上述分析可以看出，工況不同時，主體平臺的模態(tài)振型是主要因素，當主體平臺振型一致時，樁腿在水下的長度上升為影響水動力系數(shù)的主要因素。這體現(xiàn)出對稱分析法在帶支腿浮式結(jié)構(gòu)分析中的優(yōu)勢，即在對稱與非對稱，相等與不相等中分清帶支腿浮式結(jié)構(gòu)水彈性分析中的主要因素和次要因素。按同樣的方法對下面的模態(tài)進行分析。

3.3濕固有頻率分析

前面已經(jīng)分析了帶支腿浮式結(jié)構(gòu)各個工況的附加質(zhì)量、靜水恢復力和剛度矩陣，按式(6)可以計算出結(jié)構(gòu)不同工況下各階模態(tài)的濕固有頻率，表3給出了濕固有頻率的計算結(jié)果。

表3 各工況濕固有頻率 Tab.3 The wet resonant frequencies of the cases (rad/s)

對于帶支腿浮式結(jié)構(gòu)的對于彈性體模態(tài)，同一種振動模態(tài)，樁腿長度不同，濕固有頻率也不一樣。這三種振動的濕固有頻率隨水下樁腿長度的增加均呈現(xiàn)出減小的趨勢，如表3所示，當帶支腿浮式結(jié)構(gòu)處于工況1時，其二節(jié)點垂彎濕固有頻率為5.507 0 rad/s；工況2時為5.406 9 rad/s；工況3時為5.349 5 rad/s；工況4時為5.047 8 rad/s；工況5時為4.597 6 rad/s。

這些數(shù)據(jù)都表明，和帶支腿浮式結(jié)構(gòu)干模態(tài)固有頻率一樣，樁腿同樣對帶支腿浮式結(jié)構(gòu)的濕固有頻率具有明顯地調(diào)制作用，但這種調(diào)制作用的表現(xiàn)形式和調(diào)制的機理卻各不相同。對于干模態(tài)固有頻率來說，樁腿關于船身越趨于對稱分布時結(jié)構(gòu)的振動固有頻率越高，樁腿的調(diào)整使得結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布發(fā)生了變化，使得固有頻率發(fā)生變化；對于濕固有頻率來說，水下樁腿長度地增加引起結(jié)構(gòu)附加質(zhì)量的非線性調(diào)整。從綜合效果看，有迫使共振頻率趨向低頻方向移動趨勢。

4 結(jié) 語

采用有限元法和線性三維水彈性理論對一理想化的帶支腿浮式結(jié)構(gòu)進行分析，計算了該浮式結(jié)構(gòu)水下樁腿處于不同長度時各種模態(tài)的固有頻率，重點分析了引起結(jié)構(gòu)固有頻率變化的機理和原因。

前人的研究結(jié)果認為對于帶支腿浮式結(jié)構(gòu)剛體模態(tài)來說，水動力系數(shù)大小主要取決于樁腿水下長度，其水下樁腿長度越大，水動力相對系數(shù)越大。本文研究表明，對于彈性模態(tài)來說，主體平臺振幅、水下樁腿長度和水動力系數(shù)三者之間成為一種耦合關系。結(jié)構(gòu)主體平臺振幅是決定水動力系數(shù)大小的主要因素，樁腿處于對稱分布時，主體平臺的振幅最大，水動力系數(shù)相對最大，同一種振型下，工況3的附加質(zhì)量可以是工況1的2～3倍。樁腿長度成為了次要因素，只有當振幅相同時，水下樁腿長度越長，水動力系數(shù)才越大，此時，工況5的附加質(zhì)量可約為工況1的2倍，但同時振幅的大小又受到樁腿長度的制約。

對于干模態(tài)固有頻率來說，樁腿關于船身越趨于對稱分布，結(jié)構(gòu)的共振頻率向高頻移動。對于濕固有頻率來說，水下樁腿長度的增加引起結(jié)構(gòu)附加質(zhì)量的非線性調(diào)整，從綜合效果看，則有迫使共振頻率趨向低頻方向移動趨勢。由于樁腿的存在，帶支撐腿浮式結(jié)構(gòu)形成了具有一定寬度的共振頻域區(qū)間。二節(jié)點垂彎振動的共振頻域區(qū)間相對較窄，而一節(jié)點扭轉(zhuǎn)振動和三節(jié)點垂彎的共振頻域區(qū)間則相對較寬。

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The modulation effects of the legs on the natural frequencies of the floating structure

WU Hailang,CHEN Xujun,HUANG Yaxin,LIU Junyi

(College of Field Engineering,PLA University of Science and Technology,Nanjing 210007,China)

P751; U661.1

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2016.03.006

1005-9865(2016)03-0047-08

2015-10-16

國家自然科學基金(51379213)；國家工信部高性能船舶科研項目(工信部聯(lián)裝[2012]533)；國家科技支撐計劃課題(2014bab16b05)

武海浪(1983-)，男，博士研究生，主要從事浮式工程結(jié)構(gòu)流固耦合動力研究。E-mail：whlwzgrape@163.com

陳徐均。E-mail:chenxujun213@sina.com