洪鋒，袁建平，周幫倫，石洋

（1.江蘇大學(xué)流體機體機械工程技術(shù)研究中心，江蘇鎮(zhèn)江212013；2.埃因霍分理工大學(xué)機械工程系，埃因霍分5612AZ荷蘭）

改進Schnerr-Sauer模型在水翼空化模擬中的評估分析

洪鋒1，2，袁建平1，周幫倫1，石洋1

（1.江蘇大學(xué)流體機體機械工程技術(shù)研究中心，江蘇鎮(zhèn)江212013；2.埃因霍分理工大學(xué)機械工程系，埃因霍分5612AZ荷蘭）

為了提高Schnerr-Sauer模型模擬空化流動的能力，基于Rayleigh-Plesset方程和均相流假設(shè)建立了一種修正的Schnerr-Sauer空化模型，修正后的模型考慮了湍動能引起的脈動壓力和不可凝結(jié)氣體的影響。聯(lián)立渦粘度系數(shù)修正的SST k-ω湍流模型，對繞二維Clark-Y翼型空化流進行了非定常數(shù)值計算，得到了時均化升阻力系數(shù)隨空化數(shù)的變化曲線、云狀空化時空泡周期性演變及其水平速度分布規(guī)律。通過與已有文獻的實驗結(jié)果對比分析得到，采用修正后的空化模型計算得到的時均化升阻力系數(shù)與實驗值更為接近，并能較準(zhǔn)確地捕捉升阻力系數(shù)隨空化數(shù)的特殊變化規(guī)律；修正后的Schnerr-Sauer模型能準(zhǔn)確地模擬翼型表面空化云的初生、成長、脫落和潰滅的全過程。本文的研究結(jié)果驗證了修正后的Schnerr-Sauer模型在水翼空化流數(shù)值計算中的可靠性和準(zhǔn)確性。

空化流；水翼；空化模型；湍流模型；數(shù)值計算；阻力系數(shù)；Schnerr-Sauer模型

空化是水動力學(xué)中特有的一種物理現(xiàn)象，研究空化現(xiàn)象對改善水力機械和船艦推進器性能具有很現(xiàn)實的工程意義，發(fā)展空泡流動的數(shù)值模擬技術(shù)是目前空化研究領(lǐng)域中的熱點［1］。

當(dāng)前，在工程實際應(yīng)用中主要使用以下三種類型的空化模型來模擬空化流場:1）基于簡化Rayleigh-plesset方程的空化模型（如Singhal等［2］模型、Zwart-Gerber-Belamri［3］模型及 Schnerr-Sauer［4］模型）；2）基于經(jīng)驗得出的比例化空化模型（如Merk-le［5］模型、Kunz［6］模型）；3）通過空泡受力分析得出的空化模型（如Tamura［7］模型）。上述空化模型中，基于簡化Rayleigh-Plesset方程的空化模型是在混合多相流模型的不可壓縮連續(xù)性方程中導(dǎo)出了空化反應(yīng)速率，由于工程上解決空化問題的需要，ANSYS FLUENT v6.0開始引入Zwart-Gerber-Belamri模型和Schnerr-Sauer模型，并成功模擬了水翼的空化問題［8-12］。然而，文獻［13-14］中指出，基于簡化Rayleigh-plesset方程的Schnerr-Sauer空化模型在模擬云狀空化時存在不足，因此為了改善該類空化模型模擬空化流動的能力，本文基于Schnerr-Sauer模型的思想及均相流假設(shè)，推導(dǎo)出一種考慮不可凝結(jié)氣體及湍流脈動壓力影響的修正Schnerr-Sauer模型；然后應(yīng)用UDF（User-defined Function），把修正后的Schnerr-Sauer模型加載到ANSYS FLUENT v14.5平臺并聯(lián)立渦黏度系數(shù)修正的SST k-ω湍流模型對二維Clark-Y翼型的空化流場進行數(shù)值計算。通過與原始的Schnerr-Sauer模型模擬結(jié)果及已有文獻中的實驗結(jié)果作對比，驗證修正后的Schnerr-Sauer模型在非定常空化流動計算中的可行性及準(zhǔn)確性。

1　Schnerr-Sauer空化模型改進

參照文獻［2］將空化流還原成液態(tài)水，空泡及不可凝結(jié)氣體（non-condensable gas，NCG）的三相混合物，并且重新定義混合流體密度為

式中:αv和ρv分別為空泡體積分?jǐn)?shù)和密度，αg和fg分別為NCG體積分?jǐn)?shù)和質(zhì)量分?jǐn)?shù)，ρl為液態(tài)水的密度。NCG的體積分?jǐn)?shù)與質(zhì)量分?jǐn)?shù)對應(yīng)關(guān)系為

原始的Schnerr-Sauer空化模型蒸發(fā)與凝結(jié)項分別為

為了考慮不可凝結(jié)氣體的影響，將式（3）、（4）修正為

式中:αg為NCG體積分?jǐn)?shù)。為了體現(xiàn)湍流脈動對空話初生的影響，將空化壓力進行修正為

式中:pturb為湍動能引起的脈動壓力；psat為飽和蒸汽壓，取25℃時水的飽和汽化壓力psat=3 169 Pa；ρm為混合介質(zhì)的密度，k為湍動能。

式（5）、（6）就是修正后的Schnerr-Sauer空化模型空化源項，與文獻［15］中修正后Schnerr-Sauer模型相比，本文的修正方法還體現(xiàn)了NCG對蒸發(fā)及凝結(jié)過程的影響。確定不可凝結(jié)氣體的質(zhì)量分?jǐn)?shù)和體積分?jǐn)?shù)分別為fg=1×10-6和αg=7.8×10-4。fg直接影響混合密度的改變，進而決定修正粘度μt和pv的改變，從而影響空化初生。αg直接決定空化速率S的改變，進而影響翼型的空化范圍［16］。

2　湍流模型及局部可壓縮性修正

由于最初的RANS（或URANS）湍流模型是在單相、完全不可壓縮介質(zhì)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，因而不能直接應(yīng)用在可壓縮的兩相流動數(shù)值計算中。在使用RANS模型模擬空化流動時會過渡預(yù)測空穴尾部的湍流黏度，導(dǎo)致在空穴尾部區(qū)域產(chǎn)生了比實際大很多的粘滯力并阻礙流場中回射流結(jié)構(gòu)因能量不足而無法向上游運動。因此，在使用RANS模型模擬這類空化流場時就無法準(zhǔn)確模擬物理現(xiàn)象的本質(zhì)特征，從而使得模擬失真。為了提高對水翼表面空化的預(yù)測精度，根據(jù)Reboud等［17］的思想，考慮到氣液混合區(qū)局部可壓縮性的影響，本文采用SST k-ω并對湍流黏度μT作如下相應(yīng)的修正:

式中:n取值為3，ρm為混合流體密度，k為湍動能，ω為耗散率，其余變量與原始SST k-ω湍流模型保持一致。

3　計算網(wǎng)格及邊界條件

計算采用弦長c=70 mm的Clark-Y型水翼，圖1給出了計算區(qū)域及其邊界條件。計算區(qū)域的入口距翼型前緣為4c，出口距翼型尾緣的距離為5c。為了保證壁面函數(shù)對無量綱y+值的要求，對翼型周圍近壁面區(qū)域進行了網(wǎng)格加密，如圖2所示。

數(shù)值計算邊界條件為速度進口、壓力出口，上下邊界均為自由無滑移壁面條件，翼型表面采用絕熱、無滑移固壁條件。為了保證與實驗條件一致，設(shè)定進口速度為Uin=10 m/s，出口壓力大小根據(jù)空化數(shù)取得。翼型攻角α=8°，由弦長、來流速度及介質(zhì)的黏度系數(shù)，得到對應(yīng)的雷諾數(shù)Re=7×105。

圖1　計算域及其邊界條件Fig.1 Computational domain and boundary conditions

圖2　計算網(wǎng)格Fig.2 Computational meshes

本文對計算域劃分了4套不同尺寸的網(wǎng)格并作網(wǎng)格無關(guān)性驗證，網(wǎng)格節(jié)點數(shù)分別為N1=69 226，N2=83 208，N3=105 588及N4=123 188。網(wǎng)格無關(guān)性驗證結(jié)果如表1所示，從表1中可以看出，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)大于N3時，兩種不同空化數(shù)條件下水翼的升阻力系數(shù)相對變化均小于1%，表明此時網(wǎng)格數(shù)量對計算結(jié)果的影響可以忽略。同時，網(wǎng)格數(shù)為N3時，翼型的升阻力系數(shù)與試驗值誤差均在5.5%以內(nèi)。圖3、4分別為當(dāng)空化數(shù)σ=3.0時通過計算得到的翼型表面壓力系數(shù)（-Cp）及無量綱y+值，從圖中可以看出，壓力系數(shù)計算值與實驗值吻合較好且翼型表面網(wǎng)格的y+大部分在30～90，滿足壁面函數(shù)對近壁面區(qū)域網(wǎng)格的要求。因此，最終選擇網(wǎng)格3作為本文的計算網(wǎng)格。

表1　網(wǎng)格無關(guān)性驗證Table 1 Mesh independence check

圖3　水翼表面壓力系數(shù)分布Fig.3 Surface pressure coefficient of hydrofoil

圖4　水翼表面y+分布Fig.4 Wall y+distribution of hydrofoil

4　計算結(jié)果及分析

4.1時均化升阻力系數(shù)

為研究在不同程度空化條件下，采用修正后的Schnerr-Sauer模型及渦黏度系數(shù)修正的SST k-ω湍流模型的聯(lián)合求解能力。本文通過數(shù)值計算的方法得到了原始Schnerr-Sauer模型及修正后的Schnerr-Sauer模型在多種空化數(shù)條件下水翼的升阻力系數(shù)，并與已有文獻中的實驗結(jié)果作對比分析，結(jié)果如圖5所示。由于空化是一種包含相變的瞬時物理現(xiàn)象，本文所有計算均為非定常，時間步長設(shè)置為Δt= 1×10-4s，總迭代步數(shù)設(shè)置為2 000，取最后8個周期內(nèi)升阻力系數(shù)的平均值作為時均化后的計算結(jié)果。定義空化數(shù)σ，升力系數(shù)Cl及阻力系數(shù)Cd分別為

式中:pout為出口壓力，pv為空化壓力，ρl為水的密度，Uin為來流速度，c為翼型弦長。

分析升力系數(shù)可以看出，在無空化條件下，由于介質(zhì)中空化核的存在以及不可凝結(jié)氣體的作用，導(dǎo)致二者計算得到的升力系數(shù)并不相同。采用修正后的Schnerr-Sauer模型得到的升力系數(shù)與實驗值相比略微偏高，而原始Schnerr-Sauer模型模擬得到的計算值比實驗值低，如圖5（a）所示。根據(jù)實驗描述［18］，當(dāng)空化數(shù)降低至σ=1.6時，初生空化形成，此時翼型頭部的低壓區(qū)流體因發(fā)生空化而形成了典型的游離型泡狀結(jié)構(gòu)，并附著于水翼表面，從而導(dǎo)致升力系數(shù)出現(xiàn)了小幅上升。從圖中可以看到，修正后的Schnerr-Sauer模型能夠捕捉到升力系數(shù)這種特殊的行為特征，而原始的Schnerr-Sauer模型不具有這種能力。隨著空化數(shù)降低至σ=1.4時，游離型空泡逐漸過渡到片狀空化，此時水翼吸力面附著有一層呈片狀的空穴薄層，并最終導(dǎo)致升力急劇下降。

分析阻力系數(shù)可以看出，兩種空化模型預(yù)測得到的阻力系數(shù)均低于實驗值，在空化初生時，阻力系數(shù)才開始迅速增大，但是修正后的Schnerr-Sauer模型模擬得到的阻力系數(shù)與實驗值變化趨勢一致，即在空化數(shù)σ=1.6時才開始增大，而原始的Schnerr-Sauer模型在空化數(shù)為σ=1.8處時就開始增大；當(dāng)空化數(shù)降低至σ=1.0左右時，云狀空化開始逐漸形成，這時阻力系數(shù)達到最大值，從圖中可以看出，修正后的Schnerr-Sauer模型模擬得到的阻力系數(shù)也達到最大值，而原始的Schnerr-Sauer模型計算得到的阻力系數(shù)保持繼續(xù)上升趨勢，表明原始的Schnerr-Sauer模型無法捕捉阻力系數(shù)在云狀空化條件下的這種特殊變化規(guī)律。綜上，無論是在非空化條件還是空化條件下，修正后的Schnerr-Sauer模型與原始的Schnerr-Sauer模型相比，更能準(zhǔn)確地預(yù)測翼型所受到的升阻力。

圖5　時均化升阻力系數(shù)預(yù)測值與實驗值［18］對比Fig.5 Comparisons of time-averaged lift and drag coefficients between simulation and experiment［18］

4.2準(zhǔn)周期性的云狀空化

4.2.1云狀空化形態(tài)演變

當(dāng)空化數(shù)降低至σ=0.8時，附著于翼型表面上片狀空穴薄層的長度和厚度都出現(xiàn)了明顯增大，靠近尾緣處的空穴形態(tài)逐漸變得不穩(wěn)定并有大量空泡脫落，云狀空化形成［16］。采用兩種空化模型計算得到的云狀空化及實驗結(jié)果如圖6所示，每個分圖中左欄為實驗結(jié)果［19］，右欄上為采用修正后的Schnerr-Sauer模型的模擬結(jié)果，右欄下為采用原始的Schnerr-Sauer模型的模擬結(jié)果。需要注意的是，根據(jù)實驗測量，云狀空化演化周期為40 ms，采用修正的Schnerr-Sauer模型計算得到的云狀空化演化周期為35.9 ms，而原始的Schnerr-Sauer模型計算得到的云狀空化演化周期為30.2 ms，表明修正后的Schnerr-Sauer模型預(yù)測得到的云空化周期性演變過程與實驗結(jié)果基本一致。

云狀空化一個周期內(nèi)演化主要分為以下幾個階段:1）在t=t0時刻，翼型前緣處片狀空穴幾乎消失，尾緣處空泡開始逐漸脫離翼型壁面，從圖中可以看到，原始的Schnerr-Sauer模型模擬得到的空穴形態(tài)與實驗結(jié)果相差較大，而修正后的Schnerr-Sauer模型的缺陷是無法模擬出此時翼型前緣處的少許片狀空穴，但能較好地模擬尾緣處逐漸脫離翼型表面的空泡團；2）在t=t0+38%T時刻，附著于翼型表面的片狀空穴發(fā)展至最大長度且尾緣處的空泡團消失，修正后的Schnerr-Sauer模型模擬的空穴長度與實驗結(jié)果吻合較好，而原始的Schnerr-Sauer模型無法準(zhǔn)確模擬此時的片狀空穴形態(tài)；3）在t=t0+70%T時刻，翼型尾緣處的空泡團逐漸脫落并向下游移動，對比發(fā)現(xiàn)，修正后的Schnerr-Sauer模型能夠捕捉到尾緣處脫落的空泡，而原始的Schnerr-Sauer模型捕獲這一細節(jié)的能力欠佳；4）在t=t0+84%T時刻，翼型前緣的片狀空穴又開始逐漸回縮，尾緣處的大體積空泡團逐漸形成，開始重復(fù)t=t0時刻空泡形態(tài)特征。

4.2.2云空化水平速度分布特性

為了揭示云空化流場的運動特性，研究了流場內(nèi)四個不同位置（x/c=0.4、x/c=0.6、x/c=0.8和x/c=1.2，其中x為水平方向到水翼前緣的距離，y為垂直方向到水翼表面的距離）上的水平速度分布，結(jié)果如圖7所示。整體上看，與原始的Schnerr-Sauer模型相比，采用修正后的Schnerr-Sauer模型計算得到的時均水平分速度與實驗值吻合程度更好。

結(jié)合圖6、7可以看出，采用修正后的Schnerr-Sauer模型更能準(zhǔn)確反映水翼發(fā)生云空化時的流場情況。在x/c=0.4位置處，靠近翼型表面處流體具有較大的速度梯度，但遠離壁面處流體速度趨于一致，與主流速度較接近。在x/c= 0.8位置處，靠近翼型表面處流體的時均水平速度出現(xiàn)負值，表明該區(qū)域的速度方向與主流方向相反，說明該區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)了反向射流，隨著離壁面距離的增大，時均水平分速度也逐漸與主流速度達到一致；在x/c=1.2位置處，距離翼型表面不同位置處流場速度發(fā)生了急劇變化，出現(xiàn)了較大范圍的逆向水平速度，表明該區(qū)域內(nèi)形成了較大區(qū)域的漩渦結(jié)構(gòu)。在x/c=0.8和x/c=1.2位置處模擬得到的速度場與實驗值有較大差異，原因是所采用的SST k-ω模型本質(zhì)上是標(biāo)準(zhǔn)雙方程湍流模型，該類湍流模型預(yù)測能力具有一定的局限性。由于該類湍流模型對速度場進行時均化處理因而無法對空化區(qū)域內(nèi)的微小漩渦結(jié)構(gòu)進行準(zhǔn)確預(yù)測。

圖6　一個典型周期內(nèi)實驗和模擬的云空化空泡演變對比Fig.6 Comparisons of cavity shape evolution between simulation and experiment

圖7　云空化條件下不同位置處時均水平分速度分布比較Fig.7 Comparisions of time-averaged u-velocity at different locations at cloud cavitation

5　結(jié)論

本文基于Schnerr-Sauer空化模型的思想和均相流假設(shè)建立了一種考慮不可凝結(jié)氣體及湍動能脈動影響的空化模型（修正后的Schnerr-Sauer模型）。在SST k-ω湍流模型中引入與混合密度相關(guān)的修正函數(shù)對湍流粘度系數(shù)進行了修正，分別采用原始Schnerr-Sauer模型及修正后的Schnerr-Sauer模型對二維Clark-Y水翼繞流空化流場進行數(shù)值模擬，并與文獻中的實驗結(jié)果作對比，得到的主要結(jié)論有:

1）與原始的Schnerr-Sauer模型相比，采用修正后的Schnerr-Sauer模型計算得到的升阻力系數(shù)與實驗值吻合程度更高，特別是捕捉空化初生時的升力系數(shù)及云狀空化形成時的阻力系數(shù)所表現(xiàn)出的特征。

2）修正后的Schnerr-Sauer模型與原始模型計算出的云空化周期分別為35.9 ms和30.2 ms。修正后的Schnerr-Sauer模型能較清晰地模擬云狀空泡的初生、發(fā)展、潰滅和脫落的全過程。

3）云狀空化階段，下游處（x/c=1.2）距離翼型表面不同位置處流場速度發(fā)生了急劇變化，出現(xiàn)了較大范圍的逆向水平速度，但本文所采用的湍流模型在預(yù)測該處流動速度時出現(xiàn)了較大偏差。

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本文引用格式：

洪鋒，袁建平，周幫倫，等.改進Schnerr-Sauer模型在水翼空化模擬中的評估分析［J］.哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2016，37（7）:885-890.

HONG Feng，YUAN Jianping，ZHOU Banglun，et al.Assessment of improved Schnerr-Sauer model in cavitation simulation around a hydrofoil［J］.Journal of Harbin Engineering University，2016，37（7）:885-890.

Assessment of improved Schnerr-Sauer model in cavitation simulation around a hydrofoil

HONG Feng1，2，YUAN Jianping1，ZHOU Banglun1，SHI Yang1
（1.Research Center of Fluid Machinery Engineering and Technology，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China；2.Department of Mechanical Engineering，Eindhoven University of Technology，Eindhoven 5612AZ，Netherlands）

To enhance the capability of Schnerr-Sauer model in simulating cavitating flows，in this study，we developed an improved Schnerr-Sauer model based on the Rayleigh-Plesset equation and homogeneous flow assumption. The model considers the effects of turbulent fluctuation and noncondensable gas.The unsteady cavitating flow over a two-dimensional Clark-Y hydrofoil was numerically investigated combined with the SST k-ω turbulence model，in which the turbulence eddy viscosity is corrected.We obtain the time-averaged lift and drag coefficients，the cavity shape evolution at cloud cavitation，and its x-velocity profiles from these calculations.Compared with available experimental data in the literature，the time-averaged lift and drag coefficients predicted from the improved Schnerr-Sauer model agree better with the experimental results than with those of the original.In addition，the modified model can accurately predict the characteristics of the time-averaged lift and drag coefficients during different cavitation conditions.Moreover，the improved model can better simulate the inception，growth，shedding，and collapse of cloud cavitation than the original model.The overall results prove the reliability and accuracy of the improved Schnerr-Sauer model in cavitating flow simulations over a hydrofoil.

cavitating flow；hydrofoil；cavitation model；turbulence model；numerical simulation；drag coefficient；Schnerr-Sauer model

10.11990/jheu.201505010

S277.9；TH311

A

1006-7043（2016）07-885-06

2015-05-06.網(wǎng)絡(luò)出版日期：2016-05-04.

國家自然科學(xué)基金重點項目（51239005）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃項目（KYLX_1040）；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程項目（PAPD）.

洪鋒（1988-），男，博士研究生；袁建平（1970-），男，研究員，博士生導(dǎo)師.

洪鋒，E-mail:zjjaihf@163.com.

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