羅阿妮，李旭，李全賀，程建軍，劉賀平

（哈爾濱工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001）

三桿張拉整體折展過程動(dòng)力學(xué)分析

羅阿妮，李旭，李全賀，程建軍，劉賀平

（哈爾濱工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001）

本文針對(duì)三桿張拉整體結(jié)構(gòu)的折展問題，提出一種索驅(qū)動(dòng)的方法。利用矩陣法分析，使用節(jié)點(diǎn)廣義坐標(biāo)和連接矩陣描述結(jié)構(gòu)中各構(gòu)件的位置和空間分布，建立結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型；通過索構(gòu)件長(zhǎng)度協(xié)調(diào)變化，桿構(gòu)件長(zhǎng)度不變來分析結(jié)構(gòu)的折展過程。在考慮構(gòu)件彈性的情況下，對(duì)水平索為主動(dòng)構(gòu)件實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)向軸線方向折疊的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析。通過仿真分析驗(yàn)證了此折疊方案的可行性。并對(duì)折展過程中構(gòu)件的長(zhǎng)度和內(nèi)力的變化進(jìn)行了分析，分析結(jié)果表明：張拉整體結(jié)構(gòu)通過構(gòu)件長(zhǎng)度協(xié)調(diào)變化可實(shí)現(xiàn)折展功能，此方法可使用于三桿張拉整體單元以及以三桿張拉整體單元為基礎(chǔ)的復(fù)雜張拉整體結(jié)構(gòu)。

張拉整體；節(jié)點(diǎn)廣義坐標(biāo)；連接矩陣；構(gòu)件內(nèi)力；可展結(jié)構(gòu)

張拉整體結(jié)構(gòu)是一種由連續(xù)受拉的索和不連續(xù)的受壓桿構(gòu)件組成的自應(yīng)力穩(wěn)定結(jié)構(gòu)［1］。結(jié)構(gòu)質(zhì)量較傳統(tǒng)的可展結(jié)構(gòu)輕，且折疊后體積緊湊［2］，因此，張拉整體結(jié)構(gòu)的可展研究具有重要意義。

張拉整體結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為可展結(jié)構(gòu)的研究中，折展方式和運(yùn)動(dòng)過程的動(dòng)力學(xué)分析是兩個(gè)重要方面。本文突破了以構(gòu)件為研究對(duì)象的傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建方法，基于節(jié)點(diǎn)廣義坐標(biāo)［3-5］、連接矩陣、系統(tǒng)剛度矩陣［6-9］建立分析模型。為便于分析本文以三桿張拉整體［10-12］單元為基礎(chǔ)進(jìn)行折展方式的研究及運(yùn)動(dòng)過程的動(dòng)力分析。

1　三桿張拉整體結(jié)構(gòu)構(gòu)建

三桿張拉整體結(jié)構(gòu)如圖1所示，由正三棱柱，下端面固定，各棱繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°［3，10］得到。以棱柱下底面形心 o為原點(diǎn)，x軸由形心o指向節(jié)點(diǎn)1，z軸由下底面形心指向上表面形心。結(jié)構(gòu)有6個(gè)節(jié)點(diǎn)、9根索、3根桿（細(xì)線表示索，粗線表示桿）。

1.1節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

節(jié)點(diǎn)廣義坐標(biāo)矢量矩陣［10］:

其中

式中:r為棱柱底面節(jié)點(diǎn)構(gòu)成三角形外接圓半徑，h為棱柱的高度（見圖1）。

圖1　三桿張拉整體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Three-bar tensegrity structure diagram

1.2分析構(gòu)件連接矩陣及構(gòu)件矢量陣

連接矩陣的一行，代表系統(tǒng)的一個(gè)節(jié)點(diǎn)廣義坐標(biāo)與系統(tǒng)所有構(gòu)件的關(guān)系（起點(diǎn)“-1”、終點(diǎn)“1”、無關(guān)“0”）。連接矩陣的一列代表系統(tǒng)的一個(gè)構(gòu)件與系統(tǒng)所有節(jié)點(diǎn)廣義坐標(biāo)之間的關(guān)系［3-5］（起點(diǎn)“-1”、終點(diǎn)“1”、無關(guān)“0”）。

桿連接矩陣［10］為

通過節(jié)點(diǎn)矩陣及桿連接矩陣可以得到桿的空間向量:

索的連接矩陣［10］為

通過節(jié)點(diǎn)矩陣及索連接矩陣可以得到索的空間向量:

對(duì)構(gòu)件向量求模，可得到桿構(gòu)件長(zhǎng)度。

2　折展分析

2.1折展方式

改變桿構(gòu)件或索構(gòu)件的長(zhǎng)度都可以促使結(jié)構(gòu)展開和折疊。由于索構(gòu)件長(zhǎng)度容易改變，而且其柔性也降低了展收的難度。因此，選擇桿構(gòu)件長(zhǎng)度不變，只調(diào)節(jié)索構(gòu)件長(zhǎng)度來促使結(jié)構(gòu)折展。

具體有兩種折疊方式:通過水平索主動(dòng)縮短，斜索隨動(dòng)伸長(zhǎng)，就可以使結(jié)構(gòu)向軸線折疊為一束；通過斜索主動(dòng)縮短，水平索隨動(dòng)伸長(zhǎng)，就可以使結(jié)構(gòu)向端面折疊。這兩種折疊過程是相反的，文中選擇水平索為主動(dòng)索這一折疊方式進(jìn)行分析。

2.2折展分析的方法

2.2.1節(jié)點(diǎn)位移

本文以節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。設(shè)結(jié)構(gòu)總質(zhì)量為m，將總質(zhì)量等效到系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)上。由于所有節(jié)點(diǎn)到達(dá)結(jié)構(gòu)形心的距離相等，所以等效在六個(gè)節(jié)點(diǎn)上的質(zhì)量相等，均為m/6。則結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為［9］

令Δt為時(shí)間增量。根據(jù)中心差分公式［11］，得到此節(jié)點(diǎn)的加速度表達(dá)式:

進(jìn)一步推導(dǎo)可得其速度表達(dá)式為

將式（5）、（6）代入式（4），經(jīng)過整理后可以得到

由于索桿結(jié)構(gòu)的振動(dòng)過程中阻尼很小，對(duì)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)影響不大，可以忽略，因此式（7）可以改寫為

由式（8）可以得到位移的增量Δδt:

這樣就可以求出節(jié)點(diǎn)的新坐標(biāo):

根據(jù)上式得到的新的節(jié)點(diǎn)矩陣分析此時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是否已達(dá)到折疊要求。

2.2.2節(jié)點(diǎn)受力分析

任意構(gòu)件只與兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相連，構(gòu)件只受軸向力作用［12］，單個(gè)構(gòu)件受力如圖2。

圖2　構(gòu)件受力分析圖Fig.2 Member stress analysis

構(gòu)件兩端節(jié)點(diǎn)受力與位移關(guān)系如下:

式中:E為材料的彈性模量，A為構(gòu)件橫截面積，δi、δj分別為i與j節(jié)點(diǎn)的位移，F(xiàn)i、Fj分別為i與j節(jié)點(diǎn)所受的力，lij為該構(gòu)件的原始長(zhǎng)度。將式（11）寫成矩陣的形式:

將節(jié)點(diǎn)力與位移分為x、y、z三個(gè)方向:

式中:α、β、γ分別為力與位移在矢量方向上與三坐標(biāo)軸的夾角。將式（11）的矩陣等號(hào)兩邊同時(shí)做成夾角矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，通過結(jié)合式（12）～（14）可以得到

式中:矩陣 K稱為剛度矩陣［9］，剛度矩陣是對(duì)稱矩陣。

在對(duì)單個(gè)桿、索單元兩個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分析的基礎(chǔ)之上，可以得到單元的剛度矩陣，在預(yù)應(yīng)力已知的情況下可以得到節(jié)點(diǎn)位移。為了直接得到整個(gè)系統(tǒng)的位移需要知道體系的總剛度矩陣，這里引入?yún)f(xié)調(diào)矩陣T，協(xié)調(diào)矩陣是將某節(jié)點(diǎn)剛度矩陣內(nèi)的元素放置在總體剛度矩陣對(duì)應(yīng)的位置上，其余位置為0，其目的是為了將單元?jiǎng)偠染仃嚨木S數(shù)擴(kuò)大到總剛度矩陣的維數(shù)，得到體系的單元?jiǎng)偠染仃嚕?］:

將經(jīng)過擴(kuò)充后的所有單元?jiǎng)偠染仃囅嗉拥玫浇Y(jié)構(gòu)總體剛度矩陣:

式中:u是構(gòu)件數(shù)目。通過系統(tǒng)總剛度矩陣，可以得到等式:

可以利用該式在節(jié)點(diǎn)位移已知的情況下求解此時(shí)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)受力情況。節(jié)點(diǎn)所受合力為

3　折展過程仿真分析

水平索收縮，斜索隨動(dòng)伸長(zhǎng)，驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)向軸線折疊為一束。運(yùn)動(dòng)過程中，為了適應(yīng)斜索長(zhǎng)度隨動(dòng)變化，用彈簧替代斜索。設(shè)在運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)替代斜索的彈簧伸長(zhǎng)量為0。

水平索上施加恒力來驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)，設(shè)桿的長(zhǎng)度為10 m，初始位置時(shí)r為3 m，總質(zhì)量為150 kg，每根水平索的驅(qū)動(dòng)力大小為。彈簧剛度系數(shù)為1 000 N/m，桿的彈性模量Eb=2.06×1011Pa，桿的橫截面積Ab=7.85×10-5m2。根據(jù)前面的分析，通過MATLAB編寫程序?qū)Y(jié)構(gòu)的折疊過程進(jìn)行仿真分析。圖3為仿真分析所獲得的三桿張拉整體結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)過程仿真圖。這一分析結(jié)果證明了收縮水平索驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)折疊的這一方案是可行的。

在結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，構(gòu)件長(zhǎng)度和內(nèi)力都是在不斷變化的，構(gòu)件的長(zhǎng)度變化曲線如圖4所示。

圖3　結(jié)構(gòu)折疊過程Fig.3 The folding process

圖4　構(gòu)件長(zhǎng)度、速度、加速度變化曲線Fig.4 The length，velocity，acceleration curve

由圖4（a）可知，在結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，在考慮彈性變形的條件下，桿的長(zhǎng)度也有所變化，但是由于桿的彈性模量相對(duì)較大，所以桿的長(zhǎng)度變化很小。斜索一直被逐漸拉長(zhǎng)，直到長(zhǎng)度與桿長(zhǎng)相等，因此斜索利用拉簧張緊既可。水平索作為驅(qū)動(dòng)構(gòu)件，它的長(zhǎng)度隨著結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)不斷變短。

從圖4（b）發(fā)現(xiàn)，由于桿構(gòu)件的長(zhǎng)度變化微小，所以其長(zhǎng)度變化速度的變化很小。斜索和水平索的長(zhǎng)度變化速度都為先增大后減小，在運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)速度趨于0。比較而言，斜索的長(zhǎng)度變化速度較平穩(wěn)，而水平索長(zhǎng)度變化要?jiǎng)×业枚唷?/p>

由圖4（c）可知，水平索的長(zhǎng)度變化加速度從運(yùn)動(dòng)開始時(shí)變化較小，接近結(jié)束時(shí)，其加速度迅速變大，其變化幅度較其他構(gòu)件大好多倍。由于運(yùn)動(dòng)變化較為劇烈，所以應(yīng)該通過一定的控制策略來減小水平索的長(zhǎng)度變化加速度。在運(yùn)動(dòng)的終止段減小驅(qū)動(dòng)力是一種可取的改進(jìn)方案。

結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，構(gòu)件的受力變化如圖5所示。由于水平索為驅(qū)動(dòng)構(gòu)件，其驅(qū)動(dòng)力為定值，這里就沒有分析。由于斜索由彈簧替代，在運(yùn)動(dòng)過程中一直伸長(zhǎng)，因此其內(nèi)力是逐漸變大的，圖5也反映了這一變化規(guī)律。因此在設(shè)計(jì)此彈簧時(shí)，只要考慮運(yùn)動(dòng)起始點(diǎn)和終止點(diǎn)其長(zhǎng)度值即可。

桿的內(nèi)力波動(dòng)幅度較大，這也說明其長(zhǎng)度在運(yùn)動(dòng)過程中也是按此規(guī)律變化。桿構(gòu)件的抖動(dòng)，勢(shì)必會(huì)引起整個(gè)結(jié)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)的過程中發(fā)生振動(dòng)，因此張拉整體結(jié)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中的抖動(dòng)是不可避免的。當(dāng)此類結(jié)構(gòu)作為像星載可展結(jié)構(gòu)等對(duì)振動(dòng)有嚴(yán)格要求的機(jī)械設(shè)備來使用時(shí)，這一振動(dòng)現(xiàn)象必須要進(jìn)一步分析。

圖5　構(gòu)件內(nèi)力變化曲線Fig.5 Internal force curves

4　結(jié)論

本文通過節(jié)點(diǎn)廣義坐標(biāo)和連接矩陣建立三桿張拉整體結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型；介紹了通過收縮水平索促使結(jié)構(gòu)折疊的方法，分別分析了在折展過程中節(jié)點(diǎn)的位移與受力變化。

通過分析，有以下結(jié)論:

1）提出通過收縮水平索，斜索隨動(dòng)伸長(zhǎng)，促使結(jié)構(gòu)收縮為一束這種結(jié)構(gòu)折疊方法。

2）在折疊過程中，桿構(gòu)件的抖動(dòng)會(huì)引起整個(gè)結(jié)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)的過程中抖動(dòng)。因此，此方法應(yīng)用于對(duì)振動(dòng)有嚴(yán)格要求的機(jī)械設(shè)備時(shí)，需對(duì)此振動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)一步分析。

3）此折疊方法不止適用于三桿棱柱型張拉整體結(jié)構(gòu)，對(duì)其他張拉整體可展結(jié)構(gòu)也同樣適用。

［1］FULLER R B.Tensile-integrity structures:United States，3063521［P］.1962-11-13.

［2］劉錫良，陳志華.一種新型空間結(jié)構(gòu)-張拉整體體系［J］.土木工程學(xué)報(bào)，1995，28（4）:51-57. LIU Xiliang，CHEN Zhihua.A new type of space structurestensegrity systems［J］.Journal of civil engineering，1995，28（4）:51-57.

［3］SKELTON R E，OLIVEIRA M C.Tensegrity systems［M］. New York:Springer Science Business Media，2009.

［4］LUO Ani，SKELTON R E，LIU Heping，et al.Structure of the ball tensegrity robot［C］//Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics.Paris，2014.

［5］GONZáLEZ A，LUO A N，LIU H P.Construction of a unit cell tensegrity structure［C］//Proceedings of the 14th World Congress in Mechanism and Machine Science.Taipei，2015: 25-30.

［6］ZHANG Liyuan，LI Yue，CAO Yanping，et al.Stiffness matrix based form-finding method of tensegrity structures［J］. Engineering structures，2014，58:36-48.

［7］GUEST S D.The stiffness of tensegrity structures［J］.Institute of mathematics and its applications journal of applied mathematics，2011，76（1）:57-66.

［8］GUEST S.The stiffness of prestressed frameworks:a unifying approach［J］.International journal of solids and structures，2006，43（3/4）:842-854.

［9］孔令營(yíng).圓環(huán)張拉整體結(jié)構(gòu)的構(gòu)型及分析方法研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)，2015:62-67. KONG Lingying.The research on configuration and analytical method of torus-type tensegrity structures［D］.Harbin: Harbin Engineering University，2015:62-67.

［10］LIU Heping，LI Xu，CHENG Jianjun，et al.The folding course for the tensegrity basic unit［C］//Proceedings of the ASME 2015 International Mechanical Engineering Congress and Exposition.Houston，Texas，USA，2015.

［11］張幸鏘，袁行飛.新型三棱柱張拉整體平板結(jié)構(gòu)研究［J］.建筑結(jié)構(gòu)，2011，41（3）:24-27，77. ZHANG Xingqiang，YUAN Xingfei.Research of a new triangular prism tensegrity plate structure［J］.Building structure，2011，41（3）:24-27，77.

［12］陳志華，史杰，劉錫良.張拉整體三棱柱單元體試驗(yàn)［J］.天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，37（12）:1053-1058. CHEN Zhihua，SHI Jie，LIU Xiliang.Experimental study on triangular prism unit of tensegrity［J］.Journal of Tianjin university，2004，37（12）:1053-1058.

本文引用格式：

羅阿妮，李旭，李全賀，等.三桿張拉整體折展過程動(dòng)力學(xué)分析［J］.哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，37（7）:974-978.

LUO Ani，LI Xu，LI Quanhe，et al.Dynamic analysis of the three-bar tensegrity deployable structure［J］.Journal of Harbin Engineering University，2016，37（7）:974-978.

Dynamic analysis of the three-bar tensegrity deployable structure

LUO Ani，LI Xu，LI Quanhe，CHENG Jianjun，LIU Heping
（College of Mechanical and Electrical Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

The string drive method is used to deploy the three-bar tensegrity structure.Based on the matrixes analysis，the mathematical model is built up with the generalized node coordinates and connectivity matrixes expressed positions and arrangements of members.The lengths of strings are adjusted with the bars＇length constant to deploy the structure.Based on the flexible of the members，shortening the level strings to make the structure fold towards its＇axis，it is analyzed that the dynamics of the structure.The simulation proved this deployable method is feasible. The changings of the lengths and inner forces of the members are given.The results show that adjusting the strings lengths could make the structure deployment.This method can be used in the three-bar tensegrity deployable structure and other structures which build up with the three-bar basic units.

tensegrity；generalized node coordinates；connectivity matrix；dynamic analysis；deployable structure

10.11990/jheu.201505069

TH113

A

1006-7043（2016）07-974-05

2015-05-25.網(wǎng)絡(luò)出版日期：2016-05-13.

黑龍江省自然基金項(xiàng)目（11202128）；機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（HIT）開放研究項(xiàng)目（SKLRS（HIT）2014 ZD 05，SKLRS（HIT）2015 M 01）.

羅阿妮（1978-），女，副教授，博士；劉賀平（1975-），男，副教授，博士.

劉賀平，E-mail:liuheping@hrbeu.edu.cn.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160513.1344.006.html