成冬元 馬恩榮

2016年高考，我區(qū)采用的考卷是教育部考試中心統(tǒng)一命制的新課標(biāo)全國Ⅲ卷（以下簡稱全國Ⅲ卷）.相比2015年采用的新課標(biāo)全國Ⅱ卷（以下簡稱全國Ⅱ卷），今年的全國Ⅲ卷數(shù)學(xué)試題在試題的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容、立意等方面保持穩(wěn)定的基礎(chǔ)上出現(xiàn)了一些新變化，“突出理性思維，考查實際應(yīng)用，關(guān)注社會發(fā)展，體現(xiàn)時代特征”是今年數(shù)學(xué)試題的主要特點.深入分析數(shù)學(xué)試題的特點和變化，能夠為2017年廣西考生的復(fù)習(xí)備考提供有益的啟迪.

一、2016年全國Ⅲ卷數(shù)學(xué)試題評析

（一）試卷結(jié)構(gòu)

全國Ⅲ卷數(shù)學(xué)卷包含第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分.第Ⅰ卷共有12道選擇題（每題5分），全部為必考內(nèi)容.第Ⅱ卷為非選擇題，含必考和選考兩大塊：必考內(nèi)容由4道填空題（每題5分）和5道解答題（每題12分）組成；選考內(nèi)容從選修系列4“幾何證明選講”“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”“不等式選講”3個內(nèi)容中各命制1道解答題（每題10分），考生從這3道解答題中任選一題作答，多做則按所做的第一題給分.

（二）試題分析

鑒于今年文、理科數(shù)學(xué)卷相似度頗高的實際，我們將首先綜合分析兩份試卷的考點共性（見下頁“分析表”），再詳細(xì)分析兩份試卷的命題立意.

1.從對基礎(chǔ)知識的考查來看，今年的文、理科數(shù)學(xué)卷均體現(xiàn)了《2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱（理/文科）》（以下簡稱考綱）的以下精神：“對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查，既要全面又要突出重點.對于支撐學(xué)科知識體系的重點內(nèi)容，要占有較大的比例，構(gòu)成數(shù)學(xué)試卷的主體.注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，不刻意追求知識的覆蓋面.”

綜觀近幾年高考試題，不刻意追求知識的覆蓋面，不回避重點知識、主干知識，已經(jīng)成為一種穩(wěn)定的考查方向，而且主干知識的分值亦基本穩(wěn)定.今年文、理科數(shù)學(xué)卷的考點仍主要分布在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、平面向量、解析幾何、立體幾何初步與空間向量、概率統(tǒng)計、三角函數(shù)等高中數(shù)學(xué)知識體系中的九大知識板塊，凸顯了“數(shù)列+函數(shù)+不等式”“空間圖形+向量”“平面向量+三角函數(shù)”“計數(shù)原理+概率”“解幾+平面向量”“導(dǎo)數(shù)+函數(shù)+方程+不等式”“統(tǒng)計+算法+概率”七大知識板塊；而集合、簡易邏輯、線性規(guī)劃、計數(shù)原理、復(fù)數(shù)、算法初步、統(tǒng)計、推理與證明（文科：框圖）等離散知識，或者在大題中作輔助支撐，或者在小題中單獨命題.與2015年全國Ⅱ卷中的數(shù)學(xué)試題相比，今年全國Ⅲ卷中的數(shù)學(xué)試題更加強化了新課程的內(nèi)容，對三視圖、算法、統(tǒng)計知識（折線圖、雷達圖、求回歸方程等）等內(nèi)容的考查難度加大.而且今年的文、理卷相似度頗高，均以考查高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識為主線：第Ⅰ卷前9題都是考查基本概念和公式，內(nèi)容來源于教材且高于教材.第Ⅱ卷填空題前3題都是難度較低的常規(guī)題.第Ⅱ卷解答題第17題為數(shù)列題；第18題為統(tǒng)計知識、折線圖、求回歸方程、用變形公式求相關(guān)系數(shù)，考查難度有所提高；第19題是立體幾何的線面平行與線面成角，考查難度不大，基本與往年持平.值得一提的是，第Ⅱ卷文、理同題的選做題第22題考查圓和三角形的知識，求角的大小，用共圓求弦的垂線，關(guān)聯(lián)到了三角形外角、同弧圓周角相等、四點共圓條件等知識，難度較大，我區(qū)考生的得分率普遍較低，理科難度為0.0566，文科難度為0.0097.

2.從對數(shù)學(xué)思想方法的考查來看，文、理試題均體現(xiàn)了考綱的如下精神：“考查時要從學(xué)科整體意義和思想價值立意，要有明確的目的，加強針對性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測考生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度.”

對數(shù)學(xué)思想方法的考查，理科卷第11、16、17題涉及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，文、理科卷同題的第24題與理科卷第21題考查了分類討論的思想，文科卷第4、9、10、11、12、13、14、15、20題則考查了數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)與方程的思想更是近年高考頻繁考查的內(nèi)容.

3.從對數(shù)學(xué)能力的考查來看，文、理科試題均體現(xiàn)了考綱的如下精神：“對能力的考查，以思維能力為核心.全面考查各種能力，強調(diào)綜合性、應(yīng)用性，切合學(xué)生實際.”

數(shù)學(xué)能力包括空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識等.如文科卷第1、2、3、6、9、10、11、12、13、15、16、17、20、23、24題考查了運算求解能力；第4、10、14、18、19、22題考查了空間想象能力；第4、8、18題考查了數(shù)據(jù)處理能力；第5、19、20、21、22題考查了推理能力；第4、18題還考查了抽象概括能力；等等.

高考結(jié)束后，很多一線教師感慨：“今年的高考數(shù)學(xué)試題突出理性思維，應(yīng)用意識考查多，得分不易呀！”的確，今年的高考數(shù)學(xué)題特別強化了應(yīng)用意識的考查，體現(xiàn)了高考“強調(diào)應(yīng)用性”的宗旨.而文、理科卷相似或完全相同的試題頗多（除了選考的3道題完全相同，另外完全相同的試題有9道，還有8道類似題），使我們感受到了文、理科之間的差別正在快速縮小.

（三）試題特點、亮點及解題思路點撥

1.主干知識?？汲Ｐ?三角函數(shù)、統(tǒng)計與概率、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干知識和核心內(nèi)容，其重要地位在高考中不會改變，而且“常考常新”.

今年的全國Ⅲ卷數(shù)學(xué)卷對解析幾何的考查增加了“參數(shù)方程與極坐標(biāo)”模塊的內(nèi)容，綜合性更強，如今年文、理科卷同題的選考題第23題.

高考原題：在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（），以坐標(biāo)原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為=2.

（Ⅰ）寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點P在C1上，點Q在C2上，求的最小值及此時P的直角坐標(biāo).

試題分析：一般情況下，涉及橢圓上的點的最值問題、定值問題、軌跡問題等，當(dāng)不好直接下手處理時，可考慮利用橢圓的參數(shù)方程進行處理，比如通過設(shè)點的坐標(biāo)為（），將其轉(zhuǎn)化為三角問題進行求解.針對上面的考題，我們可以利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系中的平方關(guān)系，將曲線C1的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；將公式與代入曲線C2的極坐標(biāo)方程，即可求出C2的直角坐標(biāo)方程；再利用參數(shù)方程表示點P的坐標(biāo)，利用點到直線的距離建立=d（）的三角函數(shù)表達式，便可求出的最小值及此時點P的直角坐標(biāo).

解：（Ⅰ）C1的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0.

（Ⅱ）由題意，可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為，因為C1是直線，所以的最小值即P到C2的距離d（）的最小值，d（）==.

當(dāng)且僅當(dāng)時，d（）取最小值，最小值為，此時點P的直角坐標(biāo)為.

今年的全國Ⅲ卷數(shù)學(xué)卷對立體幾何的考查發(fā)生了結(jié)構(gòu)性變化，命題重心相對偏移.以往立體幾何命題的老套路是“一半證明一半算，證明要用三垂線”，但隨著三垂線定理退出教科書，老套路勢必發(fā)生根本性變化，如理科第19題.

高考原題：如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.

（Ⅰ）證明MN∥平面PAB；

（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

試題分析：通常情況下，我們會用向量法解決高考中的立體幾何問題.針對上面的問題，我們可取PB的中點T，結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形AMNT為平行四邊形，從而得到MN∥AT，再結(jié)合線面平行的判定定理可證MN∥平面PAB；以A為坐標(biāo)原點，以AD、AP所在直線分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過求直線AN的方向向量與平面PMN法向量的夾角來處理AN與平面PMN所成角的正弦值.

今年全國Ⅲ卷數(shù)學(xué)卷對于統(tǒng)計概率的考查，與原來的“概率統(tǒng)計”相比，在命題立意上發(fā)生了相當(dāng)大的改變.以往高考數(shù)學(xué)總有一道概率解答題，并且一定是個體個數(shù)或概率計算，今年的試題卻注重考查考生的數(shù)據(jù)分析和處理能力，要求“會收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，并做出判斷”.如今年文、理科卷同題的第18題，考查的是線性相關(guān)與線性回歸方程的求法及應(yīng)用，該題不僅回歸了教材（選修2-3，P79），還同時考查了考生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識.

高考原題：下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

我區(qū)考生在此題中的得分率非常低.由于最小二乘法往年高考考的次數(shù)少，且有關(guān)此部分的內(nèi)容在人教版教材里是安排在閱讀欄中的，所以相當(dāng)一部分教師認(rèn)為這是不考的內(nèi)容，在教學(xué)中不作要求，致使考生在這道題中得分率非常低，文科難度僅為0.0461，理科難度僅為0.0865.這道題從一個側(cè)面給我區(qū)高中數(shù)學(xué)老師們上了一課，敲了一次警鐘.許多老師還是把猜題作為重要的復(fù)習(xí)方式，主觀認(rèn)為我們廣西只是考全國Ⅱ卷，對全國Ⅰ卷（2015年全國Ⅰ卷曾有類似考題）出現(xiàn)過的考題不予重視，而且不重視數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)閱讀與數(shù)學(xué)運算的復(fù)習(xí)，這樣是不行的.這道題體現(xiàn)了統(tǒng)計學(xué)的基本思想和新課標(biāo)的要求，希望引起老師們的重視.

今年全國Ⅲ卷對解析幾何的考查與往年高考題發(fā)生了相當(dāng)大的變化.比如作為壓軸題的文、理科同題第20題，它以拋物線為載體，難度也不像往年高考題那么難，其第（Ⅰ）小題甚至曾經(jīng)在各類教輔書中多次出現(xiàn)，可以說“非常友好”.

高考原題：已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點.

（Ⅰ）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.

試題分析：數(shù)學(xué)知識的新陳代謝，是課程改革的必然.高考數(shù)學(xué)命題必然順應(yīng)這一變革.由于橢圓、雙曲線的準(zhǔn)線概念已不再引入教材，相關(guān)的許多知識無法鏈接，因而試題的結(jié)構(gòu)形式一定會有所變化.針對上面的考題，關(guān)于解析幾何中平行問題的證明，通?？梢赞D(zhuǎn)化為證明兩條直線的斜率相等，或轉(zhuǎn)化為利用向量證明其平行；求軌跡方程的方法在高考中最?？嫉氖侵苯臃ㄅc代入法（相關(guān)點法），在利用代入法求解時，我們須找準(zhǔn)主動點與從動點.

解法一分析：（Ⅰ）設(shè)出與x軸垂直的兩條直線，得出A、B、P、Q、R的坐標(biāo)，然后通過證明直線AR與直線FQ的斜率相等即可證出結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線l與x軸的交點坐標(biāo)為D（x1，0），利用面積可求得x1，設(shè)AB的中點E（x，y），根椐AB與x軸是否垂直，分兩種情況結(jié)合kAB=kDE即可求解.

2.加強對閱讀理解能力的考查.閱讀理解能力是一種重要的能力，在今年的新課標(biāo)高考命題中，對文、圖解讀能力的考查得到了強化.要求考生通過閱讀文字或圖象、圖表、圖形，快速抓住問題的本質(zhì)，提煉出隱藏在“文、圖”背后的數(shù)學(xué)問題及解題規(guī)律.

首先是文字閱讀題.用文字創(chuàng)設(shè)生活情境，把數(shù)學(xué)問題隱藏在生活情境中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的結(jié)合，如今年全國Ⅲ卷文科數(shù)學(xué)卷第5題.

高考原題：小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是

（A） （B） （C） （D）

試題分析：運用古典概型計算公式求解，必須明確兩點.第一，對于每個隨機試驗來說，所有可能出現(xiàn)的試驗結(jié)果數(shù)必須是有限個；第二，出現(xiàn)的各個不同的試驗結(jié)果數(shù)其可能性大小必須是相同的.只有在同時滿足第一、第二的條件下，運用古典概型計算公式進行計算得出的結(jié)果才是正確的.針對上題，小敏所忘記的開機密碼的前兩位數(shù)字的排列，共有3×5=15種可能，即（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5），其中只有1種是正確的，因此所求概率P=.故選C.

其次是讀圖題.數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的科學(xué)，新課程比傳統(tǒng)課程更加注重讀圖與識圖，這里的圖，包括圖象、圖形、圖表等.如我們前面列舉的文、理科第18題，題目給出了一個折線圖和許多看似復(fù)雜的公式，考生讀題的時間長，要在有限的時間內(nèi)讀懂試題并正確解答，這對考生的閱讀理解、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)的處理和運算能力等是一次較為全面的檢驗，同時還能考查考生的思維品質(zhì)和心理素質(zhì).一般說來，讀圖題按其重要性可分為三個層次：第一個層次是各種函數(shù)的圖象變換、立體幾何中的圖形及翻折、平面解析幾何中的直線與曲線等；第二個層次是韋恩圖、程序框圖、三視圖、頻率分布直方圖、莖葉圖、平面區(qū)域圖等；第三個層次是單位圓中的三角函數(shù)線、頻率折線圖、正態(tài)分布曲線（理）、流程圖和結(jié)構(gòu)圖（文）等.如今年全國Ⅲ卷數(shù)學(xué)理科卷第7、文科卷第8題，考查的內(nèi)容相同，都是第二個層次的讀圖能力，程序框圖.

高考原題：執(zhí)行右圖的程序框圖，如果輸入的a=4，b=6，那么輸出的n=

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

試題分析：解決這種類型的題目需要注意三點.第一，先明確是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，再根據(jù)各自的特點執(zhí)行循環(huán)體；第二，要明確圖中的累計變量，明確每一次執(zhí)行循環(huán)體前和執(zhí)行循環(huán)體后，變量的值發(fā)生的變化；第三，要明確循環(huán)體終止的條件是什么，會判斷什么時候終止循環(huán)體.因此，第一次循環(huán)，得a=2，b=4，a=6，s=6，n=1；第二次循環(huán)，得a=-2，b=6，a=4，s=10，n=2；第三次循環(huán)，得a=2，b=4，a=6，s=16，n=3；第四次循環(huán)，得a=-2，b=6，a=4，s=20>16，n=4，退出循環(huán)，輸出n=4，故選B.

往年?？嫉亩嗝骟w三視圖問題，在今年轉(zhuǎn)換成了求體積的問題，靈活性很強，如內(nèi)容相同的理科卷第9題、文科卷第10題.

高考原題：如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為

（A）18+36

（B）54+18

（C）90

（D）81

試題分析：由三視圖可知，該幾何體是以側(cè)視圖為底面的斜四棱柱，所以該幾何體的表面積S=2×3×6+2×3×3+2×3×3=54+18，故選B.

3.對應(yīng)用意識的考查得到突顯.對應(yīng)用意識的考查，一直是高考數(shù)學(xué)命題的一個熱點.今年的高考數(shù)學(xué)卷遵照“貼近生活、背景公平、控制難度”的命題原則，合理選取命題素材，重視現(xiàn)實生活中的熱點問題，創(chuàng)新題型設(shè)計，綜合、靈活地考查基礎(chǔ)知識，突出考查考生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決實際問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決實際問題中的重要作用和應(yīng)用價值，體現(xiàn)了高考改革加強應(yīng)用性的趨勢特點，有利于落實數(shù)學(xué)新課程理念.例如文、理科卷同題的第4題在設(shè)問方式上進行創(chuàng)新，以人們普遍關(guān)注的旅游城市天氣問題為背景，要求根據(jù)氣溫統(tǒng)計雷達圖，對該地區(qū)氣溫情況作出正確敘述，考查了考生識圖能力和抽象概括能力，而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決生活中的問題的應(yīng)用意識也得到了突顯.

高考原題：某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是

（A）各月的平均最低氣溫都在0℃以上

（B）七月的平均溫差比一月的平均溫差大

（C）三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

（D）平均最高氣溫高于20℃的月份有5個

試題分析：本題以某旅游城市的氣溫為題材，考查了考生對雷達圖的理解，以及對數(shù)據(jù)的分析和處理能力.本題突破了以往對概念的記憶和散點圖的繪圖考查方式，引入高中教材中少有的雷達圖，既符合考綱要求，立意上又有所創(chuàng)新.從題設(shè)中提供的信息及圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)可以看出：深色的圖案是一年十二個月中各個月份的平均最低氣溫，淺灰圖案是一年十二個月中各個月份的平均最高氣溫，結(jié)合四個選項逐一判斷可知D是唯一表述錯誤的選項.解答本題出錯的可能原因有兩種：一是對圖形中的線條認(rèn)識不明確，找不到解決問題的方法；第二，估計每個月的平均溫差時出現(xiàn)錯誤.

二、2017年廣西高考數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考建議

全國高考試題一直緊扣課本和考綱，淡化人為技巧和細(xì)枝末節(jié)問題，注重知識形成過程，著重考查考生的思維能力和解決問題能力.2016年的高考試卷向我們傳遞出這樣一個信息：高考數(shù)學(xué)試題在降低起點的同時，強調(diào)能力立意；在立足基礎(chǔ)的同時，體現(xiàn)呈現(xiàn)方式的創(chuàng)新；在突出導(dǎo)向的同時，確保甄別功能；在繼承傳統(tǒng)的同時，彰顯課程理念.這就為我們的一線教學(xué)和復(fù)習(xí)備考指明了方向.

（一）統(tǒng)籌謀劃高中三年的課時安排，重視新授課教學(xué)，扎實培養(yǎng)學(xué)生的基本能力

高考的區(qū)分首先體現(xiàn)在基本功方面，而基本功的培養(yǎng)主要靠新授課.為此，我們需要認(rèn)真研究課標(biāo)的要求，厘清教材中滲透的思想方法，吃透學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理，處理好教學(xué)內(nèi)容過程與結(jié)果、直觀與抽象、直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的關(guān)系：課堂教學(xué)應(yīng)以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，關(guān)注全體學(xué)生的感受，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維，課程內(nèi)容的呈現(xiàn)要體現(xiàn)層次性和多樣性；在教學(xué)過程中，要抓住數(shù)學(xué)的核心概念，以前后一致、貫穿始終的數(shù)學(xué)思想為主線，給學(xué)生足夠的時間體會知識的形成過程，注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法；課時練習(xí)要符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，與學(xué)生的知識基礎(chǔ)、思維水平相匹配.總之，高中三年應(yīng)統(tǒng)籌謀劃，持續(xù)培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、推理能力，強化其符號意識、應(yīng)用意識，鼓勵其質(zhì)疑與創(chuàng)新.教師尤其要舍得花時間研究各種版本的教材，在提高新授課的教學(xué)效益下功夫.就目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，適當(dāng)拉長新授課時間，縮短復(fù)習(xí)課時間是我個人的一點想法，而這需要勇氣和智慧.

（二）主體主導(dǎo)并重，優(yōu)化復(fù)習(xí)過程

高考的主角是學(xué)生，在復(fù)習(xí)課上無視學(xué)生感受的“滿堂灌”只能在短期內(nèi)對復(fù)習(xí)少許內(nèi)容有效，但對持久性的全面復(fù)習(xí)是無能為力的.以學(xué)生為主體，就是要在復(fù)習(xí)教學(xué)中貫徹落實這樣的思想：在教師的引導(dǎo)、組織下，學(xué)生主動學(xué)習(xí)而非被動接受，能動思考而非機械模仿.進一步地講，在復(fù)習(xí)課上，全體學(xué)生都應(yīng)有充分的時間進行思考、體悟、運算，多數(shù)學(xué)生都要參與互動、交流、評價；教師要注意肯定學(xué)生的想法，哪怕其方法幼稚、繁瑣、不嚴(yán)密，會走一些彎路，甚至?xí)绊懙秸麄€班級的復(fù)習(xí)進程，但只要貼近學(xué)生的認(rèn)知特點，教師都要注意引導(dǎo)，并對癥下藥幫助學(xué)生克服自身存在的問題，完善學(xué)生復(fù)習(xí)、思考和解題的過程.以學(xué)生為主體并不是說不要教師的講授，相反地，對于知識的聯(lián)系性、結(jié)構(gòu)性、思想性，問題的變式、一題多解和多題一解，教師的啟發(fā)式引導(dǎo)都是不可或缺的，至少在這一點上可以顯示出“教學(xué)”優(yōu)于“自學(xué)”.此外，我們還要深入研究第一、第二輪復(fù)習(xí)的目標(biāo)定位，明確各考點在每輪復(fù)習(xí)中的復(fù)習(xí)深度和廣度.

1.第一輪復(fù)習(xí)要回歸教材，夯實基礎(chǔ)，這絕不是一句空話.教材是高考試題的重要來源之一，每年高考試題中的不少選擇題、填空題，在教材中都有原型.此外，教師還應(yīng)認(rèn)真研究課標(biāo)、考綱和全國卷，對不同的內(nèi)容做出不同的復(fù)習(xí)處理.

（1）對于那些只作基本要求的，比如集合、復(fù)數(shù)等，就不要拓寬、加深.不少復(fù)習(xí)資料在這部分內(nèi)容中費時較多，這是不可取的.比如今年全國Ⅲ卷文科卷第2題“若z=4+3i，則=（ ）”，給出了4個選項“（A）1；（B）-1；（C）+i；（D）-i”.復(fù)數(shù)的加、減法運算，只需從形式上理解為關(guān)于虛數(shù)單位“i”的多項式合并同類項；復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法相類似，只是在結(jié)果中把i2換成-1；復(fù)數(shù)除法可類比實數(shù)運算的分母有理化；復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義可依平面向量的加、減法的幾何意義進行理解.

（2）對于三角、數(shù)列、立幾、概率統(tǒng)計、圓錐曲線等內(nèi)容要注意歸類，務(wù)必使學(xué)生完全掌握.如今年全國Ⅲ卷文科卷第6題“若tan，則cos2=（ ）”，給出了4個選項“（A）-；（B）-；（C）；（D）”，計算cos2===即可.一般地說，三角函數(shù)求值有兩類：一是“給角求值”，此時需將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過相消或相約消去非特殊角，進而求出三角函數(shù)值；二是“給值求值”，關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系.通過研究今年高考全國Ⅲ卷我們發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)這部分在解答題中沒有出現(xiàn)，在客觀題（指選擇題與填空題中）中卻有三道小題，這值得重視.此外，有些綜合題其實也是由新教材中的例、習(xí)題引申、變化而來，這些例、習(xí)題是編者經(jīng)反復(fù)推敲篩選出來的精品，具有典型性、示范性和針對性，包含了重要的數(shù)學(xué)知識、思想、方法，所以回歸教材是提高備考效率的有效途徑.

需要注意的是，回歸教材并不等同于重新學(xué)習(xí)教材，而是要吃透教材、用活教材，站在思想與方法、聯(lián)系與區(qū)別的高度去把握教材中的概念、定義、定理、公式、例題和習(xí)題，多做演變與適當(dāng)拓展.例如等差數(shù)列、一次函數(shù)、直線等幾個概念都可以用函數(shù)（特殊的對應(yīng)）的概念來統(tǒng)一，等差數(shù)列可視為特殊的函數(shù).如在等差數(shù)列{an}中，已知兩項an，am，求公差，可化為已知一次函數(shù)圖像上兩點（n，an），（m，am），求出直線的斜率k=即可，這樣復(fù)習(xí)會使知識脈絡(luò)更加清晰，思維品質(zhì)也會隨之得到提升.

2.第二輪復(fù)習(xí)應(yīng)特別突出思想性和整體性，以有效應(yīng)對高考對考生數(shù)學(xué)能力的要求.

關(guān)于數(shù)學(xué)思想的明晰，宜在第二輪復(fù)習(xí)起步時展開，并在后續(xù)復(fù)習(xí)中不斷強化.數(shù)學(xué)思想不同于數(shù)學(xué)技巧：數(shù)學(xué)技巧很難復(fù)制，既不容易掌握，也不容易保持；數(shù)學(xué)思想?yún)s是容易領(lǐng)會的，盡管學(xué)生領(lǐng)悟的程度會有所不同，盡管它是形式上的，但它和解題活動聯(lián)系起來后會變得非常實用.

突出整體性，就是多角度思考，站在整體的高度審視和解決問題，先解決主干問題，再處理細(xì)枝末節(jié)問題.

3.專題復(fù)習(xí)適度拓展延伸，力求高屋建瓴.

高考命題專家多數(shù)是高校教授，作為大學(xué)教師當(dāng)然希望考生具備一定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ).比如今年全國Ⅲ卷理科卷第12題“定義‘規(guī)范01數(shù)列如下：共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中的0個數(shù)不少于1的個數(shù).若m=4，則不同的‘規(guī)范01數(shù)列共有（ ）”，這是今年理科高考數(shù)學(xué)選擇題的最后一道題，背景是競賽中曾經(jīng)的熱點問題——卡特蘭（Catlan）數(shù)問題，給出了4個選項“（A）18個；（B）16個；（C）14個；（D）12個”.由于涉及的情形相對簡單，對考生來說選擇列舉方式便可拿到滿分.但是，此題其實具有一定的高等數(shù)學(xué)背景.教師在復(fù)習(xí)教學(xué)時可作如下拓展：本題中的“規(guī)范01數(shù)列”個數(shù)就是卡特蘭數(shù)Cm=C，取m=0，可得C4=C=14.這樣計算，會比列舉方式簡便得多.卡特蘭數(shù)來源于卡特蘭解決凸n+2邊形的剖分時得到的數(shù)列Cm.在數(shù)學(xué)競賽、信息學(xué)競賽、組合數(shù)學(xué)、計算機編程等方面，關(guān)于卡特蘭數(shù)會有其不同側(cè)面的介紹.卡特蘭問題的解決過程應(yīng)用了大量的映射方法，堪稱計數(shù)的映射方法的典范.典型的卡特蘭數(shù)問題有進出棧問題、購票找零問題、圓內(nèi)連弦問題、括號表達式問題等等.

當(dāng)然，此類題的解答原則上是不需要高等數(shù)學(xué)知識的.如果考生具備高等數(shù)學(xué)的簡單知識，解答起來會比較簡單.即使是用高等數(shù)學(xué)的解法，高考中也是允許的.在生源基礎(chǔ)好的學(xué)?；虬嗉墸蛘哚槍ι贁?shù)接受能力比較強的學(xué)生，高三的復(fù)習(xí)可以適度延伸，這也符合“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的基本課程理念.通?？裳由斓膬?nèi)容指的是高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系非常密切的內(nèi)容，比如數(shù)列中的單調(diào)有界數(shù)列的極限存在性定理，微積分中的中值定理，圓錐曲線中的切線與法線、極點與極線的簡單性質(zhì)等.延伸的關(guān)鍵是“適度”，一定要按照學(xué)生的接受能力作介紹和補充.這里的“適度”，不僅是指補充內(nèi)容的范圍、深度的“適度”，也包括參與學(xué)生的范圍的“適度”.補充一些高等數(shù)學(xué)初步知識，讓學(xué)生有一些體驗和理解，可以達到高屋建瓴的效果.

（三）研究數(shù)學(xué)高考，探索科學(xué)的備考策略

我們研究數(shù)學(xué)高考，可以為科學(xué)備考打基礎(chǔ).如何做到科學(xué)備考呢？

首先要研讀課標(biāo)、考綱及考試說明，要輕其所輕、重其所重，正確指導(dǎo)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí).要重視課本，從高考命題者的角度研究課本，注意哪些內(nèi)容降低了要求、哪些內(nèi)容淡化了要求、哪些內(nèi)容提高了要求，并善于從課本中發(fā)現(xiàn)高考命題的素材，對課本中的好題進行深入挖掘，通過變式或改編來訓(xùn)練學(xué)生的能力.

其次，通過對高考試題的研究，指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)解題.平常解題，志在求知，避免“解題套路”.考場解題，志在得分，應(yīng)做到：遇到熟悉的問題，先考慮“套”“搬”“借”；遇上生疏的創(chuàng)新題，再考慮“試”“探”“猜”.解選擇題、填空題可“不擇手段”，小題小解；解解答題可用分析法和綜合法結(jié)合起來思考，從已知到可知，從未知到需知，運用數(shù)學(xué)思想方法，注意觀察比較，合情推理，大膽猜想，小心求證.

再次，高考作為一種選拔性考試，有其自身特點，與我們平時的考試大異其趣，如何指導(dǎo)學(xué)生跨越這兩種考試、順利應(yīng)對，這也是需要我們老師認(rèn)真研究的.比如高考試題對學(xué)生學(xué)習(xí)潛能的考查、解決新情境問題能力的考查力度都是平時的考試所不能企及的.平時考試的創(chuàng)新性試題極少，試題也不夠大氣，學(xué)生如何跨越這兩種考試？又比如，高考難易題的分值并不是難題的分?jǐn)?shù)就多出許多，學(xué)生如何分配解答難易題的用時，難題要不要放棄？再比如，如何組織答案才會多得分，除了答題的規(guī)范性以外，還有怎樣的答題技巧？高校教師主導(dǎo)的命題組命制的高考試題往往有高等數(shù)學(xué)的背景、競賽題的影子，如何應(yīng)對這樣的考題？筆者從備考實踐出發(fā)，提出上述問題，與各位同仁商榷.

有道是“有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦關(guān)終屬楚；苦心人，天不負(fù)，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳”.祝愿2017年的學(xué)子高考順利通關(guān)！

（責(zé)編 白聰敏）