■劉國光

（廣州南方測繪儀器有限公司廣東廣州510665）

道路放樣中具有卵形曲線的緩和曲線計(jì)算方法研究

■劉國光

（廣州南方測繪儀器有限公司廣東廣州510665）

在道路放樣中，經(jīng)常會遇到不完整緩和曲線-卵形曲線的測設(shè)，對于卵形曲線要素計(jì)算過程在相關(guān)教材講述較少，本文通過補(bǔ)充完整緩和曲線的方法，以規(guī)則緩和曲線數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，由特殊曲線到一般曲線進(jìn)行數(shù)據(jù)推導(dǎo)，并結(jié)合實(shí)際卵形曲線實(shí)例進(jìn)行模型的驗(yàn)證工作。

緩各曲線 卵形曲線 曲線要素

1 前言

卵形曲線是指用一條回旋線連接兩個同向曲線的組合曲線。卵形曲線的大圓必須把小圓完全包含在內(nèi)。若大圓半徑無限大，即直線，其即屬于基本型。卵形曲線的回旋線不是從起點(diǎn)開始的完整回旋線，而是只使用曲率從到這一段的不完整回旋線。

在高等級公路與市政道路的匝道路線設(shè)計(jì)中，經(jīng)常會遇到這種類型的曲線。由于其復(fù)雜性,在測量教材中,主要針對緩和曲線的兩種基本型：∞→R及R→∞,對卵形曲線缺少相應(yīng)的描述。本文試圖通過補(bǔ)充完整曲線的方法計(jì)算卵形曲線要素,最后用實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證，編寫工具軟件進(jìn)行算法驗(yàn)證。

2 卵形曲線要素及坐標(biāo)要素的推導(dǎo)

在測量學(xué)材中，我們常見的兩種緩和曲線形式為直線-緩和曲線-圓曲線-緩和曲線-直線形式，緩和曲線無非就兩種基本型：半徑從無窮大到R（從直線到圓）和從R到無窮大（從圓到直線），中線坐標(biāo)計(jì)算公式如下,其中數(shù)學(xué)坐標(biāo)系計(jì)算公式為：

測量坐標(biāo)系坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為：

至此常規(guī)緩和曲線計(jì)算完畢。

在卵形曲線的計(jì)算中，經(jīng)常會遇到圓曲線-緩和曲線-圓曲線的形式，即不完整緩和曲線，也是我們常說的卵形曲線，他是從一個半徑R1過渡到另外一個半徑R2，可分為從大半徑到小半徑，從小半徑到大半徑兩種形式，兩種形式均以向大半徑補(bǔ)充完整為原則，

第一種情況：當(dāng)R1→R2(R1

向R2端補(bǔ)充完整緩和曲線，設(shè)補(bǔ)充段緩曲長為LX，由于

LR=A2，即緩和曲線長與半徑的乘積是一個常值，由此可知：

由此可得：

計(jì)算公式為：lI為任意點(diǎn)的緩曲長度，l0為完整級各曲線長度將lI和l0代入到（1）計(jì)算出XP、YP

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為：

其中：

將xP、yP和α代入（2）可計(jì)算出P點(diǎn)的坐標(biāo)。

第二種情況：當(dāng)R1→R2(R1>R2)時：

向R1端補(bǔ)充完整緩和曲線，設(shè)補(bǔ)充段緩曲長為LX，由于LR=A2，即緩和曲線長與半徑的乘積是一個常值，由此可知：

由此可得：

計(jì)算公式為：

將lI和l0代入到（1）計(jì)算出xP、yP

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式：

將xP、yP和α代入（2）可計(jì)算出P點(diǎn)的坐標(biāo)。

3 卵形曲線實(shí)例

實(shí) 例 ： 第 一 緩 和 曲 線 起 點(diǎn) ZH:K137+864.087（2673320.152，497509.476）起始方位角143°48′13.1″ ，第一緩和曲線長224.01，第一圓曲線弧長1070.41半徑1800，第二緩和曲線長243.55，圓曲線弧長337.88半徑1100，第三緩和曲線長227.27

由數(shù)據(jù)分析可知：

第一段曲線為完整的標(biāo)準(zhǔn)緩和曲線∞→R，第二段為圓曲線，第三段即為本文研究的緩和曲線，屬于R1>R2類型，第四段也是圓曲線，第五段為也為標(biāo)準(zhǔn)的緩和曲線，為R→∞，本文主要研究第三段卵形曲線。

計(jì)算：

1、計(jì)算第一緩和曲線各點(diǎn)坐標(biāo)，利用公式∞→R：

利用公式（1）計(jì)算各點(diǎn)在曲線坐標(biāo)系中的坐標(biāo)及利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算出在測量坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，起算方位角為143°48′13.1″

2、計(jì)算第一圓曲線中各點(diǎn)的坐標(biāo),圓曲線有兩種計(jì)算方法，一種是利用綜合曲線中緩和曲線的計(jì)算方法，一種是直接用圓曲線計(jì)算，注意兩種曲線的起算方位與起算點(diǎn)具有差異性。

3、計(jì)算第二緩和曲線各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用R1→R2(R1>R2)中的公式

由于該緩和曲線是從大半徑到小半徑的變化，所以可利用公式（7）計(jì)算緩和曲線長，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中坐標(biāo)原點(diǎn)的計(jì)算利用公式（8），再利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算公式計(jì)算，轉(zhuǎn)換角利用公式（9）計(jì)算，最終計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換角175°20′59.56″

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中坐標(biāo)原點(diǎn)的計(jì)算：

將代入下式中

利用公式計(jì)算出各樁號在曲線坐標(biāo)系中的弧長，再利用公式（1）計(jì)算出各點(diǎn)在曲線坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，然后利用公式（2）計(jì)算出該樁號在測量坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

4、計(jì)算第二圓曲線各點(diǎn)的坐標(biāo)，方法同二。

5、計(jì)算第三緩和曲線各點(diǎn)的坐標(biāo)，方法同一。

4 結(jié)論

本文卵形曲線相關(guān)算法經(jīng)過編寫工具軟件GPSTOOL驗(yàn)證通過，軟件結(jié)果表明，用補(bǔ)全法計(jì)算卵形曲線中線坐標(biāo)回歸完整曲線，然后利用一般的緩和曲線算法：從直線到圓和從圓到直徑的兩種緩和曲線形式進(jìn)行計(jì)算，由特殊到一般，易于理解的同時，精度也能達(dá)到保證，易于編程實(shí)現(xiàn)，在實(shí)踐驗(yàn)證中取得比較好的效果。

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P2[文獻(xiàn)碼]B

1000-405X（2016）-5-304-2