Kutorzi Edwin Yao, 張建剛, 秦　爽

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 甘肅　蘭州　730070)

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一個(gè)新混沌糾纏系統(tǒng)的Hopf分岔分析

Kutorzi Edwin Yao, 張建剛, 秦爽

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 甘肅蘭州730070)

文章基于混沌糾纏方法構(gòu)造了一個(gè)新的混沌系統(tǒng)，通過(guò)理論和數(shù)值分析驗(yàn)證了該系統(tǒng)存在混沌吸引子．此外，利用非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)理論分析了該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及Hopf分岔的存在性和穩(wěn)定性．經(jīng)過(guò)計(jì)算系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的第一Lyapunov系數(shù)判斷Hopf分岔的方向及其穩(wěn)定性，最后進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證理論分析的正確性．

混沌糾纏；穩(wěn)定性；Lyapunov系數(shù)；Hopf分岔

近年來(lái)，人為構(gòu)造混沌系統(tǒng)已經(jīng)成為研究熱點(diǎn).混沌的研究開(kāi)始于1963年，當(dāng)時(shí)洛倫茲對(duì)一個(gè)天氣預(yù)報(bào)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究[1].該模型表示即便是詳細(xì)的大氣模型也不能做相對(duì)長(zhǎng)期的天氣預(yù)測(cè)，而當(dāng)時(shí)人們只能預(yù)測(cè)一個(gè)星期的天氣[2]．混沌通常被定義為一個(gè)相對(duì)來(lái)說(shuō)比較龐大的非線(xiàn)性現(xiàn)象，它與缺席微觀量子領(lǐng)域以及經(jīng)典物理學(xué)的關(guān)系非常密切．最近幾年，許多學(xué)者熱衷于對(duì)人工混沌系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和構(gòu)造，并且已經(jīng)成為一個(gè)重要的研究領(lǐng)域[3-7]．文獻(xiàn)[8]給出了一種被稱(chēng)為混沌糾纏的新的構(gòu)造混沌的研究方法.這個(gè)方法的基本理論是運(yùn)用糾纏函數(shù)的方式糾纏兩個(gè)或多個(gè)穩(wěn)定的線(xiàn)性子系統(tǒng)并且使其產(chǎn)生出一個(gè)人為構(gòu)成的新混沌系統(tǒng)．混沌糾纏這種方法利用一種更為方便的手段構(gòu)造并產(chǎn)生新的混沌吸引子．我們完全可以運(yùn)用混沌糾纏的方法更加簡(jiǎn)單地構(gòu)建出一類(lèi)新的混沌系統(tǒng). 學(xué)者們近幾年在認(rèn)識(shí)和研究混沌現(xiàn)象時(shí)，發(fā)現(xiàn)并構(gòu)建了許多種混沌系統(tǒng)，許多人專(zhuān)注于這些混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征的研究[9-10]．本文運(yùn)用混沌糾纏的方法重新構(gòu)建一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)，并運(yùn)用理論推導(dǎo)和數(shù)值仿真的方式對(duì)該系統(tǒng)存在混沌吸引子的結(jié)論做了進(jìn)一步驗(yàn)證，同時(shí)對(duì)此系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了分析．

1　新混沌系統(tǒng)的構(gòu)造

考慮兩個(gè)線(xiàn)性的子系統(tǒng)

(1)

(2)

其中(x,y,z)為狀態(tài)變量．當(dāng)a<0,c<0并且d<0時(shí)，顯然兩個(gè)子系統(tǒng)是穩(wěn)定的．經(jīng)過(guò)正弦函數(shù)糾纏 (1) 與 (2) 兩個(gè)線(xiàn)性子系統(tǒng)將會(huì)得出以下混沌系統(tǒng)

(3)

其中a<0,c<0,d<0,(b,b1,d1,e)∈R4,糾纏函數(shù)為(sinx,siny,sinz)．當(dāng)a=-2,b=6,c=3,d=-4,e=20,d1=40,b1=38時(shí)，系統(tǒng)(3)存在一個(gè)如圖1所示的混沌吸引子．

圖1　當(dāng)a=-2,b=6,c=3,d=-4,e=20,d1=40,b1=38時(shí)系統(tǒng)(3)的相圖

2　新系統(tǒng)的混沌驗(yàn)證

2.1耗散性與吸引子的存在性

根據(jù)系統(tǒng)(3)的向量場(chǎng)散度

(4)

我們可以得到系統(tǒng)(3)是耗散的，也就是體積元v0在t時(shí)刻收縮到體積元V0e(2a+d)(t-t0)，并且當(dāng)t→∞時(shí)，系統(tǒng)(4)軌線(xiàn)的每個(gè)小體積元都以指數(shù)率2a+d收縮到0.系統(tǒng)(4)的軌線(xiàn)最終將被限制到體積為0的極限子集上，且被固定到1個(gè)吸引子上．

2.2對(duì)稱(chēng)性和不變性

2.3有界性

若一個(gè)系統(tǒng)是有界的，并且它有一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，則我們稱(chēng)這個(gè)系統(tǒng)是混沌的．

定理1當(dāng)a<0,c<0,d<0時(shí)，系統(tǒng)(3)有界．

證明把系統(tǒng)(3)寫(xiě)成下面的形式

其中

我們定義

V=XTX,

那么有

則

當(dāng)‖x‖≥M時(shí),我們得到

這說(shuō)明系統(tǒng)(3)是有界的．

2.4平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

平衡點(diǎn)是分析新系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性的重要元素，首先我們要找到系統(tǒng)的平衡點(diǎn). 因?yàn)橄到y(tǒng)(3)存在很多個(gè)平衡點(diǎn)，并且找到它的精確解非常困難.為便于研究，只考慮當(dāng)平衡點(diǎn)為E0=(0,0,0)時(shí)的情況．

引理1多項(xiàng)式p(λ)=λ3+p1λ2+p2λ+p3的所有根都有負(fù)實(shí)部的充分且必要條件為p1,p2,p3都為正數(shù)，且滿(mǎn)足不等式p1p2>p3．

定理2當(dāng)滿(mǎn)足條件

-(2a+d)>0,a2+2ad+bc+be>0,

a2d-bcd-bde-b1d1(c+e)>0,

-(2a+d)(a2+2ad+bc+be)

>a2d-bcd-bde-b1d1(c+e),

時(shí)，平衡點(diǎn)E0就是漸進(jìn)穩(wěn)定的．

證明因?yàn)橄到y(tǒng) (3) 在E0=(0,0,0)處的Jacobian矩陣為

(5)

并且相應(yīng)的特征多項(xiàng)式為

(6)

由引理1可以得到，平衡點(diǎn)E0是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是使公式(6)有負(fù)實(shí)部的特征根不等式，即a2+2ad+bc+be>0,2a+d>0,a2d-bcd-bde-b1d1(c+e)<0，且

(7)

成立．因此當(dāng)條件(7)滿(mǎn)足時(shí)，我們可以得到E0=(0,0,0)是漸進(jìn)穩(wěn)定的．

3　系統(tǒng)(3)的Hopf分岔分析

系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)E0處的Jacobian矩陣為

可以得到以下的線(xiàn)性函數(shù)：

B(x,y)=(0,0,0),C(x,y,z)=

(-d1x3y3z3,-ex1y1z1,-b1x2y2z2)

(8)

A0的特征值為

(9)

可得

(10)

P=(p1,p2,p3)T,

(11)

其中

另外得

h11=(0,0,0)T,B(q,h11)=(0,0,0)T,

(12)

(13)

其中

以及

=(-d1,-ek1-ek2i,-b1k3-b1k4i)

(14)

(15)

假設(shè)系統(tǒng)是隨著參數(shù)b的變化而變化的，在臨界值b=b0處我們有ξ′(b0)=Re

(16)

若ξ′(b0)≠0，那么Hopf分岔橫截性條件成立．

定理3系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)E0處的第一Lyapunov系數(shù)為

(17)

當(dāng)l1≠0時(shí)，系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)E0處發(fā)生Hopf分岔．特別地，若l1<0，系統(tǒng)發(fā)生超臨界Hopf分岔；若l1>0，系統(tǒng)發(fā)生亞臨界Hopf分岔．

4　數(shù)值仿真

為了更好地驗(yàn)證上面的分析結(jié)果，選a=-2,c=2,d=-2,e=1,b1=15,d1=-3，則Hopf分岔臨界值b0=3.437 5. 當(dāng)b=6.55>b0時(shí)，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的；當(dāng)b=1.705>b0時(shí)，平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，分別如圖2、4所示．通過(guò)計(jì)算得l1=128.311 62>0,ζ′(b0)=-0.224 6，也就是說(shuō)橫截條件成立．所以，系統(tǒng)(3)此時(shí)在平衡點(diǎn)E0處發(fā)生亞臨界Hopf分岔，且產(chǎn)生一個(gè)不穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖3所示．

圖2　當(dāng)a=-2,c=2,d=-2,e=1,b1=15,

圖3　當(dāng)a=-2,c=2,d=-2,e=1,b1=15,

圖4　當(dāng)a=-2,c=2,d=-2,e=1,b1=15,

5　結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)混沌糾纏的方法人為構(gòu)建了一個(gè)新的混沌系統(tǒng)，通過(guò)詳細(xì)的理論推導(dǎo)和數(shù)值分析得出該系統(tǒng)存在混沌吸引子．此外，利用非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)理論知識(shí)討論了該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性．通過(guò)Hopf分岔理論，對(duì)系統(tǒng)的Hopf分岔行為進(jìn)行了詳細(xì)分析，并且推導(dǎo)出系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分岔的參數(shù)條件．通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的第一Lyapunov系數(shù)，判斷了Hopf分岔的方向及其穩(wěn)定性．

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(責(zé)任編輯穆剛)

Hopf bifurcation investigation for a new chaos entanglement system

Kutorzi Edwin Yao, ZHANG Jiangang, QIN Shuang

(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou Gansu 730070, China)

In this paper a new chaos entanglement system was proposed, and the theoretical analysis and numerical results show that chaos attractor exists in the system. In addition, the stability of equilibria and the existence and stability of the Hopf bifurcation were studied by using the theory of nonlinear dynamics. The direction and stability of the Hopf bifurcation were given by computing the first Lyapunov coefficient. Then, the numerical simulation is given to illustrate the theoretical analysis.

chaos entanglement; stability; Lyapunov coefficients; Hopf bifurcation

2016-04-12

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61364001).

Kutorzi Edwin Yao(1984—),男, 碩士研究生,主要從事非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方面的研究.

O415.5

A

1673-8004(2016)05-0024-05

[通訊簡(jiǎn)介]秦爽(1992—)，黑龍江大慶人，碩士研究生，主要從事非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)及其控制方面的研究.