潘　英　方躍法　汪叢哲

北京交通大學(xué)，北京，100044

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五自由度3D打印并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)及分析

潘英方躍法汪叢哲

北京交通大學(xué)，北京，100044

為實(shí)現(xiàn)多向3D打印，設(shè)計(jì)了一種新型五自由度3D打印并聯(lián)機(jī)器人，該機(jī)器人具有兩個轉(zhuǎn)動自由度和三個平動自由度，其特點(diǎn)是采用鉸接的動平臺以獲得大的工作空間。根據(jù)建立的運(yùn)動學(xué)模型，計(jì)算了該機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)反解，分析了定姿態(tài)位置工作空間和定位置姿態(tài)工作空間，用螺旋理論方法建立了速度雅可比矩陣，在此基礎(chǔ)上分析了五自由度3D打印并聯(lián)機(jī)器人的奇異性、靈巧性，并進(jìn)行了運(yùn)動仿真分析。研究結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的五自由度3D打印并聯(lián)機(jī)器人具有大的位置工作空間和姿態(tài)工作空間，該機(jī)器人在工作空間內(nèi)存在奇異位置，通過添加冗余驅(qū)動后可以消除奇異位置，并且具有良好的靈巧性，適合多向3D打印。

多向3D打?。徊⒙?lián)機(jī)構(gòu)；大工作空間；奇異性；冗余驅(qū)動

0　引言

3D打印技術(shù)也稱增材制造技術(shù)，與傳統(tǒng)的去除材料加工技術(shù)完全不同，是通過逐層增加材料來生成3D實(shí)體。有人指出，3D打印技術(shù)與當(dāng)今發(fā)達(dá)的數(shù)字技術(shù)相結(jié)合，再加上互聯(lián)網(wǎng)的普及以及微小而成本低廉的電子電路的廣泛使用，將會打開第三次工業(yè)革命的大門[1]。

國內(nèi)外很多學(xué)者對3D打印進(jìn)行了研究[2-5]，并提出了一種多向打印的概念，這種多向3D打印可以把材料沿著不同方向累積到成形的表面，提高了分層制造的質(zhì)量，但要求機(jī)器人至少具有4個自由度。Lee等[6]設(shè)計(jì)了一種五自由度的3D打印機(jī)器人以實(shí)現(xiàn)多向打印。Keating等[7]把3D打印技術(shù)和多軸銑等加工技術(shù)結(jié)合到一起，用六自由度的KUKA KR5 sixx R850機(jī)器人實(shí)現(xiàn)了多功能和多材料的加工。但上述機(jī)器人主要采用的是串聯(lián)機(jī)構(gòu)，串聯(lián)機(jī)構(gòu)慣性大、誤差較大，目前市場上的大部分3D打印機(jī)器人都采用的是串聯(lián)結(jié)構(gòu)，打印出的產(chǎn)品的精度和相對復(fù)雜程度都比較低[8]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)因其具有精度高、剛度大、速度快、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛地應(yīng)用，但并聯(lián)機(jī)器人工作空間小，其應(yīng)用受到了很多限制。目前基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多向3D打印的研究相對較少，Song等[9]把Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用在3D打印上，但是六自由度Stewart機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)的工作空間比較小，不能滿足尺寸較大的零部件的加工，且利用率較低。

本文設(shè)計(jì)了一種新型多向3D打印機(jī)器人。為保證多向3D打印機(jī)器人末端執(zhí)行器剛度與運(yùn)動的精度，采用并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過4個平行四邊形結(jié)構(gòu)與動平臺、定平臺組成閉環(huán)結(jié)構(gòu)；為獲得大的工作空間，采用具有可變機(jī)構(gòu)的動平臺(鉸接動平臺)。

1　機(jī)構(gòu)簡述

如圖1a所示，本文分析的3D打印并聯(lián)機(jī)器人模型由動平臺、定平臺、支撐桿、驅(qū)動滑塊、平行四邊形連桿、連桿PL和連桿PR組成，連桿PL和PR與支撐桿由復(fù)合支鏈PRPaR連接，其中P表示移動副、R表示轉(zhuǎn)動副、Pa表示由4個R副組成的具有平行四邊形機(jī)構(gòu)的復(fù)合運(yùn)動副。動平臺與連桿PL和PR通過R副連接，如圖1b所示，PL和動平臺中間連桿PM之間由轉(zhuǎn)動副R3連接，PR桿和動平臺由轉(zhuǎn)動副R1連接。

(a)2R3T_PM機(jī)器人三維模型

(b)　2R3T_PM鉸接動平臺圖1　2R3T_PM三維模型

傳統(tǒng)的剛體動平臺自身沒有自由度，連桿與連桿之間或連桿與動平臺之間具有較大的干涉作用，并聯(lián)機(jī)器人的工作空間受到很大的限制。本文分析的并聯(lián)機(jī)器人的動平臺區(qū)別于傳統(tǒng)的剛體動平臺，具有一個被動轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)R2，圖1b所示是一種鉸接動平臺，可以實(shí)現(xiàn)繞X軸的轉(zhuǎn)動。由于4個復(fù)合支鏈PRPaR和剛性動平臺構(gòu)成的并聯(lián)機(jī)構(gòu)(H4)具有三個移動的自由度和一個繞Z軸轉(zhuǎn)動的自由度[10]，故本文設(shè)計(jì)的3D打印并聯(lián)機(jī)器人把鉸接動平臺與4個復(fù)合支鏈PRPaR連接，可以實(shí)現(xiàn)三個自由度的移動和兩個自由度的旋轉(zhuǎn)，并把該五自由度3D打印并聯(lián)機(jī)器人命名為2R3T_PM。

2　運(yùn)動學(xué)反解分析

2.1幾何模型

2R3T_PM3D打印并聯(lián)機(jī)器人的幾何模型見圖2，定坐標(biāo)系為ObXbYbZb，動坐標(biāo)系為OXYZ，O位于動平臺的中心，O1、O2和O4分別為運(yùn)動副R1、R2和R3的中心，O3為連桿PR的中心，且在Y軸上，Ci(i=1,2,3,4)分別表示PL桿和PR桿與Pa的連接運(yùn)動副的中心，Aj(j=1,2,3,4，5)表示驅(qū)動部件運(yùn)動副中心，Bi(i=1,2,3,4)表示驅(qū)動部件與Pa的連接運(yùn)動副中心。參數(shù)l1、l2、l3、r1、r2、r3分別表示BiCi、C1C2、C3C4、O1O2、O1O3、O2O4的長度，r4表示O4到C3C4或O3到C1C2的Z方向上的距離，pj表示驅(qū)動滑塊在Z方向的位置。

(a)2R3T_PM并聯(lián)結(jié)構(gòu)簡圖

(b)支鏈1結(jié)構(gòu)簡圖圖2　2R3T_PM的幾何模型

2.2位置反解

O在定坐標(biāo)系中的位置為bo=(x，y，z)T，j和i分別表示X、Y瞬時軸，繞X、Y軸的轉(zhuǎn)動可表示為先繞i軸轉(zhuǎn)動角度α，再繞j軸旋轉(zhuǎn)角度β，旋轉(zhuǎn)矩陣分別表示為RY(α)和RX(β)，則總的變換矩陣為

bRp=RY(α)RX(β)

(1)

O1和O2在動坐標(biāo)系中的位置分別為

po1=(0，r1/2，0)T

po2=(0，-r1/2，0)T

可得O1和O2在定坐標(biāo)系中的位置分別為

bo1=bo+bRppo1

(2)

bo2=bo+bRppo2

(3)

得Ci(i=1,2,3,4)在定坐標(biāo)系中的位置為

bc3=bo2+(l3/2，-r3，r4)T

bc4=bo2+(-l3/2，-r3，r4)T

(4)

由式(4)可得驅(qū)動滑塊在Z方向上的位置pi為

(5)

引入變量角度δ表示連桿D1E1和Zb方向上的單位向量zb的角度。如圖2b所示，轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)B1的軸線始終與Yb軸平行。D1E1垂直于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)B1的軸線和B1C1所在的平面，D1E1的單位向量可以表示為

其中,yb為Yb方向上的單位向量。因此

δ=arccos(nD1E1·zb)

則p5可由p1表示為

(6)

式中，l4為D1E1的長度；l5為D1B5的長度。

給定結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)如表1 所示。

表1　結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)　mm

3　速度雅可比矩陣

(7)

其中，Jx和Jp分別被稱為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的間接和直接雅可比矩陣。根據(jù)螺旋理論，動平臺相對于基座的瞬時速度旋量V可以寫成每條支鏈中的各個關(guān)節(jié)的速度以及運(yùn)動副旋量的線性組合[11]。對于支鏈k(k=1,2)有如下關(guān)系式：

VR=1wk1$k+2wk2$k+3wk3$k+4wk4$k

(8)

j=1,2,4

3$i是復(fù)合關(guān)節(jié)Pa的單位螺旋，可表示為

(9)

(10)

式中，nGi為GiCi的單位矢量。

圖3　螺旋量的表示

nGi可以根據(jù)下式求出：

(11)

用式(9)和式(10)與式(8)進(jìn)行互易積可得

(12)

對于2R3T_PM的支鏈3和支鏈4,有與式(8)類似表達(dá)式:

VL=1wi1$i+2wi2$i+3wi3$i+4wi4$i

(13)

i=3,4

(14)

從式(8)和式(13)中可以看出螺旋VR和VL都表示與Ob瞬時重合點(diǎn)的速度，但分別屬于連桿PR和PL。PR和PL的速度可以表示

(15)

其中，wR和vR分別表示PR桿的角速度和線速度，wL和vL分別表示PL桿的角速度與線速度。PR桿可以實(shí)現(xiàn)三維移動和繞Yb軸轉(zhuǎn)動，所以wR=(0,wy,0)T，wy表示繞Yb軸轉(zhuǎn)動的角速度。PL桿可以實(shí)現(xiàn)三維移動，不能轉(zhuǎn)動，因此wL=0，PL桿上各點(diǎn)的速度都相等，所以點(diǎn)O4的速度vO4等于vL。因?yàn)镺2和O4在同一軸線上，所以O(shè)2點(diǎn)的速度vO2等于vO4?；喪?15)可得

(16)

因?yàn)镺1是固定在PR桿上的點(diǎn)，它的速度vO1可以表示為

vO1=vR+wyy×ObO1

(17)

其中，y為平行于軸Yb的單位向量。相對于PL桿，PR桿可以繞i軸和j軸旋轉(zhuǎn)，即有

(18)

(19)

Jp=diag(A1C1×n1·1s1,A2C2×n2·1s2,

A3C3×n3·1s3,A4C4×n4·1s4,B1C1×nGi·2s1)

(20)

式(6)對時間求導(dǎo)可得

(21)

4　運(yùn)動性能分析

4.1工作空間

機(jī)器人工作空間是機(jī)器人末端操作器的工作區(qū)域，它是衡量機(jī)器人性能的重要指標(biāo)之一。并聯(lián)機(jī)器人工作空間可分為定姿態(tài)的位置工作空間和定位置的姿態(tài)工作空間。

4.1.1定姿態(tài)的位置工作空間

本文基于Gosselin幾何法[12]，利用運(yùn)動學(xué)反解來分析2R3T_PM定姿態(tài)工作空間，根據(jù)桿長約束條件，取Zmin

圖4　定姿態(tài)工作空間

從圖4中可以得出，2R3T_PM可以像Delta和H4并聯(lián)機(jī)器人一樣有很大的位置工作空間，且該工作空間關(guān)于平面YbZb對稱，但不關(guān)于平面XbZb對稱。

4.1.2定位置的姿態(tài)工作空間

同定姿態(tài)的位置工作空間分析方法，求出2R3T_PM在定位置bo=(x，y，z)T時的姿態(tài)工作空間，圖5a～圖5d分別顯示了bo=(0，0，175 mm)T，bo=(0，0，200 mm)T，bo=(0，0，220 mm)T，bo=(0，0，240 mm)T時的姿態(tài)工作空間。

由圖5可以看出，當(dāng)給定驅(qū)動滑塊在Z軸上的移動范圍，動平臺原點(diǎn)的位置從bo=(0，0，175 mm)T變化到bo=(0，0，240 mm)T時，2R3T_PM并聯(lián)機(jī)器人姿態(tài)工作空間逐漸變大。在位置bo=(0，0，240 mm)T時，姿態(tài)角α的變化范圍是-120°～120°，β的變換范圍是-180°～180°。所以，當(dāng)Z取適當(dāng)?shù)奈恢脮r，2R3T_PM并聯(lián)機(jī)器人可以實(shí)現(xiàn)大范圍的轉(zhuǎn)動，甚至姿態(tài)角β在理論上可以實(shí)現(xiàn)360°的旋轉(zhuǎn)，克服了并聯(lián)機(jī)器人轉(zhuǎn)動工作空間小的缺點(diǎn)。

(a)z=175 mm　　　　(b) z=200 mm

4.2奇異性分析

由速度分析可知，該機(jī)構(gòu)的速度映射包含式(7)和式(21)所示的兩部分。其中，式(21)中的奇異可以很容易得到，當(dāng)δ=0°或δ=180°時，式(21)發(fā)生奇異。而式(7)中的奇異位形要復(fù)雜得多，根據(jù)奇異性的分類，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異是由式(7)中的雅可比矩陣Jp或Jx降秩而導(dǎo)致的。若Jp發(fā)生奇異， 稱為逆運(yùn)動學(xué)奇異；若Jx發(fā)生奇異，稱為正運(yùn)動學(xué)奇異。

4.2.1逆運(yùn)動學(xué)奇異

逆運(yùn)動學(xué)的奇異性很容易得出，由于Jp是對角矩陣，故若Jp降秩，則AiCi×ni·1si=0(i=1,2,3,4)或B1C1×nGi·2s1=0，即上述的三個向量都在同一平面或叉乘部分為零，則奇異發(fā)生。

顯然，這些奇異位置在工作空間的邊界位置上，屬于邊界奇異。

4.2.2正運(yùn)動學(xué)奇異

由于方程detJx=0 是非常復(fù)雜的非線性方程，很難求出其解析解，故本文用矩陣Jx的條件數(shù)來判斷Jx是否奇異，矩陣Jx的條件數(shù)越大，說明機(jī)構(gòu)越趨于奇異位置。由于Jx既包含有移動分量，又包含有轉(zhuǎn)動分量，而不同分量的度量方式不同，因此，需首先將Jx正則化，本研究采用文獻(xiàn)[13]提出的特征長度方法。下面所使用的條件數(shù)都是通過正則化后所計(jì)算出的。

首先，分析在位置bo=(0，0，z)T(z可以取任意值)處的Jx的條件數(shù)。圖6顯示的是β=0，α的變化范圍是-120°～120°時，條件數(shù)κ(Jx)倒數(shù)的變化曲線。從圖6中可以看出1/κx存在零點(diǎn)，說明在該位置條件數(shù)κx無窮大，是奇異位置。為了使2R3T_PM實(shí)現(xiàn)大轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)動，保證在工作空間內(nèi)正常運(yùn)動，必須消除奇異位置，本文采用在被動關(guān)節(jié)處添加冗余驅(qū)動的方式，即將冗余驅(qū)動添加在關(guān)節(jié)B2、B3、B4上。圖7顯示的是添加冗余驅(qū)動后κx隨α的變化曲線，可以看出，條件數(shù)κx在2.50～2.85之間，κx隨α的變化曲線變化平穩(wěn)，沒有突變的峰值，完全消除了奇異位置。添加冗余驅(qū)動后，κx隨β的變化曲線也比較平穩(wěn)，如圖8所示，條件數(shù)κx在3.0～3.5之間，不存在奇異位置。下面的運(yùn)動性能分析都是針對添加冗余驅(qū)動后的五自由度3D打印并聯(lián)機(jī)器人的。

圖6　條件數(shù)倒數(shù)1/κx隨α的變化曲線

圖7　添加冗余驅(qū)動后條件數(shù)κx隨α的變化曲線

圖8　添加冗余驅(qū)動后條件數(shù)κx隨β的變化曲線

4.3靈巧性分析

為了衡量3D打印機(jī)器人運(yùn)動輸入與輸出之間的傳遞關(guān)系失真程度，需要對雅可比條件數(shù)進(jìn)行評估[14]。雅可比條件數(shù)越大，機(jī)構(gòu)輸入速度變化對輸出的影響越大，當(dāng)雅可比條件數(shù)等于1時，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動傳遞性能最好。用雅可比條件數(shù)評定具有純移動或純轉(zhuǎn)動的機(jī)構(gòu)的靈巧性比較合理，但對于這類既有轉(zhuǎn)動又有移動的少自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，無法保證其結(jié)論的正確性。因此本文采用文獻(xiàn)[15]提出的局部條件指標(biāo)來分析。

(23)

于是改寫成：

(24)

其中，JV和Jω分別表示雅可比矩陣移動部分和轉(zhuǎn)動部分的局部矩陣，據(jù)此可以得到矩陣JV和Jω的條件數(shù)，分別記為κJV和κJω，它們稱為線速度和角速度各項(xiàng)同性指標(biāo)，分別用來評價機(jī)器人線速度和角速度的各項(xiàng)同性和靈巧性，其分布結(jié)果如圖9、圖10所示。

(a)條件數(shù)κJV的分布

(b)條件數(shù)κJω的分布圖9　條件數(shù)在x=0,y=0,z=30 mm時的分布情況

由圖9、圖10可以看到，在其整個工作空間內(nèi)，條件數(shù)κJV和κJω是一個很小的值，變化平穩(wěn)，沒有突變的峰值，保證了機(jī)構(gòu)在整個工作空間內(nèi)具有良好的靈巧度指數(shù)。從圖10中可以看到在負(fù)Y軸上具有良好的靈巧度指數(shù)，y=-50 mm時條件數(shù)κJV和κJω的最大值分別為20和3.6左右，在x取值變化范圍內(nèi)曲線平穩(wěn)，在設(shè)計(jì)的時候考慮把2R3T_PM的初始位置定在負(fù)Y軸上，以獲得更好的靈巧性。

5　運(yùn)動仿真分析

(a)條件數(shù)κJV的分布

(b)條件數(shù)κJω的分布

(c)κJV在y=-50 mm時的分布情況

(d)κJω在y=-50 mm時的分布情況圖10　條件數(shù)在α=0,β=0,z=30 m m時的分布情況

本文設(shè)計(jì)的多向3D打印機(jī)器人可以實(shí)現(xiàn)在已成形的零件上加工另一部分的功能。給定打印頭運(yùn)動軌跡，設(shè)定打印機(jī)噴頭直徑為5 mm，打印頭移動的法線方向如圖11所示。用ADAMS軟件對2R3T_PM模型進(jìn)行仿真，反求得各個驅(qū)動關(guān)節(jié)的位移和速度，圖12為各個驅(qū)動關(guān)節(jié)的位移和速度隨時間變化的曲線。為實(shí)現(xiàn)3D打印機(jī)器人的運(yùn)動，必須對驅(qū)動關(guān)節(jié)進(jìn)行協(xié)調(diào)控制。

圖11　設(shè)定的打印頭運(yùn)動軌跡示意圖

(a)驅(qū)動關(guān)節(jié)位移

(b)驅(qū)動關(guān)節(jié)速度1.驅(qū)動關(guān)節(jié)1　2.驅(qū)動關(guān)節(jié)2　3.驅(qū)動關(guān)節(jié)3　4.驅(qū)動關(guān)節(jié)4　5.驅(qū)動關(guān)節(jié)5圖12　驅(qū)動關(guān)節(jié)線位移和速度隨時間變化曲線

6　結(jié)論

(1)本文設(shè)計(jì)的3D打印機(jī)器人2R3T_PM采用五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，可實(shí)現(xiàn)多向3D打印。

(2)2R3T_PM采用了鉸接動平臺，這種新型機(jī)構(gòu)可以像H4和Delta機(jī)器人一樣實(shí)現(xiàn)大范圍的移動和轉(zhuǎn)動，解決了一般并聯(lián)機(jī)器人工作空間小，轉(zhuǎn)動能力差的問題。

(3)2R3T_PM機(jī)器人在工作空間內(nèi)存在奇異位置，通過添加冗余驅(qū)動的方式能很好地消除奇異位置，并且添加冗余驅(qū)動后的機(jī)器人具有良好的靈巧性。

(4)給定2R3T_PM機(jī)器人末端執(zhí)行器的運(yùn)動軌跡，通過仿真求得了各個輸入關(guān)節(jié)的位移和運(yùn)動速度，為實(shí)現(xiàn)機(jī)器人控制提供參考。

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(編輯袁興玲)

Design and Analysis of Five DOF 3D Printing Parallel Robot

Pan YingFang YuefaWang Congzhe

Beijing Jiaotong University,Beijing，100044

The design of a novel parallel mechanism for multi-directional 3D printing with five DOF including three translational DOF and two rotational DOF was presented. Its characteristic was that the machine adopted a articulated moving platform to achieve larger workspace. According to the established kinematics model, the inverse kinematics was calculated, the position workspace and the orientation workspace were analyzed, and the velocity Jacobian matrix was established based on screw theory. Kinematic performances, such as singularity and dexterity were analyzed based on the computed Jacobian, the motion simulation was also analyzed. The results show that the 3D printing parallel robot has larger position workspace and the orientation workspace. Although singular location existed, it might be eliminated by means of actuation redundancy and the results prove that the mechanism has better dexterity and is suitable for multi-directional 3D printing.

multi-directional 3D printing; parallel mechanism; larger workspace; singularity; actuation redundancy

2015-08-22

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175029)；北京市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(3132019)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.17.001

潘英，女，1992年生。北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)及控制。方躍法，男，1958年生。北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。汪叢哲，男，1985年生。北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院博士研究生。