王永春

一、我國數(shù)學(xué)教育的優(yōu)勢和不足

中國數(shù)學(xué)教育的某些優(yōu)勢是明顯的，上海參加PISA測試的學(xué)生在65個國家的同齡學(xué)生中脫穎而出，在閱讀（Reading）、數(shù)學(xué)（Math）和科學(xué)（Science）三項(xiàng)評價中均大幅領(lǐng)先排在第一位。在2014年5月召開的首屆華人數(shù)學(xué)教育會議上，有專家認(rèn)為：中國數(shù)學(xué)教育的主要優(yōu)勢是“雙基+變式練習(xí)”，中國數(shù)學(xué)教育主要有三個弱項(xiàng)：獨(dú)立思考、問題解決、創(chuàng)造性。因此，中國學(xué)生創(chuàng)造性地解決實(shí)際問題的能力還有待提高！

在2014年10月召開的中國教育學(xué)會小學(xué)數(shù)學(xué)年會上，美國陶森大學(xué)孫偉教授認(rèn)為：美國數(shù)學(xué)教育學(xué)生分為三個層次：前20%，高中學(xué)習(xí)Advanced Placement（大學(xué)先修課，其中有一批優(yōu)秀的學(xué)生已經(jīng)修完了微積分課程）；中間60%，基本達(dá)標(biāo)；20%，不達(dá)標(biāo)（上社區(qū)大學(xué)后需要補(bǔ)中學(xué)甚至小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容）。修完微積分的學(xué)生主要是基于興趣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，其中部分學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后繼續(xù)研究數(shù)學(xué)。

美國特拉華大學(xué)蔡金法教授通過比較中美學(xué)生在四類數(shù)學(xué)任務(wù)上的表現(xiàn)后發(fā)現(xiàn)，中國整體水平（平均數(shù)）高于美國，極差和方差小于美國，高水平的低于美國，低水平的高于美國。這說明中國保底教育搞得好，人人獲得良好的數(shù)學(xué)教育；但是上面封頂了，不同的人在數(shù)學(xué)上沒有得到更好的發(fā)展，中國尖子生不如美國的發(fā)展得好。

作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師，首先要恰當(dāng)?shù)乩^承我國數(shù)學(xué)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)和經(jīng)驗(yàn)，改變教師講授、學(xué)生聽的單一模式，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)造。培養(yǎng)獨(dú)立思考能力應(yīng)該加強(qiáng)主體性教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，會運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問題。我們還應(yīng)學(xué)習(xí)西方的優(yōu)點(diǎn)，今后應(yīng)該把天花板蓋高一些，給優(yōu)秀的、有興趣學(xué)習(xí)的孩子提供更大的空間，減少不必要的過度的訓(xùn)練，讓那些想學(xué)習(xí)的孩子不要在題海戰(zhàn)術(shù)中消磨了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的熱情和創(chuàng)造力。其次，為我國經(jīng)濟(jì)的轉(zhuǎn)型升級和可持續(xù)發(fā)展培養(yǎng)人才打造小學(xué)數(shù)學(xué)教育的升級版：①構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（學(xué)什么），②探索主體性教學(xué)模式 （如何學(xué)好），③建立新的評價考試體系（到底學(xué)得好不好）。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要指標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出了“四基”（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)）、“四能”（發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題）、十大核心概念（數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識）。

高中數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)（修訂草稿）指出：在義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提高作為現(xiàn)代社會公民所應(yīng)具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特別是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)全面、可持續(xù)發(fā)展。使學(xué)生獲得“四基”、發(fā)展“四能”、學(xué)會“三用”。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)跟小學(xué)義務(wù)教育課程總目標(biāo)一致，進(jìn)一步明確了至少未來5年、8年我們要沿著“四基”“四能”的方向去努力。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品格和關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)知識、技能、思想、經(jīng)驗(yàn)及情感、態(tài)度、價值觀的綜合體現(xiàn)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既反映課程內(nèi)容的主線，聚焦課程目標(biāo)要求，也是學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的集中反映。高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括： 抽象能力、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)分析。更一般地說，還包括學(xué)會學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)應(yīng)用、創(chuàng)新意識。

小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以從以下幾方面來認(rèn)識。

知識：概念、公式、法則、性質(zhì)、定律等是基礎(chǔ)。

能力：運(yùn)算、推理、空間想象、數(shù)據(jù)分析、幾何直觀、解決問題（純數(shù)學(xué)、聯(lián)系實(shí)際、開放性）建模。

思想方法：理性思維的升華，是核心素養(yǎng)的核心。

三、小學(xué)階段重要的數(shù)學(xué)思想

抽象、符號化、模型、化歸、推理、方程和函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論、統(tǒng)計、極限、假設(shè)、分析與綜合、變中有不變、變換、算理算法都是小學(xué)階段涉及的重要的數(shù)學(xué)思想。

（一）抽象思想

1. 抽象思想的概念。數(shù)學(xué)抽象是對現(xiàn)實(shí)世界具有數(shù)量關(guān)系和空間形式的真實(shí)材料進(jìn)行加工、提煉出共同的本質(zhì)屬性，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)進(jìn)而形成數(shù)學(xué)理論的過程。數(shù)學(xué)抽象思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。

2. 如何理解抽象思想。（1）數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中無處不在。 任何一個數(shù)學(xué)概念、法則、公式、規(guī)律等的學(xué)習(xí)，都要用到抽象概括。（2） 數(shù)學(xué)抽象是有層次的。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展呈現(xiàn)出了逐步抽象的過程。如，數(shù)的發(fā)展，從結(jié)繩記數(shù)得到1，2，3，……等有限的自然數(shù)，再通過加法的運(yùn)算，得到后繼數(shù)，形成了無限的正整數(shù)序列： 1，2，3，……，n， …… 在此基礎(chǔ)上形成了正整數(shù)集合N。

3. 抽象思想的應(yīng)用。抽象思想在數(shù)學(xué)中無處不在。如一年級上冊，在教學(xué)10的認(rèn)識時，多數(shù)教師會結(jié)合計數(shù)器、點(diǎn)子圖、小棒等直觀教具認(rèn)識到9添上1是10，然后再進(jìn)一步學(xué)習(xí)10的組成及加減法。沒有引導(dǎo)學(xué)生思考：10與前面學(xué)習(xí)的0～9這些數(shù)有什么不同？這里實(shí)際上隱含一個非常重要的思想方法——數(shù)學(xué)抽象，它比8和9的抽象水平更高，因?yàn)?0不僅是對任何數(shù)量是10的物體的抽象，而且進(jìn)一步地說它已經(jīng)不再用新的數(shù)字計數(shù)了，而是采用了偉大的十進(jìn)位值制計數(shù)原理。

4. 數(shù)學(xué)抽象思想的教學(xué)。

具體 → 抽象 → 具體

↓ ↓ ↓

情境 → 模型 → 應(yīng)用

注意，這里的模型是廣義的，數(shù)學(xué)概念、法則、公式、數(shù)量關(guān)系、規(guī)律等都可以理解為模型。

（二）模型思想

1.模型思想的概念。數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號表達(dá)式和圖表，因而它與符號化思想有很多相通之處，同樣具有普遍的意義。不過，也有很多數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)模型的理解似乎更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，即把數(shù)學(xué)模型描述為事物系統(tǒng)特定的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。如通過數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)、物理、農(nóng)業(yè)、生物、社會學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，所構(gòu)造的各種數(shù)學(xué)模型。為了把數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)知識或是符號思想明顯地區(qū)分開來，主要從狹義的角度討論數(shù)學(xué)模型，即重點(diǎn)分析小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用及數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。

2.模型思想的重要意義。模型思想在數(shù)學(xué)思想方法中有非常重要的地位。如果說符號化思想更注重數(shù)學(xué)抽象和符號表達(dá)，那么模型思想更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用，即通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問題，尤其是現(xiàn)實(shí)中的各種問題。當(dāng)然，把現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過程也是一個抽象的過程。

2011版課程標(biāo)準(zhǔn)與原課程標(biāo)準(zhǔn)相比有了較大變化，在課程內(nèi)容部分中明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識”。

3.以數(shù)學(xué)模型為核心的問題解決的教學(xué)。傳統(tǒng)上應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)與四則運(yùn)算、混合運(yùn)算相匹配，包括有連續(xù)兩問的應(yīng)用題、相似應(yīng)用題的比較，現(xiàn)在有問題串，這些都是很好的做法和經(jīng)驗(yàn)，是知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，但這種結(jié)構(gòu)是線性的。

我們以基本模型和問題為核心，構(gòu)建問題鏈，可以是網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，從而最大限度地整合豐富多彩的問題。以s=vt為例，模型結(jié)構(gòu)圖如下，a是常數(shù)。請老師自己編題。

（三）推理思想

1. 推理思想的概念。推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時，結(jié)論必然為真。演繹推理的常用形式有：三段論、選言推理、假言推理、關(guān)系推理等。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。合情推理的常用形式有：歸納推理和類比推理。當(dāng)前提為真時，合情推理所得的結(jié)論可能為真也可能為假。

2. 推理思想的重要意義。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性。人們在利用數(shù)學(xué)解決各種實(shí)際問題的過程中，雖然大量的計算和推理可以通過計算機(jī)來完成。但是就人的思維能力構(gòu)成而言，推理能力仍然是至關(guān)重要的能力之一，因而培養(yǎng)推理能力仍然是數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)之一。

3.推理思想的教學(xué)。就演繹推理和合情推理的關(guān)系及教學(xué)建議，根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》關(guān)于推理思想的理念和要求，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意把握以下幾點(diǎn)。第一，推理是重要的思想方法之一，是數(shù)學(xué)的基本思維方式，要貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。合情推理多用于根據(jù)特殊的事實(shí)去發(fā)現(xiàn)和總結(jié)一般性的結(jié)論，演繹推理往往用于根據(jù)已有的一般性的結(jié)論去證明和推導(dǎo)新的結(jié)論。二者在數(shù)學(xué)中的作用都是很重要的。事實(shí)上，小學(xué)數(shù)學(xué)教材和教學(xué)長期重視歸納法，現(xiàn)在應(yīng)加強(qiáng)類比法、演繹推理。如，整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)，學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)是分?jǐn)?shù)的運(yùn)算順序、整小數(shù)運(yùn)算律；教學(xué)時，可不必再探究，直接引導(dǎo)學(xué)生類比。第三，推理能力的培養(yǎng)與四大內(nèi)容領(lǐng)域的教學(xué)要有機(jī)地結(jié)合，在教學(xué)過程中要給學(xué)生提供各個領(lǐng)域豐富的、有挑戰(zhàn)性的觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動，去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，培養(yǎng)推理能力。第四，把握好推理思想教學(xué)的層次性和差異性。推理能力的培養(yǎng)要結(jié)合具體知識的學(xué)習(xí)，同時要考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力。

四、如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)研究

首先，要轉(zhuǎn)變觀念，提高認(rèn)識。建立現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀、落實(shí)新課程理念，培養(yǎng)人的理性精神、邏輯思維、解決問題的能力；提高教師專業(yè)素養(yǎng)、提高教學(xué)水平，授人以漁、既見樹又見林，實(shí)現(xiàn)高觀點(diǎn)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教育；提高學(xué)生的思維水平、培養(yǎng)“四能”，認(rèn)識數(shù)學(xué)的價值（不能單純地認(rèn)為數(shù)學(xué)是考試升學(xué)的工具）。

其次，注重團(tuán)隊(duì)研修。有條件的話，本校所有數(shù)學(xué)教師全員參與，按照主要的核心素養(yǎng)和思想方法，如抽象、推理、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、模型、方程與函數(shù)、統(tǒng)計、其他等分成若干個專題，在一年的時間內(nèi)，大約一個月搞一次專題研修活動，所有教師分成幾個小組，每次活動以一個小組為主，匯報一個專題的學(xué)習(xí)研究成果。

再次，將理論學(xué)習(xí)與教學(xué)實(shí)踐結(jié)合。在一年的時間內(nèi)，可根據(jù)教學(xué)進(jìn)度確定每個月的交流專題，每個教師的匯報能夠結(jié)合案例，最好是在課堂中進(jìn)行幾次教學(xué)實(shí)踐探索，總結(jié)比較成熟的經(jīng)驗(yàn)，便于在全校教師中推廣。

最后，以積累優(yōu)秀案例的方式積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。每一個普通教師要以名師為學(xué)習(xí)的榜樣，需要學(xué)習(xí)其方方面面，但是更要從具體的事情做起。希望每個教師每學(xué)期研究兩節(jié)課，重點(diǎn)體現(xiàn)一兩個數(shù)學(xué)思想方法，寫成教學(xué)設(shè)計，包括學(xué)情分析、教材分析、教學(xué)過程、教學(xué)反思、磨課過程等。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)課中滲透數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一朝一夕的事情，需要我們用聯(lián)系和發(fā)展的觀點(diǎn)，處理好知識間的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學(xué)生將碎片化的知識建構(gòu)為結(jié)構(gòu)化的知識，促進(jìn)學(xué)科的深度學(xué)習(xí)。知易行難，行勝于言，內(nèi)化于心，外化于行，只有這樣我們的學(xué)習(xí)、研究才會真正發(fā)生。