浙江安吉縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)　　吳韻波

用生長(zhǎng)代替重復(fù)
——《長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)》的課例研究

浙江安吉縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)吳韻波

《長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)》是三年級(jí)上冊(cè)的一節(jié)傳統(tǒng)計(jì)算課，與以往不同，最新審定版的教材在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，專門安排了整整兩節(jié)課來認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)和了解長(zhǎng)方形、正方形的特征。通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)充分理解了周長(zhǎng)的含義，對(duì)于“如何計(jì)算平面圖形的周長(zhǎng)”也有了相應(yīng)的感悟。那么，改版后的這節(jié)課目標(biāo)定位又該如何？有了更充裕的教學(xué)時(shí)間，課堂中的我們應(yīng)該關(guān)注些什么呢？針對(duì)這些困惑，我們備課組決定就這一教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行一次課例研究。

【令人汗顏的第一次】

一、復(fù)習(xí)引入

1.師：什么是周長(zhǎng)？說說怎樣的圖形有周長(zhǎng)。

2.先指一指下面圖形的周長(zhǎng)，再量一量，算出它們的周長(zhǎng)各是多少。

二、長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)公式探究

1.探究長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式

師出示右圖，讓學(xué)生先獨(dú)立計(jì)算這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，然后組內(nèi)交流，最后全班交流。

全班展示時(shí)，學(xué)生共有4種方法：（1）6+4+6+4=20。（2）6+6+4+4=20。（3）6×2+4×2=20。（4）（6+4）×2=20。師讓學(xué)生擇優(yōu)：這么多種方法你比較喜歡哪種方法？為什么？學(xué)生普遍喜歡前三種，只有兩個(gè)學(xué)生認(rèn)為第四種比較優(yōu)，理由是這樣做少算一步。

2.探究正方形周長(zhǎng)公式

（出示正方形）這個(gè)正方形的周長(zhǎng)你會(huì)算嗎？學(xué)生先動(dòng)手量一量，算一算，再指名反饋。學(xué)生共有3種方法：（1）5+5+5+5=20。（2）5×2+5×2=20。（3）5×4=20。

師：這么多算法你喜歡哪種方法？學(xué)生大部分喜歡前兩種。

師：為什么？（生：這樣算比較簡(jiǎn)便）

三、鞏固深化，解決實(shí)際問題

一塊長(zhǎng)方形木板，長(zhǎng)90分米，寬60分米。如圖截去一塊邊長(zhǎng)為30分米的正方形。

（1）周長(zhǎng)會(huì)變嗎？為什么？

（2）計(jì)算它的周長(zhǎng)。

【前后測(cè)結(jié)果對(duì)比】

本次課例研究的前后測(cè)采用同一個(gè)班同樣兩組學(xué)生（共12人），前后測(cè)結(jié)果基本沒有變化，會(huì)的還是會(huì)，不會(huì)的還是不會(huì)。

【原因分析】

1.教師注重算法的教學(xué)，而忽略了周長(zhǎng)意義的理解，更沒有意識(shí)到“周長(zhǎng)”與“長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)”的一般與特殊的關(guān)系，即沒有找對(duì)這節(jié)課的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)。

2.本節(jié)課教師始終把目光聚焦在長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)公式的推導(dǎo)和優(yōu)化上，雖然教師希望學(xué)生能更傾向于第四種算法，但這只是一廂情愿。課堂中喜歡第二種和第三種算法的學(xué)生占大多數(shù)。周長(zhǎng)的本質(zhì)就是連加求和，前三種方法思維水平低，比較容易理解，是學(xué)生眼中的好方法。而第四種方法思維水平高，內(nèi)涵豐富，是在“加數(shù)相同，用乘法計(jì)算比較簡(jiǎn)便”基礎(chǔ)上知識(shí)進(jìn)一步發(fā)展的結(jié)果，是形式的簡(jiǎn)化，因?yàn)殡y以理解，所以感受不到它的優(yōu)越性，以致學(xué)生不喜歡，不愿意用。

【達(dá)成共識(shí)】

基于以上原因的分析，經(jīng)過大家的共同商討，我們達(dá)成了這樣的共識(shí)：

1.計(jì)算長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)只是計(jì)算周長(zhǎng)的一個(gè)特例

求平面圖形的周長(zhǎng)本質(zhì)是連加求和，三角形就是三邊之和，四邊形就是四邊之和，五邊形就是五邊之和……即使是不規(guī)則圖形，只要將它一周的長(zhǎng)度連加即可。任意圖形邊長(zhǎng)沒有規(guī)律，所以只有連加一種計(jì)算方法。而有些特殊圖形的邊的長(zhǎng)短是有規(guī)律的，如長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、正三角形、正五邊形等，它們可以有多種算法，當(dāng)然也有屬于自己的特殊算法。本節(jié)課的學(xué)習(xí)就是從一般到特殊，從不規(guī)則到規(guī)則的過程。

2.長(zhǎng)方形和正方形邊的長(zhǎng)短特征是它們周長(zhǎng)算法多樣化和優(yōu)化的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立存在的，每一種算法都有其存在的基礎(chǔ)和發(fā)展形態(tài)。長(zhǎng)方形周長(zhǎng)四種算法中第一、二種“四條邊相加”的方法是原始方法，能直接體現(xiàn)周長(zhǎng)的意義。而第三、四種是在“四條邊相加”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。因?yàn)檎叫斡小八倪呄嗟取钡奶攸c(diǎn)，長(zhǎng)方形有“對(duì)邊相等”的特點(diǎn)，因而帶來了數(shù)據(jù)和計(jì)算方法的特殊性。課堂中我們可以引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形和正方形作為特殊四邊形它們到底特殊在哪里，再以“計(jì)算長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)最少要量幾條邊的長(zhǎng)度”為切入口，使學(xué)生經(jīng)歷算法的發(fā)展過程，理解新算法產(chǎn)生的原因，溝通各算法之間的聯(lián)系，使學(xué)生知其然，并知其所以然。

【精彩紛呈的第二次】

環(huán)節(jié)一：增加求一般圖形的周長(zhǎng)的方法小結(jié)

環(huán)節(jié)二：調(diào)換長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法的探究過程

在比較擇優(yōu)正方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法后質(zhì)疑：為什么只知道一條邊就可以算出正方形的周長(zhǎng)？小結(jié)板書：加數(shù)相同，用乘法計(jì)算比較簡(jiǎn)便。

除了正方形，你還想到了哪些圖形也只要知道一條邊，就可以算出周長(zhǎng)的？

怎么求？你有什么發(fā)現(xiàn)？

小結(jié)：每條邊長(zhǎng)度都相等的圖形都可以用“邊長(zhǎng)×邊數(shù)”算出它的周長(zhǎng)。

環(huán)節(jié)三：（出示長(zhǎng)方形如下圖），請(qǐng)算出它的周長(zhǎng)

當(dāng)學(xué)生舉足不前時(shí)質(zhì)疑：不是只知道一條邊就可以算出周長(zhǎng)嗎？

長(zhǎng)方形與剛才那些圖形相比又有什么不同之處？

要計(jì)算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最少需要測(cè)量出幾條邊的長(zhǎng)度？為什么？

已經(jīng)知道了長(zhǎng)是79厘米，還需要知道什么？（出示：寬21厘米）

學(xué)生先獨(dú)立完成，再匯報(bào)結(jié)果，同時(shí)說明理由和想法，師利用課件相機(jī)一一演示。尤其是（79+21）×2，質(zhì)疑：這種方法是先算什么？請(qǐng)用彩筆在圖中描出（79+ 21）。為什么還要×2呢？（師板書：長(zhǎng)+寬×2這樣寫行嗎？）為什么？

這么多種方法你比較喜歡哪種方法？為什么？79 和21加起來剛好是多少？這樣先加起來有什么好處？

環(huán)節(jié)四：練習(xí)鞏固

1.出示長(zhǎng)9厘米，寬3厘米的長(zhǎng)方形，用自己喜歡的方法算一算它的周長(zhǎng)。

①想象：如果寬不變，把長(zhǎng)增加1厘米，那么周長(zhǎng)會(huì)變嗎？怎么變？計(jì)算驗(yàn)證猜測(cè)。

質(zhì)疑：為什么長(zhǎng)增加1厘米，而周長(zhǎng)增加了2厘米呢？如果長(zhǎng)不變，寬增加3厘米呢？

②拉動(dòng)長(zhǎng)方形變成長(zhǎng)6厘米，寬6厘米的正方形，求出它的周長(zhǎng)。

反饋后質(zhì)疑：為什么可以用長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)算法求正方形的周長(zhǎng)呢？

③比較這個(gè)長(zhǎng)9厘米，寬3厘米的長(zhǎng)方形和邊長(zhǎng)6厘米的正方形，說說你的發(fā)現(xiàn)？與它們周長(zhǎng)一樣的長(zhǎng)方形還有哪些？

2.一塊長(zhǎng)方形木板，長(zhǎng)90分米，寬60分米。如下左圖截去一塊邊長(zhǎng)為30分米的正方形，

（1）周長(zhǎng)會(huì)變嗎？為什么?

（2）計(jì)算它的周長(zhǎng)。

（3）假如像這樣截去一個(gè)正方形（出示右圖），周長(zhǎng)會(huì)變嗎？

環(huán)節(jié)五：拓展延伸

3.下面這個(gè)樓梯的圖形最少需要量出幾條邊才能算出它的周長(zhǎng)？哪幾條？為什么？

量一量，移一移，算一算。

【課后反思】

前后兩節(jié)課，作為一個(gè)研究者，我坐在學(xué)生中間，靜靜地觀察著，記錄著，思考著。

1.理解算理先行，優(yōu)化算法墊后

長(zhǎng)期以來，長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)采用“公式—例題—習(xí)題”的教學(xué)結(jié)構(gòu)模式，是把重點(diǎn)放在周長(zhǎng)公式的結(jié)果上，還是注重引導(dǎo)學(xué)生在測(cè)量具體圖形中探索周長(zhǎng)的過程，則是兩種不同教育觀的反映。第二堂課把教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)放在研究周長(zhǎng)算法的策略上，從已知的一般四邊形周長(zhǎng)“四條邊相加”入手，再到求相對(duì)于簡(jiǎn)單些的四邊相等的正方形周長(zhǎng)，根據(jù)“加數(shù)相同，用乘法計(jì)算比較簡(jiǎn)便”的原則，可以很容易地優(yōu)化并理解“正方形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4”的算理。進(jìn)而聯(lián)想到每條邊長(zhǎng)度都相等的圖形都可以用“邊長(zhǎng)×邊數(shù)”算出它的周長(zhǎng)。避免了學(xué)生學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)后，三角形的周長(zhǎng)、多邊形的周長(zhǎng)及簡(jiǎn)單的不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)不知如何求的尷尬局面，為我們提供了概念教學(xué)的新方向。

對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)——長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式的理解，教師設(shè)置了以下幾步：（1）故意設(shè)置陷阱，只給出一條邊就讓學(xué)生計(jì)算它們的周長(zhǎng)。學(xué)生在拿到問題后，往往會(huì)迫不及待地拿起筆想列式計(jì)算，然后卻發(fā)現(xiàn)沒有必要的數(shù)據(jù)，使學(xué)生更深刻地理解計(jì)算長(zhǎng)方形與正方形的周長(zhǎng)的不同之處，是由長(zhǎng)方形邊的特征決定的，從而明白求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)必須知道長(zhǎng)和寬。（2）給出寬的長(zhǎng)度，讓學(xué)生自主探究長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)算法。（3）教師配合學(xué)生的回答用多媒體課件動(dòng)態(tài)演示其周長(zhǎng)的拼接過程，幫助學(xué)生直觀地理解算法，進(jìn)而明白其中的算理。（4）在多種方法并存的情況下，教師有意設(shè)計(jì)的求長(zhǎng)79米、寬21米的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，使學(xué)生體驗(yàn)到先算長(zhǎng)加寬的和能湊整，這樣計(jì)算起來非常方便，逐步實(shí)現(xiàn)在這種情境下算法的優(yōu)化。

2.課堂要注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透

在“有形”的數(shù)學(xué)知識(shí)中，必定蘊(yùn)含著“無(wú)形”的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生的數(shù)學(xué)思想形成過程是一個(gè)不斷滲透、循序漸進(jìn)、由淺入深的過程。在這個(gè)過程中，需要我們教師做一個(gè)“過程”的加強(qiáng)者，不斷用我們的數(shù)學(xué)思想“敲打”學(xué)生的思維、讓學(xué)生在一次次的“敲打”過程中，不斷地積累、不斷地感悟、不斷地明朗，直到最后的主動(dòng)應(yīng)用。本堂課中可以滲透轉(zhuǎn)化和優(yōu)化思想。在測(cè)量時(shí)，規(guī)則圖形沒必要把所有的邊全部測(cè)量，而是要根據(jù)圖形的特點(diǎn)，比如長(zhǎng)方形、平行四邊形都有對(duì)邊相等的特性，只需要測(cè)量?jī)蓷l相鄰的邊就行了，而對(duì)于正方形則只需要測(cè)量一條邊就行了，這樣測(cè)量與計(jì)算并重，大大提高了效率。最后的拓展題將不規(guī)則的形似樓梯的圖形通過線段的平移，轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，巧算出周長(zhǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識(shí)和空間觀念。

最后，用著名特級(jí)教師俞正強(qiáng)《種子課》中的一段話為我們這次課例研究作結(jié)：用生長(zhǎng)代替重復(fù)，就是將數(shù)學(xué)知識(shí)植根于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)之中，這樣，學(xué)生的所有經(jīng)驗(yàn)就會(huì)支撐“種子的芽”進(jìn)行生長(zhǎng)。