陳昌萍　李良中　胡海濤　錢長照　洪力

摘 要：以壓電層合微梁為研究對(duì)象，基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論和Euler-Bernoulli梁理論，在考慮其尺寸效應(yīng)和損傷效應(yīng)的情況下，推導(dǎo)了具損傷壓電層合微梁的非線性動(dòng)力控制方程.采用伽遼金法和龍格庫塔法進(jìn)行求解，分析了多種參數(shù)對(duì)微梁結(jié)構(gòu)坍塌特性的影響.結(jié)果表明，考慮幾何非線性項(xiàng)使得損傷微梁具有更高的坍塌閾值電壓；控制電壓、微梁長度等參數(shù)的變化均對(duì)損傷微梁的坍塌閾值電壓造成影響.最后，采用有限元軟件進(jìn)行仿真模擬計(jì)算，驗(yàn)證了理論計(jì)算結(jié)果的合理性.本文所得結(jié)論對(duì)微機(jī)電系統(tǒng)壓電層合微梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)具有理論指導(dǎo)意義.

關(guān)鍵詞：壓電效應(yīng)；層合微梁；損傷效應(yīng)；尺寸效應(yīng)；坍塌

中圖分類號(hào)：O345 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：The nonlinear pull-in behavior of piezoelectric laminated micro-beam was studied with consideration of the size effect and damage effect. Based on the theories of continuum mechanics and Euler-Bernoulli beam hypothesis， the nonlinear governing equation of piezoelectric laminated micro-beam with damage was established and solved in Galerkin method and Runge-Kutta method. The influence of various parameters on the pull-in voltage of the micro-beam was discussed， and the results have shown that the geometry nonlinearity can improve the value of critical pull-in voltage of the micro-beam； the changes of governing voltage， micro-beam length and other parameters have influences on the critical pull-in voltage of the micro-beam. Besides，the FEM software was used to carry out the check-up calculations， and the results were compared with the theoretical results. The findings of this research can offer guidance to the design of micro-structures.

Key words： miezoelectric effect； laminated micro-beam； damage effect； size effect； pull-in

MEMS作為智能化和集成化的微型系統(tǒng)在物理、生物、機(jī)械等多個(gè)行業(yè)中廣泛運(yùn)用.MEMS具有多種結(jié)構(gòu)形式，其中壓電微結(jié)構(gòu)由于壓電特性在MEMS結(jié)構(gòu)中具有重要地位.一種主要的壓電梁式微結(jié)構(gòu)形式就是將壓電片通過粘結(jié)劑粘結(jié)在彈性基體而形成層合壓電微梁.層合壓電微梁可作為執(zhí)行器和傳感器兩種功能結(jié)構(gòu)[1]，研究層合壓電微梁在電場中的力學(xué)特性具有重要的意義.

近年來國內(nèi)外已有許多學(xué)者對(duì)梁式微結(jié)構(gòu)在電場中的靜動(dòng)力特性進(jìn)行研究.Pamidighantam等[2]基于Euler-Bernoulli梁理論研究了兩端固支和懸臂結(jié)構(gòu)形式壓電微梁的靜、動(dòng)力學(xué)特性，并得到了微梁結(jié)構(gòu)的靜力坍塌閾值電壓.Younis和Nayfeh[3]研究了電場作用下梁式微結(jié)構(gòu)諧振器的響應(yīng)特性.Chaterjee和Pohit[4]分析了幾何非線性對(duì)微梁結(jié)構(gòu)臨界坍塌電壓的影響.徐琳[5]在忽略邊緣效應(yīng)影響的情況下分別研究了平行板式微梁結(jié)構(gòu)的坍塌行為和扭轉(zhuǎn)式微執(zhí)行器的坍塌行為.對(duì)于壓電式微梁的研究，Yin等[6]采用修正偶應(yīng)力理論研究了尺度效應(yīng)對(duì)壓電微梁的臨界坍塌電壓的影響.Azizi等[7]研究了上下兩側(cè)附有壓電層對(duì)微梁靜動(dòng)力穩(wěn)定性的影響.Vahdat等[8]研究了熱彈性阻尼對(duì)上下表面附有壓電層微梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性的影響.陳昌萍等[9]通過引入?yún)?shù)剝離數(shù)研究了壓電粘彈性微梁的粘附特征.Xiao等[10]建立壓電層合微梁的尺寸效應(yīng)通用模型，并使用修正偶應(yīng)力理論和漢密爾頓原理分析了層合壓電微梁的坍塌現(xiàn)象.以上所述的研究中，研究對(duì)象大多選取理想的、無缺陷的微梁結(jié)構(gòu)，而對(duì)以具損傷微梁結(jié)構(gòu)為對(duì)象的研究成果很少見.本文在考慮尺寸效應(yīng)的情況下，研究具損傷層合壓電微梁在電場作用中的坍塌特性，并討論幾何參數(shù)、控制電壓等對(duì)臨界坍塌電壓的影響.

1 基本方程

2 結(jié)果與討論

在本文算例中，選取微梁長度L=100 μm，壓電層厚度hp=0.5 μm，基體層厚度hb=3 μm，梁寬度b=15 μm，懸臂梁與固定電極初始間距d=1 μm.

使用龍格庫塔法求解無量綱常微分動(dòng)力控制方程（12），得到幾何非線性對(duì)微梁撓度的影響如圖2所示.從圖2中可知，隨著負(fù)載電壓的增加，微梁撓度隨之增大，并當(dāng)電壓值超過臨界坍塌電壓以后，微梁的撓度變化不再穩(wěn)定，并發(fā)生坍塌；幾何非線性對(duì)壓電微梁撓度變化趨勢沒有顯著影響，但是可以減緩微梁的撓度變化趨勢，使微梁臨界坍塌電壓增大.

3 有限元仿真計(jì)算

為了與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，本文采用有限元軟件ANSYS對(duì)懸臂壓電層合微梁在靜電場中的坍塌行為進(jìn)行計(jì)算.在有限元計(jì)算中采用與數(shù)值分析中一致的微梁參數(shù)，并采用方程（6）和（7）中的等效彈性模量來考慮微梁尺寸效應(yīng)和損傷的影響.微梁的有限元模型如圖6所示，在壓電層與靜電層的接觸面添加界面，通過界面在不同的分析場中傳遞載荷.對(duì)懸臂梁固定端的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行完全約束，真空介質(zhì)層約束下端z方向自由度.為了避免加載過程電壓沖擊對(duì)坍塌的影響，采用斜坡負(fù)載方式對(duì)微梁施加電壓.在求解過程中開啟網(wǎng)格變形控制，保證單元的變形與結(jié)構(gòu)場的變形同步.圖7顯示了V=40 V時(shí)微梁的撓度云圖.微梁的右側(cè)撓度最大，與固定極板接觸的空氣間隙變形小，真空介電層下端撓度為零，與理論相符合.

在其他條件均不變的情況下，記錄不同負(fù)載電壓下微梁自由端的撓度值可得出層合壓電微梁的撓度與電壓關(guān)系的曲線如圖8所示.由圖8可知，隨著負(fù)載電壓的增大，微梁的撓度同樣增大，當(dāng)負(fù)載電壓接近坍塌臨界電壓時(shí)，微梁撓度會(huì)迅速增加使微梁與電極貼合.仿真結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致.

微梁長度和損傷變量對(duì)微梁撓度和臨界坍塌電壓的影響分析結(jié)果分別如圖9和圖10所示.當(dāng)長度增加時(shí)微梁撓度變大，臨界坍塌電壓變小，損傷變量增大時(shí)微梁撓度也變大.仿真結(jié)果和數(shù)值分析結(jié)果一致.

數(shù)值計(jì)算和有限元分析2種方法獲得的臨界坍塌電壓結(jié)果如圖11所示，并在表1中將具體數(shù)據(jù)進(jìn)行比較.從圖11和表1中可以看出，在相同電壓條件下ANSYS進(jìn)行有限元計(jì)算得出的臨界坍塌電壓較低，與使用榮格庫塔法得出的臨界坍塌電壓相差7.8%，表明了計(jì)算結(jié)果的合理性.

4 結(jié) 論

本文通過數(shù)值計(jì)算和有限元仿真兩種方法對(duì)具損傷的懸臂壓電微梁在電場作用下非線性坍塌行為進(jìn)行研究，討論了幾何非線性、控制電壓等參數(shù)對(duì)微梁坍塌行為的影響.研究結(jié)果表明，考慮幾何非線性使微梁具有更高的坍塌閾值電壓；控制電壓和微梁長度增大可導(dǎo)致微梁坍塌閾值電壓明顯降低.材料損傷變量在一定范圍內(nèi)增大會(huì)使微梁撓度和臨界坍塌電壓發(fā)生降低.因此，壓電微梁結(jié)構(gòu)在使用過程中產(chǎn)生輕微損傷，可以通過改變控制電壓使其繼續(xù)滿足工作要求，從而延長壓電微梁結(jié)構(gòu)的使用壽命.

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