何　歡, 王　陶, 陳國平

(1.機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 江蘇 南京 210016；2.南京航空航天大學(xué)振動工程研究所， 江蘇 南京 210016)

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一般黏性阻尼振動系統(tǒng)的實(shí)空間解耦與自由界面模態(tài)綜合法*

何歡1,2, 王陶1, 陳國平1,2

(1.機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 江蘇 南京 210016；2.南京航空航天大學(xué)振動工程研究所， 江蘇 南京 210016)

一般黏性阻尼振動系統(tǒng)通?？勺儞Q到狀態(tài)空間，利用解得的復(fù)模態(tài)可以將系統(tǒng)方程解耦，但解耦后的方程是復(fù)系數(shù)方程，必須在復(fù)數(shù)域內(nèi)進(jìn)行求解。根據(jù)所需要保留的復(fù)特征解對的特征，通過復(fù)特征向量矩陣的線性變換構(gòu)造了一種新的模態(tài)變換關(guān)系，利用模態(tài)變換矩陣將一般黏性阻尼振動系統(tǒng)的狀態(tài)空間運(yùn)動方程變換為解耦的實(shí)系數(shù)二階常微分方程。隨后，構(gòu)造了一種與實(shí)變換矩陣關(guān)于系統(tǒng)矩陣加權(quán)正交的向量集，利用這種加權(quán)正交的向量集推導(dǎo)系統(tǒng)剩余柔度矩陣時可以避免對系統(tǒng)矩陣進(jìn)行直接求逆，解決了含剛體模態(tài)時的系統(tǒng)剩余柔度矩陣的求解問題。然后，將實(shí)空間解耦和加權(quán)正交向量集與自由界面模態(tài)綜合法相結(jié)合，推導(dǎo)出了與常規(guī)振動微分方程具有相同形式的實(shí)系數(shù)系統(tǒng)綜合方程。最后，通過數(shù)值算例驗(yàn)證了方法的有效性。

模態(tài)綜合法； 黏性阻尼； 復(fù)模態(tài)； 解耦； 振動

引　言

子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合(Component Mode Synthesis, CMS)是一種降低模型自由度數(shù)的模型減縮方法，被用于提高模型計(jì)算效率。早期的CMS方法用于解決無阻尼或比例阻尼系統(tǒng)的模態(tài)分析，如Hurty[1],Goldman[2],Mecneal[3]等的研究工作。這些方法要求系統(tǒng)阻尼符合比例阻尼假設(shè)，或忽略阻尼的影響。

然而，實(shí)際振動系統(tǒng)都有阻尼，且通常都不符合比例阻尼假設(shè)，因此上述方法的實(shí)際應(yīng)用受到了很大的限制。Craig和Bampton[4]對傳統(tǒng)的比例阻尼系統(tǒng)CMS法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了適用于一般阻尼系統(tǒng)的約束CMS方法，又稱為C-B型CMS方法。Hasselman和Kaplan[5]將C-B型CMS方法提出的方法推廣到復(fù)數(shù)域，在狀態(tài)空間中通過復(fù)模態(tài)實(shí)現(xiàn)了子結(jié)構(gòu)的模態(tài)縮聚，并提出了一般阻尼系統(tǒng)的固定界面復(fù)模態(tài)綜合法。隨后，Craig等人[6]在Goldman方法的基礎(chǔ)上通過保留系統(tǒng)剩余模態(tài)影響改善了綜合方程的計(jì)算精度，并提出了一般阻尼系統(tǒng)的自由界面復(fù)模態(tài)綜合法。Tournour[7]提出了一種自由界面CMS方法，并且從試驗(yàn)和計(jì)算兩個角度對幾種典型的模態(tài)綜合法的計(jì)算精度進(jìn)行了比較。Rixen[8]提出了一種新的弱界面協(xié)調(diào)條件，并對C-B型CMS進(jìn)行了改進(jìn)。向錦武[9]將一種實(shí)Schur向量引入CMS，將復(fù)數(shù)域內(nèi)的綜合方程轉(zhuǎn)換到實(shí)數(shù)域內(nèi)。陳國平根據(jù)系統(tǒng)復(fù)模態(tài)的性質(zhì)構(gòu)造了一種模態(tài)轉(zhuǎn)換方法，將解耦后的一階復(fù)系數(shù)微分方程組轉(zhuǎn)換成二階實(shí)系數(shù)微分方程組[10]。在文[10]的基礎(chǔ)上，陳國平和韋勇[11]提出了一種線性阻尼結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的固定界面CMS方法，獲得了實(shí)數(shù)域內(nèi)的綜合方程。這種綜合方程是二階常微分方程，與常規(guī)的振動微分方程具有相同的形式，這使得原本需要在復(fù)數(shù)域內(nèi)求解的綜合方程可以在實(shí)數(shù)域內(nèi)進(jìn)行求解。何歡和陳國平[12]提出了一種自由界面CMS方法，該方法在剩余柔度矩陣計(jì)算過程中避免了對子結(jié)構(gòu)剛度矩陣的直接求逆運(yùn)算，克服了以往的自由界面CMS方法在處理含剛體模態(tài)的子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時遇到的困難。

近年來，大量研究者將CMS方法與其他研究方法相結(jié)合，取得了非常豐碩的成果，極大地拓展了CMS方法的應(yīng)用領(lǐng)域。Besset[13]將CMS和優(yōu)化分析算法相結(jié)合，提出了一種多孔腔體的噪聲優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，極大地提高了優(yōu)化計(jì)算效率。Kim[14]考慮鉸鏈的滑動模態(tài)特征，提出了一種含鉸鏈的非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的CMS，大幅提高了這種非線性系統(tǒng)動力學(xué)模型的計(jì)算效率，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的計(jì)算精度。Zhou和Ichchou[15]等利用界面模態(tài)計(jì)算波投射系數(shù)，提出了一種基于CMS的波動有限元法。Mencik[16]結(jié)合CMS和波矩陣方程，采用少量彈性模態(tài)描述子結(jié)構(gòu)界面的動力學(xué)特征，考慮諧波激勵條件，計(jì)算了界面力的頻域響應(yīng)。Chiello[17]等人將彈性支承和試驗(yàn)件視為2個不同的子結(jié)構(gòu)，利用CMS保留彈性支承的剩余柔度，對整個振動系統(tǒng)進(jìn)行自由度減縮。他們利用減縮模型分析了彈性支承板的黏彈性特性，并提出了黏彈性板損耗因子優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。Bouazizi等[18]提出了一種具有魯棒性的CMS，然后將這種方法應(yīng)用于局部非線性系統(tǒng)的自由度減縮中，并通過數(shù)值算例檢驗(yàn)了方法的計(jì)算效率和計(jì)算精度。Chentouf等[19]提出了一種考慮不確定性影響的累積概率方法，并將這種方法與CMS相結(jié)合。Papadimitriou等[20]將CMS與模型修正方程相結(jié)合，推導(dǎo)出了減縮修正方程，用減縮模型進(jìn)行每個修正迭代步的計(jì)算，大大提高了模型修正問題的計(jì)算效率。Lima和Silva[21]將CMS與增強(qiáng)Ritz基相結(jié)合，提高了超大規(guī)模黏彈性阻尼系統(tǒng)動力學(xué)模型的計(jì)算效率。

文[10]提出的實(shí)變換方法要求待變換的子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)全部特征值必須共軛成對。這意味著這種實(shí)變換方法無法對含剛體模態(tài)的子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行變換，因此只能與固定界面CMS方法相結(jié)合，而且這種固定界面CMS法也無法處理含有過阻尼特性的子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。本文在文[10]的基礎(chǔ)上提出了適用于一般黏性阻尼振動系統(tǒng)的實(shí)變換方法。隨后，將這種實(shí)變換方法與自由界面子結(jié)構(gòu)綜合法相結(jié)合，提出了一種新的一般阻尼振動系統(tǒng)的自由界面子結(jié)構(gòu)綜合法。這種新的自由界面子結(jié)構(gòu)綜合法給出的綜合方程為實(shí)系數(shù)二階常微分方程，與一般振動系統(tǒng)微分方程具有相同的形式。本文方法給出的綜合方程中不包含界面自由度，其總自由度數(shù)僅僅由子結(jié)構(gòu)保留模態(tài)數(shù)決定。相比于傳統(tǒng)的復(fù)模態(tài)綜合法給出的狀態(tài)空間中的復(fù)系數(shù)一階常微分綜合方程，若采用相同的保留模態(tài)數(shù)，本文方法獲得的綜合方程總自由度數(shù)是傳統(tǒng)的復(fù)模態(tài)綜合法的1/2，且能夠在實(shí)數(shù)域內(nèi)求解。此外，本文方法構(gòu)造的剩余柔度矩陣很好地保留了原系統(tǒng)的高階模態(tài)特性，這使得本文方法具有很高的計(jì)算精度。

1　基本方程和實(shí)變換

N自由度一般阻尼結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的振動微分方程可表示為

(1)

式中M，C和K∈RN×N分別為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，u和f∈RN×1分別為廣義位移向量和載荷向量。

將式(1)轉(zhuǎn)換到狀態(tài)空間后可得

(2)

令式(2)中右端項(xiàng)為零，解齊次方程可得系統(tǒng)復(fù)特征解對。

對一般結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(例如，含有剛體模態(tài)和過阻尼特征)，計(jì)算得到的復(fù)模態(tài)必定由實(shí)特征解對和共軛特征解對構(gòu)成，實(shí)特征根還分為重實(shí)根和一對互異的實(shí)根兩種情況。

設(shè)由特征方程解得前l(fā)對特征值包含m對共軛成對的復(fù)特征值，n對互異的實(shí)特征值和k對重特征值。下面根據(jù)特征根的不同特點(diǎn)分別進(jìn)行討論。

1.1共軛特征解對的實(shí)解耦變換

記復(fù)特征值矩陣及其對應(yīng)的復(fù)特征向量矩陣為[9]

(3)

(4)

若Yc已經(jīng)按系統(tǒng)矩陣A歸一化，不難證明

(5)

1.2互異實(shí)特征解對的解耦變換

對N自由度系統(tǒng)來說，實(shí)特征解對自然可以在狀態(tài)空間中進(jìn)行實(shí)變換。但這種變換與式(5)給出的形式不同，而且變換后的空間仍然是在狀態(tài)空間中的，不利于減縮變換后的系統(tǒng)規(guī)模。為此，對實(shí)特征解對，本文提出了與式(5)形式類似的變換方法。

記特征解對中的互異實(shí)根構(gòu)成的實(shí)特征值矩陣分別為

(6)

定義

(7)

根據(jù)特征向量與系統(tǒng)矩陣的加權(quán)正交性可知

(8)

(10)

結(jié)合式(7)，(8)和(9)可得

根據(jù)式(9)，定義

(12)

(13)

則有

(14)

1.3重特征解對及對應(yīng)的解耦變換

(15)

(16)

定義

(17)

(18)

定義

引入變換對

(20)

結(jié)合式(17)，(18)和(19)可得

(22)

(23)

可得

(24)

1.4實(shí)解耦變換

對全部變換對，將式(4)，(14)和(23)所得變換式進(jìn)行組合，得到總體變換矩陣

(25)

將特征值矩陣重新組合為

(26)

(27a)

(27b)

由式(27)給出的矩陣中的任意一列都是原系統(tǒng)方程解向量或特征向量的疊加，因此，Φ和Ψ仍然是原方程的解。

根據(jù)式(5)，(14)和(24)，并結(jié)合特征向量之間關(guān)于系統(tǒng)矩陣的加權(quán)正交關(guān)系可得

(28)

(29)

引入一種新的模態(tài)變換式

(30)

(31)

將式(31)展開得

(32)

(33)

(34)

與傳統(tǒng)的復(fù)模態(tài)綜合法中引入的模態(tài)變換得到的復(fù)系數(shù)解耦方程不同，式(34)是一個實(shí)系數(shù)解耦方程。此外，式(34)的獨(dú)立方程數(shù)為l個，而復(fù)模態(tài)變換得到的復(fù)系數(shù)解耦方程數(shù)為2l個，這意味著在相同的保留模態(tài)數(shù)的前提條件下，采用本文實(shí)解耦方法獲得的子結(jié)構(gòu)綜合方程的總自由度數(shù)是傳統(tǒng)的復(fù)模態(tài)子結(jié)構(gòu)綜合方程總自由度數(shù)的一半。

2　加權(quán)正交向量集

(35)

Ψ如式(27a)所示。

(36)

(37)

將式(28)代入式(37)得

(38)

(39)

注意到J-1ΨTAΦ=I，因此有

(40)

將式(29)給出的W=ΨTBΦ代入式(40)，可得

(41)

由于Φ為系統(tǒng)的解特征向量矩陣，因此有

(42)

將式(42)代入式(39)可得

(43)

(44)

Φ如式(27b)所示。采用同樣的方法可解得

(45)

類似地可以證明

(46)

3　剩余柔度矩陣與界面坐標(biāo)

(47)

(48)

式中

(49)

取式(48)的第二式，同時進(jìn)行Laplace變換可得

(50)

對式(50)進(jìn)行Taylor展開，取一階近似，并進(jìn)行反Laplace變換，得

(51)

將式(51)代入式(47)得

(52)

(53)

式(53)又可分塊表示為

(54)

將x沿界面坐標(biāo)分割，并將式(54)寫成分塊形式

(55)

式中下標(biāo)i和j分別表示內(nèi)部自由度和界面自由度。令fi=0，則式(55)的第二式可表示為

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

將式(61)代入式(58)可得

(62)

(63)

(65)

(66)

4　自由界面子結(jié)構(gòu)綜合

不妨設(shè)整個系統(tǒng)可劃分為a和b兩個子結(jié)構(gòu)。對每個子結(jié)構(gòu)可根據(jù)式(62)給出界面坐標(biāo)為

(67)

同樣地，給出每個子結(jié)構(gòu)的解耦方程

(68)

子結(jié)構(gòu)a和b的界面連續(xù)性條件和界面力協(xié)調(diào)條件可表示為

(69)

(70)

將式(67)代入式(69)，再結(jié)合式(70)，得

(71)

記

得綜合方程

(72)

式(72)即為綜合后的系統(tǒng)方程。觀察式(72)不難看出，得到的方程形式為二階常微分方程，與式(1)具有相同的形式。傳統(tǒng)的復(fù)模態(tài)綜合法得到的綜合方程是復(fù)系數(shù)方程，必須在復(fù)數(shù)域內(nèi)進(jìn)行求解，本文方法由于引入了實(shí)變換，式(72)中的全部系數(shù)矩陣均為實(shí)系數(shù)矩陣，意味著可以在實(shí)數(shù)域內(nèi)進(jìn)行求解，這使得方程的求解變得更為簡便和快捷。

除此之外，式(72)中不包含界面自由度，極大地減縮了綜合方程的規(guī)模。從式(72)的推導(dǎo)過程中還可以看出，若所有子結(jié)構(gòu)保留的復(fù)特模態(tài)數(shù)階數(shù)為2n，采用傳統(tǒng)的復(fù)模態(tài)綜合法的綜合方程總自由度數(shù)仍然為2n，而對相同保留模態(tài)數(shù)而言，采用本文方法得到的綜合方程的總自由度數(shù)為n。

5　數(shù)值算例

如圖1所示底部固定的桁架系統(tǒng)，沿對稱軸等分為左、右兩個子結(jié)構(gòu)。記左半部為子結(jié)構(gòu)1，右半部為子結(jié)構(gòu)2，每個子結(jié)構(gòu)含286個2節(jié)點(diǎn)梁單元，共計(jì)92個節(jié)點(diǎn)，552個自由度。對每個子結(jié)構(gòu)，設(shè)阻尼模型Cr=αrMr+ηrKr，α1=α2=1.0(1/s)，η1=1×10-5s，η2=3×10-5s。

圖1　底部固定的桁架系統(tǒng)Fig.1　Bottom fixed frame structure

采用本文方法分別取每個子結(jié)構(gòu)的前10對、前20對和前30對低階模態(tài)進(jìn)行子結(jié)構(gòu)綜合，然后從綜合方程中計(jì)算出系統(tǒng)前20對復(fù)模態(tài)。本文采用Craig自由界面復(fù)模態(tài)綜合法，取前30對復(fù)模態(tài)進(jìn)行計(jì)算作為比較。

分別定義特征值的實(shí)部誤差和虛部誤差如下：

圖2給出了特征值虛部誤差隨模態(tài)階數(shù)的變化規(guī)律，圖3給出了特征值實(shí)部誤差隨模態(tài)階數(shù)的變化規(guī)律。

從計(jì)算結(jié)果的對比可以看出，根據(jù)本文方法對每個子結(jié)構(gòu)各取10對復(fù)模態(tài)進(jìn)行子結(jié)構(gòu)綜合得到的前11對復(fù)特征值具有良好的計(jì)算精度，但隨著模態(tài)數(shù)的增加計(jì)算精度下降，這是由于各取10對復(fù)特征值只能得到具有20個自由度的綜合方程，能夠求解出的復(fù)模態(tài)僅有20對的原因。當(dāng)對每個子結(jié)構(gòu)各取前20對復(fù)模態(tài)進(jìn)行子結(jié)構(gòu)綜合時，本文方法得到的前20對復(fù)特征值計(jì)算結(jié)果已經(jīng)與原FE模型計(jì)算結(jié)果吻合，虛部誤差不超過2%，實(shí)部誤差不超過8%，隨著保留模態(tài)階數(shù)的增加，本文方法計(jì)算精度還會進(jìn)一步增加，這說明本文方法具有很高的計(jì)算精度。通過對比發(fā)現(xiàn)，對每個子結(jié)構(gòu)各取前30對復(fù)模態(tài)進(jìn)行綜合時，Craig方法僅有前10對特征值計(jì)算結(jié)果誤差較小，而且從第10階開始，特征值實(shí)部出現(xiàn)了難以接受的誤差。

表1　完全有限元模型計(jì)算得到的復(fù)特征值(單位：rad-1)

圖2　特征值虛部誤差隨模態(tài)階數(shù)的變化Fig.2　Imaginary part errors vary with the mode number

圖3　特征值實(shí)部誤差隨模態(tài)階數(shù)的變化Fig.3　Real part errors vary with the mode number

對比圖2和3可以發(fā)現(xiàn)，相比于特征值實(shí)部，特征值虛部誤差更小，這主要是由于特征值實(shí)部通常很小，對于數(shù)值計(jì)算的擾動非常敏感，容易受矩陣分解、求逆以及綜合過程中引入的數(shù)值誤差的影響，因此誤差更為顯著。

在圖5中的53號點(diǎn)施加X方向激勵，分別采用完全有限元模型和本文方法計(jì)算53號點(diǎn)和121號點(diǎn)的頻響函數(shù)。圖4和5給出了0～120 Hz頻帶范圍內(nèi)的幅頻特性曲線對比。

圖4　第53號測點(diǎn)處的幅頻特性曲線對比Fig.4　Comparison of amplitude of FRFs measured at point 53

圖5　第121號測點(diǎn)處的幅頻特性曲線對比Fig.5　Comparison of amplitude of FRFs measured at point 121

從圖中可以看出，取前10階模態(tài)進(jìn)行子結(jié)構(gòu)綜合得到的幅頻特性曲線在120 Hz范圍內(nèi)與原系統(tǒng)幅頻特性曲線吻合，而采用20階和30階模態(tài)進(jìn)行子結(jié)構(gòu)綜合得到的幅頻特性曲線則可以在計(jì)算頻帶范圍內(nèi)與原系統(tǒng)幅頻特性曲線吻合，這與前面給出的特征值對比結(jié)論是相符的，也進(jìn)一步說明了本文方法的準(zhǔn)確性。

6　小　結(jié)

本文提出一種一般黏性阻尼振動系統(tǒng)的實(shí)變換方法，能夠?qū)顟B(tài)空間中解耦的復(fù)系數(shù)一階常微分方程組轉(zhuǎn)換為與常規(guī)振動微分方程形式相同的解耦的實(shí)系數(shù)二階常微分方程組。

然后，采用待保留的復(fù)模態(tài)構(gòu)造了與保留模態(tài)關(guān)于系統(tǒng)矩陣矩陣A和B加權(quán)正交的向量集。由于這種向量集與保留模態(tài)加權(quán)正交，因此不包含剛體模態(tài)。這使得推導(dǎo)剩余柔度矩陣時無需直接對系統(tǒng)矩陣B進(jìn)行求逆，避免了傳統(tǒng)自由界面復(fù)模態(tài)綜合法在推導(dǎo)剩余柔度矩陣時對系統(tǒng)矩陣B進(jìn)行的求逆運(yùn)算困難。

最后，將實(shí)解耦方法與加權(quán)正交向量集相結(jié)合，推導(dǎo)了一種新的一般阻尼振動系統(tǒng)的自由界面子結(jié)構(gòu)綜合法。由于進(jìn)行了實(shí)解耦變換，利用本文方法能夠得到與一般振動系統(tǒng)微分方程具有相同的形式的實(shí)系數(shù)二階常微分綜合方程。相比于傳統(tǒng)的復(fù)模態(tài)自由界面綜合法來說，本文方法既降低了綜合方程的總自由度數(shù)，又可以在實(shí)數(shù)域內(nèi)進(jìn)行求解，提高了計(jì)算效率。

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A free interface mode synthesis method for general damping system by using real decoupling transformation

HEHuan1,2,WANGTao1,CHENGuo-ping1,2

(1. State Key Lab of Mechanics and Control for Mechanical Structures, Nanjing 210016, China;2. Institute of Vibration Engineering Research, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

In contrast to most present mode transformation methods in which the first-order state-space equation of the damped vibration system is transformed into a decoupled first-order differential form with complex coefficient matrices, a decoupling method is presented in this paper, for which the equation of the damped system can be decomposed into a system of second-order ordinary differential equations with real coefficient matrices. Next, the weighted-orthogonal vector sets which are weighted-orthogonal to the lower retained modes of the system matrices are constructed. By using the weighted-orthogonal vector sets, the lower retained modes with rigid-body motion are removed from the calculation process, thus making it easier to obtain the residual flexibility attachment matrix without using the inverse of the systemmatrices. Then, the free interface mode synthesis method are presented by using the real decoupled method and the weighted-orthogonal vector sets, and the real coefficients synthesis equation which has the same form as the ordinary differential equation of a vibration system is obtained. Finally, the accuracy and validity of this component mode synthesis method are demonstrated by numerical examples.

mode synthesis; viscous damping; complex mode; decouple; vibration

2014-04-02；

2014-12-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11472132)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(NS2014002)；機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(南京航空航天大學(xué))自主研究課題資助項(xiàng)目(0113Y01)；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目

O321； TB123

A

1004-4523(2016)01-0008-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.002

何歡(1978—)，男，副教授。電話:13913865435; E-mail:hehuan@nuaa.edu.cn