儲亞偉，王　雪，黃　瑞

（阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

關(guān)于輻角改變量算法的兩點注記

儲亞偉，王雪，黃瑞

（阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

確定多值函數(shù)的單值分支是復(fù)分析的教學(xué)難點之一，輻角改變量法是解決單值分支問題的主要方法。對于含有z-a的函數(shù)的輻角改變量，現(xiàn)行教材多采用平移坐標(biāo)原點的“間接輻角改變量法”計算；對于含有a-z的函數(shù)的輻角改變量，則借助公式ΔCarg（a-z）=ΔCarg（z-a）轉(zhuǎn)成“間接輻角改變量法”計算。文章通過構(gòu)造反例表明，上述算法及公式均存在誤區(qū)，即在考慮到割線的因素時，上述方法與公式未必成立。同時，分析了“直接輻角改變量法”與“間接輻角改變量法”的本質(zhì)區(qū)別，得到“間接輻角改變量法”及上述公式成立的條件。作為應(yīng)用，給出不能使用“間接輻角改變量法”計算單值分支的實例。上述注記與實例將有效地克服相關(guān)的教學(xué)難點。

單值分支；輻角改變量；割線；反例；注記；教學(xué)

極限是分析數(shù)學(xué)的基本工具之一，唯一性是極限的重要特征。因此，凡涉及到函數(shù)的分析性質(zhì)（如連續(xù)性、可導(dǎo)性或解析性、可積性等），都要求研究的函數(shù)是單值的。在復(fù)分析中，由于指數(shù)函數(shù)具有周期性，導(dǎo)致初等多值函數(shù)中的對數(shù)函數(shù)、根式函數(shù)及反三角函數(shù)均是多值的。而復(fù)分析研究的主要對象是解析函數(shù)，因此，多值函數(shù)的單值化問題是復(fù)分析的重要課題之一［1］。輻角改變量法是解決單值分支問題的主要方法，即把支點確定、可單值分支區(qū)域的判定和單值分支的表達(dá)式或單值分支求值的計算都?xì)w結(jié)為輻角改變量的計算［1-3］，由此可見輻角改變量正確算法的重要性。

對于表達(dá)式中含有z-a或a-z的函數(shù)，在可單值分支區(qū)域內(nèi)，其輻角改變量的常用算法是借助公式ΔCarg（a-z）=ΔCarg（z-a），使用平移原點的“間接輻角改變量法”（定義1）。該方法是研究多值函數(shù)單值分支理論的重要方法，在單值區(qū)域的判定和單值分支的計算中起到關(guān)鍵作用［4-12］，是求解或判定多值函數(shù)可單值分支區(qū)域的有效方法。然而，在單值分支的計算問題上，上述公式及算法卻存在誤區(qū)。本文通過構(gòu)造反例指出，在考慮到割線的因素時，上述公式與方法未必成立，同時，指出其成立的條件。作為應(yīng)用，給出不能使用上述公式與方法計算單值分支的實例。

1　預(yù)備知識

定義1［2］設(shè)C是復(fù)平面內(nèi)不通過點a的一條簡單曲線，z0是C的起點，z1是C的終點。當(dāng)動點z從z0沿C不穿過割線連續(xù)變動到z1時，向量所旋轉(zhuǎn)的角稱為arg（z-a）在C上的間接改變量，簡稱輻角改變量，記為ΔCarg（z-a）。

使用定義1求ΔCarg（z-a），相當(dāng)于把坐標(biāo)原點平移到了a點，求向量所旋轉(zhuǎn)的角，我們稱這種平移原點的算法為“間接輻角改變量法”。與此對應(yīng)，我們有下面的“直接輻角改變量法”：

定義2設(shè)C是復(fù)平面內(nèi)不通過點a的一條簡單曲線，z0是C的起點，z1是C的終點。當(dāng)動點從z0沿C不穿過割線連續(xù)變動到z1時，相應(yīng)地，動點z從z′1=z0-a不穿過割線連續(xù)變動到z′1=z1-a，此時向量所旋轉(zhuǎn)的角稱為arg（z-a）在C上的直接改變量，簡稱輻角改變量，記為ΔCdarg（z-a）。類似地，可定義arg（a-z）在C上的直接改變量ΔCdarg（a-z）。

顯然，“直接輻角改變量法”需要先把C的起點與終點代入函數(shù)，再以向量′按動點z′不穿過割線且盡可能與C保持一致的方向所旋轉(zhuǎn)的角來計算輻角改變量。當(dāng)a=0時，定義1與定義2的計算結(jié)果相等。一般情況下，在確定支點和判定可單值分支區(qū)域的研究過程中，由于不受割線的影響，上述兩種算法得到的輻角改變量完全一致［1-3］，且有

引理1［1］

然而，在多值函數(shù)的另一個重要問題——單值分支的計算中，因受割線的影響，間接輻角改變量法與公式（1）的使用需要當(dāng)心。本文以根式函數(shù)為例，通過對比“間接輻角改變量法”和“直接輻角改變量法”等方法后指出：在單值分支的計算問題中，使用定義1與定義2得到的輻角改變量可能不同，且公式（1）也未必成立。為了敘述方便，我們還需要下面的公式。

引理2［1-3］設(shè)D為（其中P（z）為z的有理分式，n≥2為整數(shù)）的可單值分支區(qū)域，f（z）在z0∈D的初值為 f（z0）的單值分支在z1∈D的終值f（z1）為

其中C為D內(nèi)以z0為起點、z1為終點不穿過割線的約當(dāng)曲線。

2“間接輻角改變量法”的使用誤區(qū)

“間接輻角改變量法”的使用誤區(qū)——默認(rèn)與“直接輻角改變量法”的結(jié)果相同。

例1在復(fù)平面內(nèi)，取割線

解因 f（z）的支點是0，1，∞，在G內(nèi) f（z）能分出三個單值解析分支。

解法一（間接輻角改變量法）當(dāng)z從z0=3沿G內(nèi)一條簡單曲線C不穿過割線連續(xù)變動到z1=i時，由圖1易得

于是

再由題設(shè)，可設(shè)arg f（3）=0（允許相差2π的整數(shù)倍）。由公式（2）知，

圖1　例1的示意圖

解法二（直接輻角改變量法）當(dāng)z從z0=3沿G內(nèi)簡單曲線C連續(xù)變動到z1=i時，z′=z-1不穿過割線從始點z′0=2連續(xù)變化到終點z′1=i-1的路徑如C1，由圖1易得

于是

再由題設(shè)，可設(shè)arg f（3）=0（允許相差2π的整數(shù)倍）。由公式（2）知，

對于例1，使用上述兩種方法卻得到完全不同的答案！事實上，當(dāng)單值區(qū)域確定后，給定的分支便是單值函數(shù)，它在定點處的值不可能出現(xiàn)兩個不同答案。上述兩個結(jié)果到底孰是孰非？由公式（2）可知，單值分支的輻角改變量

應(yīng)該是把起點z0與終點z1代入函數(shù)表達(dá)式后的輻角改變量（動點不穿過割線），而間接輻角改變量法是把坐標(biāo)原點平移到a點后，計算當(dāng)動點z從z0沿C不穿過割線連續(xù)變動到z1時向量所旋轉(zhuǎn)的角，此過程可能會忽略割線對函數(shù)初值 f（z0）與終值 f（z1）的影響。如在本例中，當(dāng)動點從3沿C不穿過割線變化到i時，“間接輻角改變量法”求得，而代入后對應(yīng)的動點從2逆時針繞變到i-1時必穿過割線，此時動點不穿過割線從2變動到i-1的直接輻角改變量為

我們也可以換種方法求解：

由

與（4）相同。

即間接輻角改變量法與直接輻角改變量法的計算結(jié)果不相等。根據(jù)公式（2）或解法三，此時應(yīng)該用直接輻角改變量法計算。

注1由上例分析可知，間接輻角改變量法的使用條件為：

即當(dāng)動點沿C不穿過割線從z0連續(xù)變動到z1時，向量所旋轉(zhuǎn)的角與相應(yīng)的動點從z′0=z0-a不穿過割線連續(xù)變動到z′1=z1-a時向量所旋轉(zhuǎn)的角相同，則兩種算法的結(jié)果一致，否則，應(yīng)采用直接輻角改變量法計算arg（z-a）的改變量。

注2間接輻角改變量法的優(yōu)點在于簡潔方便，但卻可能因忽略割線因素而出錯；直接輻角改變量法需要代入計算，但結(jié)果準(zhǔn)確、直觀具體、適用范圍更廣。

3　計算ΔCarg（a-z）的誤區(qū)

計算ΔCarg（a-z）的誤區(qū)——用ΔCarg（z-a）代替ΔCarg（a-z）。在確定支點和求可單值分支區(qū)域時，由于不受割線的影響，可以用ΔCarg（z-a）代替ΔCarg（a-z）來計算輻角改變量。但在單值分支的計算過程中，可能出現(xiàn)受割線位置的影響而導(dǎo)致二者不相等的情況（為簡單起見，取a=0）：

圖2　例2的示意圖

解法一（間接輻角改變量法）當(dāng)z從z0=1-i不穿過割線沿G內(nèi)簡單曲線C變動到z1=1+i時，量所旋轉(zhuǎn)的角為 ΔCarg z。由圖 2知，于是

注3解法一用ΔCarg z代替了ΔCarg（-z）。然而對于例2，使用間接輻角改變量法，當(dāng)z從z0=1-i不穿過割線沿C變動到 z1=1+i時，對而言，向量從轉(zhuǎn)到，轉(zhuǎn)角為整數(shù)倍）。由公式（2）知，對于ΔCarg（-z）而言，該轉(zhuǎn)角相當(dāng)于對應(yīng)向量逆時針轉(zhuǎn)到，但此時動點從E變動到F時必穿過割線，不符合要求。因此，此時不穿過割線的路徑應(yīng)該沿C1（參圖2路徑），從而用間接輻角改變量法求得

解法二（直接輻角改變量法）當(dāng)z從z0=1-i 沿G內(nèi)不穿過割線的簡單曲線連續(xù)變動到z1=1+i時，由圖2易得

于是

解法三（限定輻角法）由于沿著原點從負(fù)實軸割開，因此可限定arg z∈（-π，π）（允許相差2π的整數(shù)倍）。于是當(dāng)z0=1-i時，。由

與（6）相同。

注3結(jié)合第二部分的分析可知，在計算ΔCarg（a-z）時 ，使 用ΔCarg（z-a）代 替ΔCarg（a-z）（即使用引理1）的條件是

ΔCarg（a-z）=ΔCarg（z-a）=ΔCdarg（a-z），否則，即使ΔCarg（a-z）=ΔCarg（z-a），也不能使用公式（1）或間接輻角改變量法和，例3便是一反例。

圖3　例3的示意圖

解采用直接輻角改變量法，如圖3，當(dāng)定點從z0=2沿G內(nèi)一條不穿過割線的簡單曲線C1變動到z1=i時，

而分量函數(shù)1-z的輻角改變量等于定點z′1=-1 沿G內(nèi)不穿過割線的簡單曲線C2變動到z′2=1-i時（見圖3）向量所旋轉(zhuǎn)的角，即

從而

再由題設(shè)，可設(shè)arg f（2）=π（允許相差2π的整數(shù)倍）。由公式（2）知，

注4本例在許多文獻(xiàn)中均有討論［3-12］。由于沿原點從負(fù)虛軸割開，再根據(jù)本題起點、終點的分布情況，可限定允許相差2π的整數(shù)倍），使用“限定輻角法”也能得到上述結(jié)論。若使用“間接輻角改變量法”，用

［1］ 劉士強(qiáng)，林玉波.關(guān)于初等多值函數(shù)單值分支問題［M］.北京：蘭州大學(xué)出版社，1993：4，18，50-56.

［2］ 路見可，鐘壽國，劉士強(qiáng).復(fù)變函數(shù)［M］.2版.武漢：武漢大學(xué)出版社，2007：39-43.

［3］ 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論［M］.4版.北京：高等教育出版社，2013：65-84.

［4］ 李志廣，石磊.一類多值函數(shù)的單值化方法［J］.山西大同大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2009，25（6）：13-16，20.

［5］ 王凡彬.一類多值解析函數(shù)的計算問題［J］.嘉應(yīng)學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2009，27（6）：5-8.

［6］ 王凡彬.關(guān)于一類復(fù)多值函數(shù)的計算問題［J］.內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報，2006，21（2）：10-12.

［7］ 朱順東.關(guān)于求根式函數(shù)單值解析分支上輻角的一點注記［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2006，29 （4）：329-331.

［8］ 魏立明.對一個教學(xué)難點的研究［J］.賀州學(xué)院學(xué)報，2008，24（3）：106-108.

［9］ 張萍萍.根式函數(shù)的函數(shù)值計算［J］.濱州學(xué)院學(xué)報，2009，25（6）：64-67.

［10］張忠誠，柳翠華.確定多值函數(shù)單值解析分支值的一種簡易方法［J］.長春師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2010，29（5）：3-5.

［11］黃志剛，孫桂榮.從一道多值解析函數(shù)題的解法談起［J］.河西學(xué)院學(xué)報，2011，27（2）：26-29.

［12］馮志新.復(fù)數(shù)域中兩類函數(shù)的單值分支問題［J］.衡水學(xué)院學(xué)報，2012，14（1）：29-32.

Two notes on the methods to calculate the argument increment

CHU Ya-wei，WANG Xue，HUANG Rui

（School of Mathematics and Statistics，F(xiàn)uyang Normal University，F(xiàn)uyang Anhui 236037，China）

How to determine a single-valued branch of multi-valued functions，which is a teaching difficult point in complex analysis，can be solved by the method to calculate the argument increment.When the expression of a multi-valued function has the factorz-a，the argument increment ofarg（z-a）can be derived in the present textbooks by the indirect method of translation of origin of coordinates.When the expression of a multi-valued function has the factorz-a，the argument increment of arg（z-a）can be derived by the indirect method of calculation of argument increment by means of the formula ΔCarg（a-z）=ΔCarg（z-a）.By counterexamples，it is illustrated in this paper that there are still misunderstandings in the indirect method and the above formula for the calculation of a single-valued branch，namely，they may not be right when one considers the branch line factor.Meanwhile we analyze the essential difference of both indirect method and direct method for the calculation of argument increment，and establish two important conditions which make the indirect method and above formula hold. As an application，an example in which the indirect method does not hold is given.These notes and examples will overcome the difficulty in teaching effectively.

single-valued branch；argument increment；secant line；counterexample；note；teaching

O174.5

A

1004-4329（2016）03-102-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）03-102-05

2016-05-08

國家自然科學(xué)基金（11371330）；安徽省教育廳自然科學(xué)基金（KJ2014A196）；安徽省質(zhì)量工程項目（2013jyxm553，2014zy138）資助。

儲亞偉（1977-），男，博士，副教授，研究方向：幾何分析。