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        一題多變探究三角最值

        2016-09-28 06:52:17江蘇
        高中數(shù)理化 2016年17期
        關(guān)鍵詞:探究

        ◇ 江蘇 苗 壯

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        一題多變探究三角最值

        ◇江蘇苗壯

        解三角形中的最值問題,歸納起來(lái)主要有求邊的最值、角的最值、面積的最值.這些問題的求解通常有2種策略: 1)結(jié)合余弦定理,利用均值不等式求最值; 2)利用正弦定理,將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題.

        (1) 求角B;

        1 求面積的最值

        (1) 求角B的值;

        (2) 如果b=2,求△ABC面積的最大值.

        2 求角的最值

        (1) 證明:a+b=2c;

        (2) 求cosC的最小值.

        化簡(jiǎn)得

        2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,

        2sin(A+B)=sinA+sinB.

        因?yàn)锳+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC,從而sinA+sinB=2sinC.由正弦定理得a+b=2c.

        當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.故cosC的最小值為1/2.

        3 求邊的最值

        (1) 求角B;

        圖1

        (2) 如圖1,將△ABC置于圓O中,當(dāng)點(diǎn)B在優(yōu)弧AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),B的大小不變,AB過圓心O時(shí),AB取得最大值,即c最大.

        4 求兩邊之和的最值

        (1) 求c的值;

        (2) 求a+b的取值范圍.

        圖2

        總之,求解與解三角形有關(guān)的最值問題,我們只要把握處理問題的基本策略,就能以不變應(yīng)萬(wàn)變,實(shí)現(xiàn)問題的順利解決.

        江蘇省灌南高級(jí)中學(xué))

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