張寧斌，項濟南，李秦川，陳巧紅

(浙江理工大學，a.機械與自動控制學院；b.信息學院，杭州 310018)

?

2-SPR-RPS并聯機構靜力分析

張寧斌a，項濟南a，李秦川a，陳巧紅b

(浙江理工大學，a.機械與自動控制學院；b.信息學院，杭州 310018)

2-SPR-RPS并聯機構具有1個移動和2個轉動自由度，可用做攪拌摩擦焊機器人。在實際工況下，該機構端部動平臺受力條件復雜，多支鏈耦合，故有必要對其進行靜力學分析。首先通過拆桿，建立矢量6維力平衡方程；其次采用自由度解耦，分別調整動平臺2個轉角和動平臺高度值，分析了3種單自由度狀態(tài)下各桿件受力曲線，從而獲得輸出端位姿參數與并聯機構驅動-約束反力之間的映射；最后，對單變量參數重新組合，得到完整的靜力圖譜。研究結果可對2-SPR-RPS并聯機構的驅動電機選型、機構關節(jié)承載分析、結構強度設計提供參考。

并聯機構；少自由度；靜力分析；矢量法

0　引　言

并聯機器人是機器人的一大分支，與串聯機器人相比，具有累積誤差小、承載能力大、剛度好、慣性力較小等優(yōu)點，因而在某些應用上有很大優(yōu)勢。少自由度并聯機構[1]的自由度少于6，結構簡約，驅動件少，控制簡便，成本相對低廉，具有廣闊的工業(yè)應用前景[2-4]。

機構靜力傳遞特性分析[5-7]是設計少自由度并聯機構的重要環(huán)節(jié)。靜力分析能夠初步確定機器工作時所需的驅動力、約束反力、能承受的最大載荷等，為動力學分析、機構整體結構設計、驅動器設計、強度校核等提供依據。

國內外學者已對少自由度并聯機構的靜力分析進行了研究。剛度映射是早期研究并聯機構內部靜力傳遞特性的主要方法[8]，而對于輕型機構而言，重力產生主動力較小，故在實際平衡計算中將其忽略[9]。在此基礎之上，趙燕等[10-11]對含有過約束力偶的少自由度并聯機構進行了主動力和約束力分析。現代數學理論的引入豐富了并聯機構靜力性能的分析方法，如：李永剛等[12]以微分流形理論為基礎，指出了少自由度并聯機構末端的力空間，從而對此類機構驅動力與約束力的傳遞特性進行了分析；高峰等[13]對一種5維并聯機構，采用了一種新型解耦方法來研究其力傳遞的各向同性；Lu[14]運用虛功原理和CAD幾何變量法分析了空間并聯機構的主動力和被動力。

具有1個移動和2個轉動自由度的2-SPR-RPS并聯機構可作為攪拌摩擦焊工作臺。在焊接過程中，工作臺主軸方向上受到極大的軸向力，而各分支傳遞到工作臺上的6維力耦合，故有必要對整個機構受力情況進行分析。對于少自由度并聯機構，僅研究支鏈驅動力不足以描述機構整體受力特征，其完整的末端力空間應包括驅動力和約束力子空間[5]。將2-SPR-RPS并聯機構各桿件進行拆分，可建立各部分6維力平衡方程。按照機構自由度對動平臺運動解耦，通過調整動平臺參數，分析3種單自由度狀態(tài)下機構受力曲線，可獲得各運動參數對并聯機構所需驅動力和各運動副約束反力分布的影響特征。靜力分析結果可對2-SPR-RPS并聯機構的大功率驅動電機選型、機構關節(jié)承載、結構強度設計提供數據支持。

1　自由度分析

2-SPR-RPS機構由動平臺、固定平臺以及連接兩平臺的三條分支構成，如圖1所示。其中第1、2分支均為SPR分支，第3分支為RPS分支(S代表球副，P代表移動副，R代表轉動副)。3個分支驅動副均為移動副，力作用點為bi?；鶠榈妊苯侨切巍鰽1A2A3，滿足OA1=OA2=OA3=r1，固定坐標系O-XYZ，記為{O}，原點為斜邊A1A2中點，x軸沿OA2方向，y軸沿OA3方向，z軸根據右手理論建立。動平臺為等腰直角三角形△B1B2B3，滿足oB1=oB2=oB3=r2，動坐標系o-xyz，記為{o}，建立在斜邊B1B2中點，x軸沿oB2方向，y軸沿oB3方向，z軸根據右手理論建立。過A3點的轉動副軸線平行A1A2所在直線；過B1、B2點的轉動副軸線均平行于oB3所在直線。

圖1　2-SPR-RPS并聯機構示意

基于螺旋理論修正的Grübler-Kutzbach公式[1]，可得機構自由度M：

(1)

其中：d—機構公共約束；n—機構構件個數；g—機構運動副數；fi—機構第i個運動副的自由度數；v—機構冗余約束數。則并聯機構2-SPR-RPS自由度為：M=6×(8-9-1)+15+0=3。3個自由度分別為：沿Z軸的移動，繞X軸的轉動和繞Y軸的轉動。

2　靜力分析

(2)

(3)

其中φi為各轉動副轉角。分支i上下桿件分別用u和s表示，那么各運動副上的6維合外力沿{ki}分解可得：

(4)

此外，分支i中上下桿件向質心簡化的6維合外力，在{ki}下表示為：

(5)

將分支運動副約束反力沿{ki}3個軸方向分解。各運動副受力特點為：R副沿軸線方向無約束力矩，S副無約束力矩，移動副沿軸線方向無約束力。

分別選取整個分支AiBi、分支AiBi的下部桿件和動平臺為研究對象，建立力平衡方程和力矩平衡方程。整個分支AiBi、下部桿件和動平臺的受力如圖2—圖4所示。

圖2　分支整體受力

圖3　分支下部受力

圖4　動平臺受力

整個分支AiBi的力平衡方程為：

(6)

分支1、2對Bi取矩，得力矩平衡方程為：

(7)

分支3對A3取矩，得力矩平衡方程為：

(8)

(9)

分支1、2下部桿件對Bi取矩，得力矩平衡方程為：

(10)

分支3下部桿件對B3取矩，得力矩平衡方程為：

(11)

動平臺的平衡方程為：

(12)

從而，對1、2桿對Bi點取矩得：

(13)

(14)

而第3桿對A3點取矩有：

(15)

各分支上部分力平衡有：

(16)

動平臺力與力矩平衡有：

(17)

寫成系數矩陣形式為：

(18)

其中：

(19)

3　數值計算

表1所示為機構實際尺寸和載荷參數。

表1　參數設置

將瞬時慣性力與力矩設置為0，即：

(20)

由于2-SPR-RPS并聯機構動平臺運動相互耦合，故可將3個自由度運動拆解進行分析，即進行自由度解耦，如圖5所示。其中圖5(a)所示為第1種情況，即動平臺沿z軸方向移動；圖5(b)所示為第2種情況，即動平臺繞y軸轉動；圖5(c)所示為第3種情況，即動平臺繞X軸轉動。

圖5　機構分解運動

3.1情況1，僅改變h

3.2情況2，僅改變γ

圖6　情況1下驅動力及約束力曲線

圖7　情況2下驅動力及約束力曲線

3.3情況3，僅改變β

保持z和γ不變，β發(fā)生變化，角速度為ωβ=1°/s。該情況下驅動力及約束力曲線如圖8所示，1、2分支驅動力相同且第3分支不提供驅動力。隨著β的增大，第1、2桿的驅動力逐漸減小。這種情況下驅動力與各運動副上約束力曲線與第一種情況相似。以驅動力為例，兩者趨勢基本相同，不同之處在于前者為凹函數，后者為凸函數。

圖8　情況3下驅動力及約束力曲線

對比這3種情況作可以發(fā)現，情況2下驅動力和運動副約束力的變化幅度均比較劇烈，且最大幅值最高。因而在機構設計時，需充分考慮沿x軸轉角的影響以及在這種嚴苛條件下的強度。

通過這種3自由度拆分單變量的計算，可簡便地計算力/力矩的變化，進而可以研究多變量下的變化情況，例如：保持h不變，γ和β同時發(fā)生變化，變化范圍均為0°～60°，驅動力及約束力變化關系如圖9所示。

圖9　多變量下驅動力變化情況

4　結　論

本文對一種應用于攪拌摩擦焊的2-SPR-RPS并聯機構進行靜力分析。由于該機構末端執(zhí)行器受耦合力作用，需對其進行靜力解耦。解耦方法基于自由度分析，該分析表明機構具有1個移動和2個轉動自由度。通過拆桿，可建立各桿件6維力承載方程。將動平臺運動按機構自由度分解，可獲得該機構各支鏈和動平臺運動關節(jié)隨運動參數變化的驅動和約束力曲線。其中，繞x軸的轉角γ對該并聯機構驅動力及其他運動副約束力的影響最大。靜力分析能夠為2-SPR-RPS并聯機構的電機參數選取、強度設計、剛度設計等提供基礎數據。

[1] 黃真,趙永生,趙鐵石.高等空間機構學[M].北京：高等教育出版社,2006:127-138.

[2] 黃真,李秦川.少自由度并聯機器人機構的型綜合原理[J].中國科學：技術科學,2004,33(9):813-819.

[3] 路懿,胡波.少自由度度并聯機構研究進展[J].燕山大學學報,2011,35(5):377-384.

[4] 艾青林,黃偉峰,張洪濤,等.并聯機器人剛度與靜力學研究現狀與進展[J].力學進展,2012,42(5):583-592.

[5]MERLETJP.Jacobian,manipulability,conditionnumber,andaccuracyofparallelrobots[J].Journalof

MechanicalDesign,2006,128(1):199-206.

[6]TSAILW.RobotAnalysisandDesign:theMechanicsofSerialandParallelManipulators[M].NewYork:JohnWiley&Sons,1999:261-286.

[8]GOSSELINCM.Stiffnessmappingforparallelmanipulators[J].IEEETransactionsonRoboticsandAutomation,1990,6(3):377-382.

[9]RUSSOA,SINATRAR,XiF.Staticbalancingofparallelrobots[J].MechanismandMachineTheory,2005,40(2):191-202.

[10] 趙燕,黃真.3-RPS并聯機構的主動力和約束力分析[J].燕山大學學報,2008,32(4):299-303.

[11] 趙燕,黃真.含過約束力偶的少自由度并聯機構的受力分析[J].機械工程學報,2010,46(5):15-21.

[12] 李永剛，宋軼民，黃田，等.少自由度并聯機器人機構的靜力分析[J].機械工程學報,2007,43(9):80-83.

[13] 高峰,陳玉龍,彭斌杉,等.新型解耦和各向同性五維力傳感器性能分析[J].機械工程學報,2004,21(6):54-57.

[14]LUY.UsingvirtualworktheoryandCADfunctionalitiesforsolvingactiveandpassiveforceofspatialparallelmanipulators[J].MechanismandMachineTheory,2007,42(7):839-858.

(責任編輯： 康鋒)

Static Analysis of 2-SPR-RPS Parallel Manipulator

ZHANGNingbina，XIANGJinana，LIQinchuana，CHENQiaohongb

(a.Faculty of Mechanical Engineering & Automation,；b. School of Information Science and Technology, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

2-SPR-RPS parallel manipulator has one translational degree of freedom (DOF) and two rotational DOFs, which can be used for friction stir welding robot. In real working conditions, the external wrench exerted on the end-effector is complex, and is born by the mutiple coupling branches. Therefore, static analysis of the manipulator is necessary. First of all, the vector method was used to establish wrench equations. After that, the DOFs of the parallel manipulator were decoupled by adjusting two rotation angles and the stroke, respectively. Then, the mapping between the configuration of the manipulator and the constraint or actuation wrenches of joints was obtained. Finally, univariate parameters were combined again to get complete static wrench diagrams. The research results offer guidance for driver selection, joint bearing analysis and structural strength design of the 2-SPR-RPS parallel manipulator.

parallel manipulator; lower-mobility; static analysis; vector method

10.3969/j.issn.1673-3851.2016.09.014

2015-10-22

國家自然科學基金項目(51275479)；浙江省自然科學基金項目(LZ14E050005)；機械工程浙江省重中之重學科和浙江理工大學重點實驗室開放基金項目(ZSTUME01A07)

張寧斌(1990-)，男，浙江寧波人，碩士研究生，主要從事并聯機器人方面的研究。

陳巧紅，E-mail：chen_lisa@zstu.edu.cn

TP24

A

1673- 3851 (2016) 05- 0713- 07 引用頁碼： 090401