沈 君，林光國，王啟貴

（1.無錫市政設計研究院有限公司，江蘇無錫，214072；2.溫州市甌江口開發(fā)建設投資集團有限公司，浙江溫州，325026；3.浙江華東工程安全技術有限公司，浙江杭州，311122）

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基底完全粗糙時統(tǒng)一強度理論下的極限承載力

沈 君1，林光國2，王啟貴3

（1.無錫市政設計研究院有限公司，江蘇無錫，214072；2.溫州市甌江口開發(fā)建設投資集團有限公司，浙江溫州，325026；3.浙江華東工程安全技術有限公司，浙江杭州，311122）

目前大多數(shù)地基極限承載力系數(shù)公式仍借用Prandtl地基極限承載力的結(jié)論，而考慮到計算模型的差異，Nc與Nq之間并不存在Nc=（Nq-1）tan?的關系。且實驗證明，中間主應力對土體的強度會產(chǎn)生一定的影響，而由Mohr-Coulomb準則推導出的公式并沒有考慮中間主應力的影響，致使結(jié)果偏于保守。依據(jù)極限平衡原理，結(jié)合統(tǒng)一強度理論，研究在基底完全粗糙情況下極限承載力的解析解，并通過分析算例，驗證了極限承載力解析解的合理性。結(jié)果表明在計算過程中加入中間主應力這一影響因素時地基的極限承載力會提高，從而在實際運用過程中充分發(fā)揮材料自身的承載能力。

完全粗糙；統(tǒng)一強度理論；極限承載力；解析解

0　引言

地基極限承載力是一個經(jīng)典課題，理論公式繁多，且大多數(shù)地基極限承載力系數(shù)公式與Prandtl所采用的計算模型不同，但仍借用Prandtl的結(jié)論，即Nc=（Nq-1）tanφ。實驗證明，中間主應力對土體的強度有一定影響［1-10］，但基于Mohr-Coulomb準則推導出的公式并沒有考慮中間主應力的影響，致使結(jié)果偏于保守，不能完全發(fā)揮土體的強度潛能。極限承載力理論公式一般形式為［11］：

式中Nγ、Nq、Nc為地基承載力系數(shù)。

文獻［4］提出了統(tǒng)一強度理論，考慮了中間主應力，并用一個統(tǒng)一的力學模型表述材料的力學性質(zhì)。

統(tǒng)一強度理論可表示成如下形式［5］：

式中，a=σt/σc，為材料的拉壓強度比；b為統(tǒng)一強度理論中反映中間主剪應力及相應面上的正應力對材料破壞影響程度參數(shù)；σt為巖土體抗拉強度；σc為巖土體抗壓強度。σt、σc、a、b由實驗確定。文獻［11］得出如下結(jié)論：

式中，m=2σ2/（σ1+σ3）；φ0為土體的內(nèi)摩擦角；φt為統(tǒng)一強度理論下的內(nèi)摩擦角；c0為土體的粘聚力；ct為統(tǒng)一強度理論下的粘聚力。

1　受力分析

如圖1所示，基底完全粗糙，基礎底面AE與AB成φt角，滑動線BC是以A為中心的對數(shù)螺旋線。

圖1　計算簡圖Fig.1 Calculation diagram

取彈性核ABE為隔離體進行受力分析，如圖2所示。

圖2　彈性核受力分析Fig.2 Force analysis of the elastic kernel

根據(jù)彈性核ABE的靜力分析可得：

式中，W為彈性核重量；T為基底寬度；α=φt，為AB與基礎底面的夾角；Ep為彈性核兩側(cè)面受到的反作用力。

將AB邊看作擋土墻墻背，分別計算考慮土重和考慮粘聚力和超載這兩種條件下的被動土壓力Ep1和Ep2。

2　考慮土重

如圖1所示，根據(jù)對A點的力矩平衡計算被動土壓力Ep1。分別計算ACDG區(qū)、對數(shù)螺旋線區(qū)、CD面上的反力、對數(shù)螺旋線破壞面段反力以及靜止土壓力對A點的力矩（順時針為正）。

2.1ACDG區(qū)對A點力矩Mr1

針對圖3分析可得，ACDG區(qū)對A點的力矩為

圖3　ACDG區(qū)分析Fig.3 Analysis of the ACDG area

2.2對數(shù)螺旋線區(qū)對A點的力矩Mr2

圖4　對數(shù)螺旋線區(qū)分析Fig.4 Analysis of the logarithmic spiral area

如圖4所示，對數(shù)螺旋線公式為：

式中，θ=180°+β-η-φt。

對數(shù)螺旋線區(qū)對A點的力矩為：

2.3CD段反力對A點力矩Mr3

如圖5所示，由力系平衡可知：

圖5　DC邊受力分析Fig.5 Force analysis of the DC side

2.4對數(shù)螺旋線破壞面段反力對A點的力矩Mr4

由對數(shù)螺旋線的性質(zhì)可知，當處于極限平衡狀態(tài)時，對數(shù)螺旋線破壞面上的合力通過中心點A點，因此對數(shù)螺旋線破壞面段反力對A點的力矩Mr4=0。

2.5AG段靜止土壓力對A點的力矩Mr5

根據(jù)以上分析，AG段靜止土壓力的合力R2方向與AG的法線成δ角，力矩Mr5=0.5σad2。

3　考慮粘聚力和超載

根據(jù)被動土壓力理論，土的粘聚力CD面上產(chǎn)生的被動土壓力呈矩形分布，被動土壓力Ep2對于A點的力臂為0.25T。

3.1BC螺旋線下粘聚力對A點的力矩Mr1′

根據(jù)對數(shù)螺旋線的性質(zhì)，對數(shù)螺旋線下粘聚力對A點的力矩為：

3.2CD面段粘聚力對A點的力矩Mr2′

分析可知CD面段粘聚力對A點的力矩為：

4　極限承載力公式求解

根據(jù)對A點的力矩平衡可得：

將上式代入彈性核公式（4），可得極限承載力的解析式：

式中：

其中β值求解與Meyerhof公式中的方法類似，在此不做贅述。

5　算例分析

溫州某地區(qū)有一寬為4 m的條形基礎，埋深3 m，地基為均質(zhì)粘性土，其容重γ=19.5 kN /m3，固結(jié)不排水抗剪強度指標為c0=20 kPa，φ0=22°。設土的靜止側(cè)壓力系數(shù)K0=0.45，基礎與土之間的摩擦角δ=12°。下面分別用太沙基公式、雙剪強度理論、文中公式求地基極限承載力。

5.1利用太沙基公式

假定基底完全粗糙，由φ0=22°可得，Nc=20，Nq=10，Nγ=7，由此太沙基極限承載力為：qu=1 258 kPa。

5.2利用雙剪強度理論

假定基底完全粗糙，由φ0=22°可得，Nc=27.5，Nq=14.78，Nγ=12.3，由此得地基極限承載力為：qu= 2 017.7 kPa。

5.3利用本文公式

當系數(shù)m=1，假定b（0≤b≤1）取不同數(shù)值，利用文中公式分別求其地基極限承載力。

表1　基底完全粗糙時極限承載力Table 1 The ultimate bearing capacity with completely coarse foundation base

圖6　qu與參數(shù)b關系圖Fig.6 The relation between quand b

由以上計算結(jié)果可知，基底完全粗糙時，文中計算公式相對于太沙基公式和雙剪強度理論計算得到的極限承載力較高，且地基極限承載力的計算值隨著中間主應力系數(shù)b值的增大而顯著增大，說明中間主應力對地基承載力有一定影響。

6　結(jié)語

隨著中間主應力系數(shù)b值的增大，地基極限承載力越大，說明中間主應力對地基極限承載力有一定影響。

結(jié)合統(tǒng)一強度理論的計算方法能使地基極限承載力的計算值提高，在某種程度上更確切地反映了地基極限承載力的實質(zhì)，能充分發(fā)揮材料自身的承載能力。

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［12］周小平，張永興.基于統(tǒng)一強度理論的太沙基地基極限承載力［J］.重慶大學學報，2004，27（9）：133-136.

Most of the formulas for foundation ultimate bearing capacity factor are still borrowing the results of Prandtl theory.Considering the difference of calculation models，Nc=（Nq-1）tan? is not true.And experiments have proved that the intermediate principal stress would produce some influence to strength of soil.The result derived from Mohr-Coulomb criterion formula doesn't consider the effect of intermediate principal stress which causes the conservative results.To solve these problems，according to ultimate balance theory and unified strength theory，the analytical formulas of ultimate bearing capacity with completely coarse foundation is studied.In the calculation process，the intermediate principal stress factors is considered which results in a higher ultimate bearing capacity of foundation.Thus，in the practical application，the bearing capacity of the material itself can be fully utilized.

completely coarse；unified strength theory；ultimate bearing capacity；analytical formula

TV222.2

A

1671-1092（2016）02-0041-04

2015-07-13

沈 君（1984-），男，湖北襄陽人，工程師，從事市政道橋設計及工程管理工作。

作者郵箱：wang_qg@ecidi.com

Title：Ultimate bearing capacity based on unified strength theory with completely coarse foundation base//by SHEN Jun，LIN Guang-guo and WANG Qi-gui//Wuxi Municipal Design Institute Co.，Ltd.