福建省南安第一中學(xué)　謝梓璋

?

均值不等式求最值“失效”時(shí)的應(yīng)對(duì)策略

福建省南安第一中學(xué)謝梓璋

利用均值不等式求最值時(shí)需要注意“一正、二定、三相等”的條件，三個(gè)條件缺一不可。但在實(shí)際應(yīng)用過程中，這些條件有時(shí)不能同時(shí)具備，就需要一定的化解技巧，來應(yīng)對(duì)這一系列的“失效”現(xiàn)象.

均值不等式 最值問題 “失效”對(duì)策 中學(xué)數(shù)學(xué)

均值不等式是人教版高中數(shù)學(xué)（必修5）第三章“不等式”中的重要一節(jié)，它是證明不等式和求各類最值的一個(gè)重要依據(jù)和方法，應(yīng)用廣泛，具有變通靈活性和條件約束性的特點(diǎn)，是每年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一. 利用均值不等式求最值時(shí)需要注意“一正、二定、三相等”的條件，三個(gè)條件缺一不可。但在實(shí)際應(yīng)用過程中，這些條件有時(shí)不能同時(shí)具備，就需要一定的化解技巧，來應(yīng)對(duì)這一系列的“失效”現(xiàn)象，下面歸納出一部分學(xué)生在解題過程中容易步入的誤區(qū)，并提出相應(yīng)的對(duì)策.

1　“一不正”時(shí)，化負(fù)為正

“一正、二定、三相等”中的“一正”是指應(yīng)用均值不等式的兩個(gè)變量都必須是正實(shí)數(shù)。若兩個(gè)變量異號(hào)，則不能運(yùn)用均值不等式求最值，若兩個(gè)變量同為負(fù)實(shí)數(shù)，可以提取負(fù)號(hào)后，使兩項(xiàng)都化為正數(shù)，再運(yùn)用均值不等式來求解，但需要注意的是此時(shí)不等號(hào)的方向也發(fā)生了改變，所求的最大或最小值也隨之變化。一般來說，“正數(shù)”條件已體現(xiàn)在在題設(shè)中，但學(xué)生往往由于慣性思維忽視“一正”這一條件，導(dǎo)致解答過程出錯(cuò)。

∴f（x）的最大值為4

∴f （x）的最大值為-4

2　“二不定”時(shí)，構(gòu)造定值

“定值”是指幾項(xiàng)式子的 “和”或“積”為常數(shù)，命題設(shè)計(jì)者通常把“定值” 條件以某種形式隱藏在所給數(shù)學(xué)式子中，既是式子的表現(xiàn)形式又是運(yùn)算形式，可靜、可動(dòng)，靈活多變，解題者要觀察出定值條件就必須對(duì)所給的式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危@種變形的方式具有較強(qiáng)的靈活性和技巧性。教學(xué)中，我們要讓學(xué)生獲取“定值”一般是對(duì)代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)與添項(xiàng)，平衡系數(shù)等方法，通過“配湊”后，“構(gòu)造”出我們所需的定值。下面我們來看看以下例題是如何構(gòu)造出定值的：

∵0≤x≤4

∴當(dāng)且僅當(dāng)0=x時(shí)取最大值，最大值為16此題為兩個(gè)式子積的形式，若利用均值不等式求解“積”最大值，“和”必須為定值，但不是定值，所以不能生硬地套用均值不等式。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，為定值，所以只需將配湊一個(gè)系數(shù)即可使“和”為定值，進(jìn)而利用均值不等式求解出最大值。

正解

3　“三不相等”時(shí)，變換求解

當(dāng)“一正、二定”都有了，還不能魯莽地應(yīng)用均值不等式，必須驗(yàn)證等號(hào)能否取得到，如果等號(hào)取不到，可以考慮借助于函數(shù)的單調(diào)性來求最值.若在一道題中連續(xù)多次使用均值不等式，就必須保證各個(gè)等號(hào)能夠同時(shí)取到，如果等號(hào)不能同時(shí)成立，說明取不到該最值，這時(shí)應(yīng)該選用其他方法或通過變形處理只用一次均值不等式。

錯(cuò)解∵x2+4＞0

∴x+4y的最小值25。

是否能應(yīng)用基本不等式求解函數(shù)的最值，主要是觀察式子中是否完全具備基本不等式的“一正、二定、三等”三個(gè)條件，這些條件看上去并不能同時(shí)滿足，需要我們進(jìn)行一定的變形，使之同時(shí)成立進(jìn)而運(yùn)用均值不等式來解決問題。就是因?yàn)樽冃畏椒ㄈ绱遂`活多樣、 豐富多彩，才使得基本不等式如此地充滿了生機(jī)與活力，讓人感受到數(shù)學(xué)的無窮奧妙和神奇；也正因?yàn)榛静坏仁降?“活用”、“巧用” 能給我們的思維提供廣闊的發(fā)展空間，讓人學(xué)習(xí)起來充滿了樂趣和美的享受，才會(huì)使得高考中運(yùn)用基本不等式求解的題目層出不窮、?？疾凰?。

［1］ 杜偉林.用均值不等式求最值的幾種常見類型［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版，2015（15）：112-113.

［2］ 萬兆美.課本尋根——利用均值不等式求最值［J］.高中數(shù)理化，2015（19）：5-6.

［3］ 李培瑩. 走出均值不等式求最值的誤區(qū)［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014（1）：4-5.