李　鈺, 嚴(yán)建軍, 李江榮

(1.延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000；2.延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 延安 716000)

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關(guān)于一類廣義半無限向量分式規(guī)劃的對偶性研究

李鈺1*, 嚴(yán)建軍1,2, 李江榮1

(1.延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000；2.延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 延安 716000)

利用(F,α,ρ,d)K-V-凸性定義，討論了一類廣義半無限向量分式規(guī)劃的對偶結(jié)果。

廣義半無限向量分式規(guī)劃； (F,α,ρ,d)K-V-凸函數(shù)；對偶；弱對偶

近些年，關(guān)于凸性理論，已有很多文獻(xiàn)進行了研究。文獻(xiàn)[1]引入了(F,ρ)-凸函數(shù)，文獻(xiàn)[2]對之進行了推廣，建立了廣義的(F,ρ)-凸函數(shù)。文獻(xiàn)[3]建立了更為廣義的凸性條件，提出(F,α,ρ,d)-凸函數(shù)。文獻(xiàn)[4]在(F,α,ρ,d)-凸性條件下研究了非光滑多目標(biāo)分式規(guī)劃問題的對偶定理。

作者利用文獻(xiàn)[5]和[6]中廣義(F,α,ρ,d)K-V-凸性定義，建立了半無限向量分式規(guī)劃(FP)的Lagrange型對偶模型(FD)，得到了一類廣義半無限向量分式規(guī)劃的弱對偶定理。

1　預(yù)備知識和基本概念

定義1.2稱泛函F:Rn×Rn×Rm→R是次線性的,如果對?x1,x2∈Rn,有

(i)F(x1,x2;a1+a2)≤F(x1,x2;a1)+F(x1,x2;a2),?a1,a2∈Rm;

(ii)F(x1,x2;ra)=rF(x1,x2;a),?a∈Rm,r∈R,r≥0。

定義1.3[8]映射K:2X×X→2X稱為局部漸近錐, 若對每一個集M?X和每一點x∈X,錐K(M,x)具有以下性質(zhì):

(i)K(M,x)=K(M-x,0);

(iv)K(M,x)=M, 對?x∈intM;

(v)K(φ(M),φ(x))=φ(K(M,x)),這里φ:X→X為任一線性同胚;

(vi)O+M?O+K(M,x)。

我們已經(jīng)提出了如下的定義[6]：

定義1.4設(shè)f是定義在非空開集X?Rn上的實向量函數(shù),f:X→Rp,其每個分量fi是局部Lipschitz連續(xù)的,如果?F:X×X×Rn→R是次線性函數(shù),函數(shù)α=(α1,…,αp)Τ,αi:X×X→R+{0},d:X×X→R,ρ=(ρ1,…,ρp)Τ,ρi∈R和局部漸近錐K,如果對于?x∈X,有fi(x)-fi(x0)≥F(x,x0;αi(x,x0)ξi)+ρid2(x,x0),?ξi∈?Kfi(x0),i=1,…,p,

則稱f=(f1,…,fp)在x0∈X處是(F,α,ρ,d)K-V-凸的。

定義1.5設(shè)f是定義在非空開集X?Rn上的實向量函數(shù),f:X→Rp,其每個分量fi是局部Lipschitz連續(xù)的,如果?F:X×X×Rn→R是次線性函數(shù),函數(shù)α=(α1,…,αp)Τ,αi:X×X→R+{0},d:X×X→R,ρ=(ρ1,…,ρp)Τ,ρi∈R和局部漸近錐K,如果對于?x∈X,有

fi(x)-fi(x0)<0

?F(x,x0;αi(x,x0)ξi)+ρid2(x,x0)<0,

?ξi∈?Kfi(x0),i=1,…,p,

則稱f=(f1,…,fp)在x0∈X處是(F,α,ρ,d)K-V-偽凸的。

定義1.6設(shè)f是定義在非空開集X?Rn上的實向量函數(shù),f:X→Rp,其每個分量fi是局部Lipschitz連續(xù)的,如果?F:X×X×Rn→R是次線性函數(shù),函數(shù)α=(α1,…,αp)Τ,αi:X×X→R+{0},d:X×X→R,ρ=(ρ1,…,ρp)Τ,ρi∈R和局部漸近錐K,如果對于?x∈X,x≠x0有

fi(x)-fi(x0)≤0

?F(x,x0;αi(x,x0)ξi)+ρid2(x,x0)<0,

?ξi∈?Kfi(x0),i=1,…,p,

則稱f=(f1,…,fp)在x0∈X處是(F,α,ρ,d)K-V-嚴(yán)格偽凸的。

定義1.7設(shè)f是定義在非空開集X?Rn上的實向量函數(shù),f:X→Rp,其每個分量fi是局部Lipschitz連續(xù)的,如果?F:X×X×Rn→R是次線性函數(shù),函數(shù)α=(α1,…,αp)Τ,αi:X×X→R+{0},d:X×X→R,ρ=(ρ1,…,ρp)Τ,ρi∈R和局部漸近錐K,如果對于?x∈X,有

fi(x)-fi(x0)≤0

?F(x,x0;αi(x,x0)ξi)+ρid2(x,x0)≤0,

?ξi∈?Kfi(x0),i=1,…,p,

則稱f=(f1,…,fp)在x0∈X處是(F,α,ρ,d)K-V-擬凸的。

對于半無限向量分式規(guī)劃:

s.t.hj(x)≤0,j∈J,

考慮其Lagrange型對偶規(guī)劃

(FD)maxG(y,μ)=

(μj)j∈J≥0,對一切j∈J,且僅有有限個μj≠0。

2　對偶定理定理

(ii)對于j∈J(y),h在y處是(F,β,ρ2,d)K-V-凸函數(shù);

(iii)μjhj(y)=0,j∈J;

(iv)廣義Slater條件成立,即?x0∈X,滿足hj0(x0)<0,j0∈J(y),且相應(yīng)的μj0>0;

(v)α1=…=αp=β1=…=β(J)=δ;

且至少?i0,1≤i0≤p,i≠i0,使得

(1)

又由于hj0(x)<0=hj0(y),j0∈J(y),有hj0(x)-hj0(y)<0。

由(ii)知

F(x,y;βj0(x,y)ζj0)+ρ2j0d2(x,y)<0,

?ζj0∈?Khj0(y),

由μj0>0,可得

F(x,y;βj0(x,y)μj0ζj0)+μj0ρ2j0d2(x,y)<0,

?ζj0∈?Khj0(y),

(2)

因μj≥0,j∈J(y),hj(y)=0,有

μjhj(y)≥0,

則hj(x)≤0≤hj(y)。

又由(ii)知, 對于?ζj∈?Khj(y),有

F(x,y;β(x,y)μjζj)+μjρ2jd2(x,y)≤0,

j∈J(y),j≠j0,

對上式中j∈J(y)且j≠j0求和,得

(3)

當(dāng)j∈JJ(y)時,取μj=0, 則有

(4)

式(1)+(2)+(3)+(4),并利用F的次線性性質(zhì)和(v),可得

這與(FD)的第一個約束條件矛盾！故

(ii)對于j∈J(y),h在y處是(F,β,ρ2,d)K-V-擬凸函數(shù);

(iii)μjhj(y)=0,j∈J;

(iv)α1=…=αp=β1=…=β(J)=δ;

且至少?i0,1≤i0≤p,i≠i0,使得

由(iii)和(i)得

(5)

又因hj(x)≤0=hj(y),j∈J(y)和(ii),知

F(x,y;βj(x,y)ζj)+ρ2jd2(x,y)≤0,

?ζj∈?Khj(y),j∈J(y),

則由μj≥0,有

F(x,y;βj(x,y)μjζj)+μjρ2jd2(x,y)≤0,

?ζj∈?Khj(y),j∈J(y),

當(dāng)j∈JJ(y)時,取μj=0, 則有

?ζj∈?Khj(y)

(6)

式(5)+(6),并利用F的次線性性質(zhì)以及(iv)、(v),可得

這與(FD)的第一個約束條件矛盾！故

(ii)對于j∈J(y),h在y處是(F,β,ρ2,d)K-V-擬凸函數(shù);

(iii)μjhj(y)=0,j∈J;

(iv)α1=…=αp=β1=…=β(J)=δ;

證明與定理2.2的證明類似。

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[6] 李鈺,張慶祥,嚴(yán)建軍,等. 一類廣義半無限分式規(guī)劃的最優(yōu)性條件[J]. 河南科學(xué), 2009,27(2):132-136.

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(責(zé)任編輯：周曉南)

Duality for a Class of Generalized Semi-infinite Vector Fractional Programming

LI Yu1*, YAN Jianjun1,2, LI Jiangrong1

(1.College of Mathematics and Computer Science, Yan’an University, Yan’an 716000, China;2.Yan’an Vocational and Technical College, Yan’an 716000, China)

Some duality theorems based on the definition of the(F，α，p，d)k-V-convex function for a class of generalized semi-infinite vector fractional programming were studied.

generalized semi-infinite vector fractional programming;(F，α，p，d)k-V-convex function; duality; weak duality

1000-5269(2016)02-0006-04

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.02.02

2015-11-06

國家自然科學(xué)基金項目資助(11471007)；陜西省高水平大學(xué)專項資金項目資助(2012SXTS07) ；陜西省教育廳科研計劃項目資助(14JK1827)；延安市科技計劃項目資助(2014KG-05)；延安大學(xué)科研基金項目資助(YD2011-09)

李鈺(1982-)，女，講師，研究方向：運籌學(xué)、最優(yōu)化理論、算法與應(yīng)用，Email:jsjxy419@126.com.

李鈺, Email:jsjxy419@126.com.

O221.6

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