□朱元生

“一次函數(shù)”專家診療室

□朱元生

今天是“一次函數(shù)”專家門(mén)診的日子，這不，主任醫(yī)師剛上班，就來(lái)了好幾位慕名而來(lái)的患者，下面是幾個(gè)典型病例診治情況.

一、對(duì)函數(shù)圖象的意義理解有誤

病例1如圖1，小明在操場(chǎng)上玩耍，一段時(shí)間內(nèi)沿M→A→B→M的路徑勻速散步，能近似刻畫(huà)小明到出發(fā)點(diǎn)M的距離y與時(shí)間x之間關(guān)系的函數(shù)圖象是（）.

圖1

臨床癥狀：選A或B.

病因診斷：這主要是由于對(duì)函數(shù)圖象的意義理解有誤，誤認(rèn)為勻速散步，即速度不變，A、B均是半圓，半圓上的點(diǎn)具有到圓心的距離相等的性質(zhì)，從而誤以為應(yīng)選A或B.題目中要求的是近似刻畫(huà)小明到出發(fā)點(diǎn)M的距離y與時(shí)間x之間關(guān)系的函數(shù)圖象，小明在從點(diǎn)M到點(diǎn)A這段時(shí)間內(nèi)，他離點(diǎn)M的距離在逐漸增加，即y隨x的增大而增大，圖象上升；在從點(diǎn)A到點(diǎn)B這段時(shí)間內(nèi)，小明到點(diǎn)M的距離保持不變，即x增大而y值不變，這時(shí)圖象應(yīng)與x軸平行；在從點(diǎn)B到點(diǎn)M的這段時(shí)間內(nèi)，他離點(diǎn)M的距離在逐漸減少，即y隨x的增大而減小，圖象下降；且從行走的路程上考慮，半圓周長(zhǎng)AB要大于直徑AB，所以D也不正確.

處方：選C.

二、實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍的確定欠全面

病例2已知等腰三角形的周長(zhǎng)為8cm，寫(xiě)出底邊長(zhǎng)y（cm）與腰長(zhǎng)x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫(huà)出函數(shù)圖象.

臨床癥狀：底邊長(zhǎng)y（cm）與腰長(zhǎng)x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式為y= 8-2x，其函數(shù)圖象如圖2所示.

圖2

圖3

病因診斷：實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍的確定欠全面.本題既應(yīng)考慮到腰長(zhǎng)x＞0，底邊長(zhǎng)y＞0，還應(yīng)考慮到三角形三邊之間的關(guān)系，即2x＞y，解得2＜x＜4.

處方：函數(shù)關(guān)系式為y=8-2x（2＜x＜4），其函數(shù)圖象應(yīng)是如圖3所示的不包括端點(diǎn)的一條線段.

三、對(duì)一次函數(shù)定義的理解出錯(cuò)

病例3已知函數(shù)y=（m2-3m）xm2-8+5是關(guān)于x的一次函數(shù)，試求m的值

臨床癥狀：當(dāng)m2-8=1時(shí)，函數(shù)y=（m2-3m）xm2-8+5是一次函數(shù)，這時(shí)m=±3.

病因診斷：一次函數(shù)y=kx+b的定義，不僅要求自變量x的指數(shù)為1，同時(shí)還要求比例系數(shù)即自變量x的系數(shù)k≠0，現(xiàn)只考慮到了指數(shù)m2-8=1，而遺漏了比例系數(shù)m2-3m≠0，事實(shí)上，當(dāng)m=3時(shí)m2-3m= 0，這時(shí)y=（m2-3m）xm2-8+5就不是一個(gè)一次函數(shù).

處方：當(dāng)函數(shù)y=（m2-3m）xm2-8+5是一次函數(shù)時(shí)，m=-3.

四、忽視分類討論

病例4：當(dāng)a為何值時(shí)，函數(shù)y=（a+1）xa2-3+（a-3）x+a是關(guān)于x的一次函數(shù)？

臨床癥狀：由題意得，a+1=0且a-3≠0，解得a=-1.

病因診斷：這是由于受思維定勢(shì)的影響，考慮問(wèn)題欠周密，忽視了分類討論.

事實(shí)上當(dāng)a2-3=1且（a+1）+（a-3）≠0，以及當(dāng)a2-3=0且a-3≠0時(shí)，都是一次函數(shù).

處方：（1）當(dāng)a+1=0且a-3≠0時(shí)，解得a=-1；

（2）當(dāng)a2-3=1且（a+1）+（a-3）≠0時(shí)，解得a=±2；

（3）當(dāng)a2-3=0且a-3≠0時(shí)，解得a=

五、對(duì)一次函數(shù)圖象的理解有誤

病例5已知函數(shù)y=（m-1）x+（3-2m），y隨x的增大而減小，則函數(shù)的圖象大致是下圖中的（）.

臨床癥狀：選A或C

病因診斷：這是由于對(duì)一次函數(shù)圖象的理解有誤造成的.以為函數(shù)y=kx+b，y隨x的增大而減小，即直線下降，忽視了直線與y軸的交點(diǎn)位置.事實(shí)上，函數(shù)y=kx+b，y隨x的增大而減小，則需k＜0.即m-1＜0，解得m＜1，而當(dāng)m＜1時(shí)，3-2m＞0，即直線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方.

處方：選A.