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(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 理學(xué)院，河南 鄭州 450015)

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區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)密度加權(quán)算子及其決策應(yīng)用

杜迎雪, 常娟, 劉衛(wèi)鋒

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 理學(xué)院，河南 鄭州 450015)

在多屬性決策中，當(dāng)屬性值為區(qū)間值直覺(jué)模糊數(shù)時(shí)，考慮屬性信息分布疏密程度，研究了區(qū)間值直覺(jué)模糊集數(shù)據(jù)聚類(lèi)的問(wèn)題，提出了新的算子——線(xiàn)性區(qū)間值直覺(jué)模糊數(shù)密度加權(quán)平均中間算子(IIFDWA)和積性區(qū)間值直覺(jué)模糊數(shù)密度加權(quán)平均中間算子(IIFDWGA)，統(tǒng)稱(chēng)區(qū)間值直覺(jué)模糊密度加權(quán)算子.最后,將IIFDWA算子和WAA算子結(jié)合應(yīng)用到多屬性群決策問(wèn)題中.

多屬性決策；區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)；區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)密度加權(quán)算子；聚類(lèi)

多屬性決策是現(xiàn)代決策理論的重要組成部分，它在工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理、軍事等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.信息集成算子是多屬性決策研究的一個(gè)核心問(wèn)題，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入研究.Yager[1]于1988年提出了有序加權(quán)平均(OWA)算子；Chiclana等[2]和Xu等[3]將OWA算子進(jìn)行推廣，提出了有序加權(quán)幾何平均(OWGA)算子；陳華友等[4]提出了有序加權(quán)調(diào)和平均(OWHA)算子.但是，這些集成算子沒(méi)有考慮屬性值分布的疏密程度.在多屬性決策中，屬性值分布是不均勻的，所以關(guān)注數(shù)據(jù)疏密程度的信息非常必要.為此，易平濤等[5-11]提出了實(shí)點(diǎn)型密度算子、區(qū)間數(shù)密度算子、三角模糊數(shù)密度算子、直覺(jué)模糊密度算子、語(yǔ)言信息密度算子等其他密度算子,并將這些算子與AA算子、WAA算子、OWA算子、Min算子、Max算子等結(jié)合，應(yīng)用到多屬性決策中并取得了更好的決策結(jié)果.

在上述研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)集的數(shù)據(jù)聚類(lèi)問(wèn)題，并提出了一種簡(jiǎn)單且有效的聚類(lèi)方法.然后，提出了線(xiàn)性區(qū)間值直覺(jué)模糊數(shù)密度加權(quán)平均算子和積性區(qū)間值直覺(jué)模糊數(shù)密度加權(quán)平均算子，統(tǒng)稱(chēng)區(qū)間值直覺(jué)模糊密度加權(quán)算子.將線(xiàn)性區(qū)間值直覺(jué)模糊數(shù)密度加權(quán)平均算子和WAA算子結(jié)合，得到了一種信息集結(jié)算子——線(xiàn)性區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)密度加權(quán)算數(shù)平均算子 (IIFDWA).最后,將該算子應(yīng)用在多屬性群決策中.

1　預(yù)備知識(shí)

定義1[12]設(shè)X為給定論域，則X上的區(qū)間值模糊集是一個(gè)映射X→Int([0,1])，這里Int([0,1])代表[0,1]上所有閉子區(qū)間的集合.

論域X上所有區(qū)間值直覺(jué)模糊集記作IVFS(X).

下面將區(qū)間直覺(jué)模糊集的隸屬度期望值和可能度進(jìn)行聚類(lèi).

2　區(qū)間值直覺(jué)模糊數(shù)的聚類(lèi)

步驟(1)：令計(jì)數(shù)器r=0，A′=A.

步驟(3)：令r=r+1，A′=A′-Cr-1，若A′=φ，則聚類(lèi)結(jié)束，否則轉(zhuǎn)入步驟(2).

3　密度加權(quán)向量

密度權(quán)重反映了決策者對(duì)各組信息規(guī)模的偏好程度.文獻(xiàn)[6]、[8]和[9]通過(guò)主觀(guān)賦權(quán)法或主客觀(guān)相結(jié)合的方法來(lái)確定密度權(quán)重，下面提出一種密度權(quán)重客觀(guān)賦權(quán)方法.

按照元素個(gè)數(shù)從多到少的順序?qū)1,A2,…,Al進(jìn)行降序排列，得到序化后的聚類(lèi)組.為了方便，仍記為A1,A2,…,Al，各組元素個(gè)數(shù)滿(mǎn)足kj≥kj+1(j=1,2,…,l).

4　區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)密度算子

則稱(chēng)UIFDWA為線(xiàn)性區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)密度加權(quán)平均中間算子，也稱(chēng)為IIFDWA算子.若

則稱(chēng)UIFDWGA為積性區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)密度加權(quán)平均中間算子，也稱(chēng)為IIFDWGA算子.

其中，密度加權(quán)向量為ε=(ε1,ε2,…,εl)T，Θ(Aj)為已有的信息集結(jié)算子.將UIFDWA算子和IIFDWGA算子統(tǒng)稱(chēng)為區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)的密度算子.

稱(chēng)函數(shù)UIFDWAε,WAA為線(xiàn)性區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)密度加權(quán)算術(shù)平均算子，也稱(chēng)為IIFDWAε,WAA算子.

區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)密度中間算子也可以與Max算子、Min算子、OWA算子等合成為新的信息集結(jié)算子，這里不一一贅述.

5　決策應(yīng)用

區(qū)間值直覺(jué)模糊密度算子的多屬性決策方法步驟如下：

步驟(1) 將決策矩陣A=(aij)m×n的每一行根據(jù)區(qū)間值直覺(jué)模糊集聚類(lèi)方法進(jìn)行聚類(lèi)；

步驟(3) 利用區(qū)間值直覺(jué)模糊密度算子對(duì)每行進(jìn)行集結(jié), 得到αi=IIFDM(ai1,ai2,…,am).

步驟(4) 計(jì)算每個(gè)αi的得分函數(shù)值，如果得分函數(shù)值s(αi)相等，需要計(jì)算精確函數(shù)值H(αi)；

步驟(5) 根據(jù)得分函數(shù)值s(αi)和精確函數(shù)值H(αi)的大小進(jìn)行排序；

例2某單位在對(duì)干部進(jìn)行考核選拔時(shí)，首先制定了6項(xiàng)考核指標(biāo)：思想品德(G1)，工作態(tài)度(G2)，工作作風(fēng)(G3)，文化水平和知識(shí)結(jié)構(gòu)(G4)，領(lǐng)導(dǎo)能力(G5)，開(kāi)拓能力(G6).指標(biāo)權(quán)重向量為ω=(0.2,0.1,0.25,0.1,0.15,0.2)T.然后，由群眾推薦并評(píng)議，確定了5位候選人.假設(shè)每個(gè)候選人在各指標(biāo)下評(píng)估信息，經(jīng)過(guò)處理后可表示為區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)，如表1所示.

表1　決策矩陣

(1)根據(jù)聚類(lèi)方法，計(jì)算每個(gè)區(qū)間值直覺(jué)模糊數(shù)所對(duì)應(yīng)的隸屬度期望值和非隸屬度期望值，見(jiàn)表2.

表2　隸屬度與非隸屬度的期望值

根據(jù)上述對(duì)進(jìn)行分類(lèi)，得到聚類(lèi)組如下：

A1的分組為 B1={x12,x13,x16}，B2={x11,x15}，B3={x14}，

A2的分組為B1={x21,x22,x23,x24,x26}，B2={x25}，

A3的分組為B1={x31,x33,x35,x36}，B2={x32}，B3={x34}，

A4的分組為B1={x42,x44,x45}，B2={x42,x46}，B3={x41}，

A5的分組為B1={x53,x54,x55}，B2={x51,x56}，B3={x52}，

其中，xij為表1中的區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù).

(2)密度加權(quán)向量的確定.

假設(shè)決策者對(duì)信息沒(méi)有偏好,求得每個(gè)聚類(lèi)的密度加權(quán)向量分別為

(3)利用區(qū)間值直覺(jué)模糊密度算子對(duì)每行進(jìn)行集結(jié)，得到候選人的綜合屬性值.

<[0.491 2,0.624 5],[0.206 5,0.333 3]>=α1.

<[0.437 7,0.537 1],[0.268 6,0.395 0]>=α2.

<[0.586 5,0.696 4],[0.131 6,0.281 6]>=α3.

<[0.595 8,0.708 3],[0.126 0,0.252 1]>=α4.

<[0.480 8,0.595 1],[0.208 4,0.395 5]>=α5.

(4)計(jì)算每個(gè)αi得分函數(shù)值,s(α1)=0.288 05,s(α2)=0.155 6,s(α3)=0.434 85,s(α4)=0.463,s(α5)=0.236.

(5)按得分函數(shù)值s(αi)的大小進(jìn)行排序,顯然s(α4)>s(α3)>s(α1)>s(α5)>s(α2).

[1]YAGERRR.Onorderedweightedaveragingaggregationoperatorsinmulti-criteriadecisionmaking[J].IEEETransactionsonSystems,ManandCybernetics:partB,1998(18):183-190.

[2]CHICLANAF,HERRERAF,HERRERAE.Theorderedweightedgeometricoperator:propertiesandapplications[C]∥Proceeding8thInternationalConferenceonInformationProcessingandManagementofUncertaintyinKnowledgeBasedSystems:Madrid:[s.n.].2000:985-991.

[3]XUZS,DAQL.Theorderedweightedgeometricaveragingoperator[J].InternationalJournalofIntelligentSystems,2002(17)：709-716.

[4]陳華友，劉春林，盛昭瀚.IOWHA算子及其在組合預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].中國(guó)管理科學(xué)，2004,12(5):35-40.

[5]易平濤，郭亞軍，張丹寧.密度加權(quán)平均算子在多屬性決策中的應(yīng)用[J].控制與決策，2007,22(5)：515-519.

[6]易平濤，郭亞軍，張丹寧.意見(jiàn)分歧特征下多評(píng)價(jià)結(jié)論協(xié)商組合方法[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，27(12):1289-1392.

[7]易平濤，郭亞軍.多元密度集結(jié)算子及其性質(zhì)分析[J].系統(tǒng)管理學(xué)報(bào),2008,17(4):401-408.

[8]易平濤，郭亞軍.廣義實(shí)型密度加權(quán)平均中間算子及其應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2010,25(2):190-195.

[9]易平濤，高立群，郭亞軍.基于多元密度集結(jié)算子的組合評(píng)價(jià)方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，31(12):2882-2887.

[10]易平濤，李偉偉，郭亞軍,等.誘導(dǎo)密度算子及其性質(zhì)分析[J].系統(tǒng)管理學(xué)報(bào)，2011，20(5):527-532.

[11]易平濤.多元信息密度集結(jié)算子理論及應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2012.

[12]張小紅，裴道武，代建華.模糊數(shù)學(xué)與Rough集理論[M].北京：清華大學(xué)出版社，2013.

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[14]LIUXW.AgeneralmodelofparameterizedOWAaggregationwithgivenornesslevel[J].InternationalJournalofApproximateReasoning,2008(48)：598-627.

Interval valued intuitionistic fuzzy number density weighted operator and its application in decision making

DU Yingxue, CHANG Juan, LIU Weifeng

(School of Science, Zhengzhou University of Aeronautics,Zhengzhou 450015, China)

In multiple attribute decision-making when the attribute value is interval valued intuitionistic fuzzy numbers, we consider the density degree of attribute information distribution, the interval valued intuitionistic fuzzy set data clustering problem. We propose new operator: linear interval valued intuitionistic fuzzy number density weighted averaging middle operator (IIFDWA) and the product of interval value intuitionistic fuzzy number density weighted averaging middle operator (IIFDWGA), which is referred to as the interval valued intuitionistic fuzzy density operator. Finally, the IIFDWA operator and the WAA are applied to the multiple attribute group decision making problems.

multi-attribute decision-making; interval valued intuitionistic fuzzy numbers; Interval valued intuitionistic fuzzy number density operator; clustering

2016-04-06

國(guó)家自然科學(xué)基金(11501525)；河南省基礎(chǔ)前沿研究計(jì)劃項(xiàng)目(152300410126)；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(14A630017)；鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院青年科研基金(2014113001)

杜迎雪(1979-)，女，河南許昌人，講師，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.

C934

A

1674-330X(2016)03-0075-05